Plurĉelo de Schläfli-Hess

En kvar-dimensia geometrio, la plurĉelo de Schläfli-Hess estas regula nekonveksa plurĉelo.

La plena aro konsistas el 10 plurĉeloj. Ĉiu el ili estas sin-sekcanta stela plurĉelo kaj en sia simbolo de Schläfli {p,q,r} havas stelokvinlateran (5/2) eron. Do la stelo aperas minimume unufoje inter la karakterizoj de la pluredro - edro, latera figuro kaj vertica figuro

Ĉiu el ili povas esti derivita kiel steligo de la regula 120-ĉelo {5,3,3} aŭ la regula 600-ĉelo {3,3,5}.

Plurĉeloj de Schläfli-Hess estas kvar-dimensiaj analogoj de nekonvekaj regulaj pluredroj - pluredroj de Keplero-Poinsot.

Ci tiuj 10 plurĉeloj kune kun la aro de ses konveksaj regulaj plurĉeloj formas la tutan aron de la regulaj plurĉeloj.

Historio

Ili estas nomitaj laŭ honore al siaj trovintoj - Ludwig Schläfli kaj Edmund Hess.

Kvar el ili estis trovitaj de Ludwig Schläfli sed la alia ses estis nekonsideritaj ĉar li ne permesis formojn, en kiuj ne la eŭlera karakterizo de ĉeloj aŭ verticaj figuroj ne egalas al 2. (Eŭlera karakterizo 2 respektivas al pluredro topologie ekvivalenta al sfero). Tiel malinkluzivatis ĉeloj kaj verticaj figuroj {5,5/2} kaj {5/2,5}.

Edmund Hess (1843-1903) publikigis la plenan liston en lia libro Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder en 1883.

Iliaj nomoj estas donitaj de John Horton Conway surbaze de tiuj por pluredroj. Li operaciaj estas:

• Steligo - anstataŭigas la laterojn per pli longaj lateroj en la samaj linioj. (ekzemplo: kvinlatera edro steligatas en stelokvinlateron)
• Ebenograndigo - anstataŭigas la edrojn per grandaj aĵoj en samaj 2-ebenoj.
• Spacograndigo - anstataŭigas la ĉelojn per grandaj aĵoj en samaj 3-spacoj.

• Estas 2 unikaj situoj de verticoj - tiuj de la 120-ĉelo kaj de la 600-ĉelo.
• Estas 4 unikaj situoj de lateroj.
• Estas 7 unikaj situoj de edroj.

Listo

La ĉelaj pluredroj, edraj plurlateroj ktp estas donitaj kun iliaj simboloj de Schläfli.

Nomo	Dratoframa	Solido	Simbolo de Schläfli {p,q,r} Figuro de Coxeter-Dynkin	Ĉeloj {p,q}	Edroj {p}	Lateroj Lateraj figuroj {r}	Verticoj Verticaj figuroj {q,r}	χ	Geometria simetria grupo	Duala {r,q,p}
Dudekedra 120-ĉelo			{3,5,5/2}	120 dudekedroj {3,5}	1200 trianguloj {3}	720 stelokvinlateroj {5/2}	120 grandaj dekduedroj {5,5/2}	480	H4	Malgranda steligita 120-ĉelo
Ebenograndigita 120-ĉelo			{5,5/2,5}	120 grandaj dekduedroj {5,5/2}	720 kvinlateroj {5}	720 kvinlateroj {5}	120 malgrandaj steligitaj dekduedroj {5/2,5}	0	H4	Mem-duala
Spacograndigita 120-ĉelo			{5,3,5/2}	120 dekduedroj {5,3}	720 kvinlateroj {5}	720 stelokvinlateroj {5/2}	120 grandaj dudekedroj {3,5/2}	0	H4	Ebenograndigita steligita 120-ĉelo
Malgranda steligita 120-ĉelo			{5/2,5,3}	120 malgrandaj steligitaj dekduedroj {5/2,5}	720 stelokvinlateroj {5/2}	1200 trianguloj {3}	120 dekduedroj {5,3}	-480	H4	Dudekedra 120-ĉelo
Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo			{5,5/2,3}	120 grandaj dekduedroj {5,5/2}	720 kvinlateroj {5}	1200 trianguloj {3}	120 grandaj steligitaj dekduedroj {5/2,3}	-480	H4	Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo
Ebenograndigita steligita 120-ĉelo			{5/2,3,5}	120 grandaj steligitaj dekduedroj {5/2,3}	720 stelokvinlateroj {5/2}	720 kvinlateroj {5}	120 dudekedroj {3,5}	0	H4	Spacograndigita 120-ĉelo
Spacograndigita steligita 120-ĉelo			{5/2,5,5/2}	120 malgrandaj steligitaj dekduedroj {5/2,5}	720 stelokvinlateroj {5/2}	720 stelokvinlateroj {5/2}	120 grandaj dekduedroj {5,5/2}	0	H4	Mem-duala
Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo			{3,5/2,5}	120 grandaj dudekedroj {3,5/2}	1200 trianguloj {3}	720 kvinlateroj {5}	120 malgrandaj steligitaj dekduedroj {5/2,5}	480	H4	Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo
Spacograndigita 600-ĉelo			{3,3,5/2}	600 kvaredroj {3,3}	1200 trianguloj {3}	720 stelokvinlateroj {5/2}	120 grandaj dudekedroj {3,5/2}	0	H4	Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo
Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo			{5/2,3,3}	120 grandaj steligitaj dekduedroj {5/2,3}	720 stelokvinlateroj {5/2}	1200 trianguloj {3}	600 kvaredroj {3,3}	0	H4	Spacograndigita 600-ĉelo

Ekzisto

La ekzisto de regula plurĉelo $\{p,q,r\}$ estas limigita per la ekzisto de la regulaj pluredroj $\{p,q\},\{q,r\}$ kaj per kondiĉo pri la duedra angulo:

• $\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)<\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)$

La 10 stelaj hiperpluredroj pli supre listigitaj estas la nur solvaĵoj kiuj ekzistas.

Estas kvar nekonveksa simbolo de Schläflij {p,q,r} kiuj havas validajn ĉelojn {p,q} kaj verticajn figurojn {q,r}, kaj verigas la kondiĉon de la duedra angulo, sed ne produktas finiajn figurojn: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Vidu ankaŭ

• Listo de regulaj hiperpluredroj
• Konveksa regula plurĉelo
• Solido de Keplero-Poinsot - regula stela pluredro
• Stelo (figuro) - regula stela plurlatero

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Solido de Keplero-Poinsot en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Plurĉelo en MathWorld.
• George Olshevsky, 120-ĉelo en Glossary for Hyperspace.
• George Olshevsky, 600-ĉelo en Glossary for Hyperspace.
• George Olshevsky, Steligo en Glossary for Hyperspace.
• George Olshevsky, Ebenograndigo en Glossary for Hyperspace.
• George Olshevsky, spacograndigo en Glossary for Hyperspace.
• 16 regulaj plurĉeloj
• Regulaj plurĉeloj
• Diskuto pri la nomoj
• Regulaj hiperpluredroj Arkivigite je 2006-11-07 per la retarkivo Wayback Machine
• La regulaj stelaj plurĉeloj Arkivigite je 2007-07-04 per la retarkivo Wayback Machine
• Stella4D Arkivigite je 2007-11-12 per la retarkivo Wayback Machine Programaro kiu produktas vidojn de la plurĉeloj.
• Peter McMullen kaj Egon Schulte, Abstraktaj Regulaj Hiperpluredroj, 2002, PDF