Integreca ringo

Integreca ringo aŭ integreca domajno estas komuta ringo kun multiplika neŭtrala elemento, $1\neq 0$, kaj sen nuldivizoroj, do $\forall a,b$ $a\cdot b=0\implies a=0$ aŭ $b=0$.

Difino

Por komuta ringo $R$, la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

• $1\neq 0$, kaj ĝi ne enhavas nuldivizoron.
• La nulidealo (0) estas prima idealo.
• $1\neq 0$, kaj ĉiu nenula elemento $x$ estas forigebla sub multipliko, t.e. se $x\cdot a=x\cdot b$, do $a=b$
• La aro de nenulaj elementoj konsistigas monoidon laŭ multipliko (ĉar monoido postulas fermitecon: $\forall a,b\in R\setminus \{0\}:a\cdot b\in R\setminus \{0\}$).
• Ĉiu elemento $r$ estas regula: la funkcio $R\to R$, $x\mapsto r\cdot x$ estas disĵeta.
• $R$ estas izomorfa al subringo de kampo.

Integreca ringo estas ringo, kiu plenumas unu (kaj do ĉiujn) el la ĉi-supraj kondiĉoj.

Ecoj

Validas jenaj klas-inkluzivoj:

komutaj ringoj ⊃ integrecaj ringoj ⊃ integrece fermitaj ringoj ⊃ faktorecaj ringoj ⊃ ĉefidealaj integrecaj ringoj ⊃ eŭklidaj ringoj ⊃ kampoj

Ĉiu integreca ringo povas esti enigita en kampon; la plej malgranda tia kampo estas la kampo de frakcioj de la integreca ringo.

Ekzemploj

Ekzemploj estas la entjeroj kaj la reelaj polinomoj. Ĉiu kampo estas integreca ringo. Aliaflanke ĉiu finia aro kun integrecringostrukturo estas kampo. Pruvo: Por ĉiu $a\neq 0$ en integreca ringo ekzistas disĵeta funkcio $x\mapsto a\cdot x$, kiu sendas ĉiun $d$ en la integrecringo al $a\cdot d$. Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fontaro estas inversigebla. Do $x\mapsto a\cdot x$ estas inversigebla. Tiel $1$ estas bildo de iu $d$, kaj tiu elemento estas la inverso de $a$.

La plej supra kondiĉo implicas ecojn, kiujn havas nur la integrecaj ringoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke $a\cdot b=a\cdot c\implies a=0$ aŭ $b=c$, ĉar $a\cdot (b-c)=0\implies a=0$ aŭ $b-c=0$. Do tiu koncepto montras, ke la eco, ke $a\cdot b=0\implies a=0$ aŭ $b=0$, estas unu el tiuj, kiuj ĝeneraligas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn ringojn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj module je $p$ estas integreca ringo se kaj nur se $p$ estas primo. Rimarku, ke, se $p$ estas primo, $p|a\cdot b\implies p|a$ aŭ $p|b$. Ĉiu integreca ringo de kongruecaj klasoj module je $p$ estas kampo.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Integral domain en MathWorld.