Konverĝa serio
En matematiko, serio estas sumo da eroj el vico de nombroj.
Por donita vico , la n-a parta sumo Sn estas sumo de la unuaj n eroj de la vico, tio estas,
Serio estas konverĝa se kaj nur se la vico de ĝiaj partaj sumoj konverĝas (ekzistas limigo de vico). En pli formala lingvo, serio konverĝas se tie ekzistas limigo y, tia ke por ĉiu ajne malgranda pozitiva nombro e, e>0, estas entjero N tia ke por ĉiuj n ≥ N,
Serio kiu ne estas konverĝa estas malkonverĝa serio (ankaŭ nomita diverĝa serio).
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Geometric_progression_convergence_diagram.svg/320px-Geometric_progression_convergence_diagram.svg.png)
Konverĝaj serioj
- Inversoj de nenegativaj entjeraj potencoj de 2
- :
- Inversoj de pozitivaj entjeroj kun alternaj signoj (alterna serio)
- :
- Inversoj de kvadrataj nombroj
- :
- Inversoj de pozitivaj neparaj entjeroj kun alternaj signoj
- :
Malkonverĝaj serioj
- Inversoj de pozitivaj entjeroj
- :
- Inversoj de primoj:
- :
Konverĝaj testoj
[redakti | redakti fonton]Konverĝa testo estas maniero por difini ĉu serio konverĝas aŭ malkonverĝas
Eroj de la vico estas komparataj al tiuj de la alia vico .
Se, por ĉiuj n, kaj konverĝas, do konverĝas.
Se, por ĉiuj n, , kaj malkonverĝas, do malkonverĝas.
Se por ĉiu n, an>0 kaj ekzistas r tia ke
tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.
Se r = 1 la rilatuma provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.
Se por ĉiu n, an≥0 kaj ekzistas r tia ke
tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.
Se r = 1 la radika provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.
La rilatuma provo kaj la radika provo estas ambaŭ bazitaj sur komparo kun geometria serio, kaj tiel ili laboras en similaj situacioj. Se la rilatuma provo laboras (la limigo ekzistas kaj estas ne egala al 1) tiam laboras la radika provo. La reo tamen, estas ne vera. La radika provo estas pro tio pli ĝenerale aplikebla, sed kiel praktika materio la limigo estas ofte malfacila al komputi por kutime estantaj specoj de serioj.
Se por ĉiu n, an>0 kaj bn>0 kaj limigo ekzistas kaj estas ne nulo, do konverĝas se kaj nur se konverĝas.
Alterna seria provo aŭ kriterio de Leibniz
[redakti | redakti fonton]Por alterna serio de formo kie por ĉiu n an>0, se {an} estas monotone malkreskanta kaj havas limigon 0, do la serio konverĝas.
La serio povas esti komparita al integralo. Se ekzistas pozitiva kaj monotone malkreskanta funkcio f(x) tia ke je ĉiuj pozitivaj entjeraj argumentoj ĝi egalas al eroj de la serio f(n) = an kaj se
tiam la serio konverĝas. Se la integralo malkonverĝas, tiam la serio malkonverĝas.
Serio
konverĝas se kaj nur se la vico de partaj sumoj estas koŝia vico.
Ĉi tio signifas ke por ĉiu estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj m kaj n tiaj ke n ≥ m ≥ N
kio estas ekvivalento al
Se {an} estas monotona malkreskanta vico, do konverĝas se kaj nur se konverĝas.
Kondiĉa kaj absoluta konverĝo
[redakti | redakti fonton]Por ĉiu vico , laŭ propraĵo de sumo de absolutaj valoroj (neegalaĵo de triangulo sur la kompleksa ebeno)
Ĉi tio signifas ke se konverĝas, tiam ankaŭ konverĝas (sed ne inverse).
Se serio konverĝas, do serio estas absolute konverĝa. Absolute konverĝa vico estas tiu en kiu longo de linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas finia. Ekzemple, serio de Taylor de la eksponenta funkcio estas absolute konverĝa ĉie.
Se serio konverĝas sed serio malkonverĝas, do la serio estas kondiĉe konverĝa. La linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas malfinie longa. Ekzemple, serio de Taylor de logaritmo estas kondiĉe konverĝa.
La rimana seria teoremo statas ke se reela serio konverĝas kondiĉe, do eblas reordigi ĝiajn erojn tiel ke la serio konverĝu al ĉiu donita reela valoro, aŭ malkonverĝu.
Estu vico de funkcioj.
La serio konverĝas unuforme al f se la vico {Sn} de partaj sumoj difinita per
konverĝas unuforme al f.
M-kriterio de Weierstrass estas analogo de la kompara provo por malfinia serio de funkcioj.
Eksteraj ligiloj
[redakti | redakti fonton]- http://www.boutichesaid.cv.dz/Series/ConvergentSeries.htm Arkivigite je 2008-10-24 per la retarkivo Wayback Machine
- http://www.ro6ert.com/ro6ert/portfolio/ComplexConvergence/ Arkivigite je 2011-02-14 per la retarkivo Wayback Machine
- Rimana seria teoremo je MathWorld