Diraka ekvacio

Diraka ekvacio estas relativisma kvantummekanika onda ekvacio formulita far Dirako en 1928. Ĝi provizas priskribon de elementaj partikloj (fermionoj) kun spino 1/2, kiel elektronoj konforme kun ambaŭ principoj de kvantummekaniko kaj speciala teorio de relativeco. La ekvacio postulas la ekziston de kontraŭpartikloj kaj vere prediktis ilian eksperimentan malkovron. Malkovro de pozitrono, la kontraŭpartiklo de elektrono, iĝis unu el la plej gravaj triumfoj de moderna teoria fiziko.

Ĉar la Diraka ekvacio estis originale inventita por priskribo de elektronoj, oni plej ofte aplikas ĝin al elektronoj. Reale, tamen, la ekvacio ankaŭ aplikeblas al kvarkoj, kiuj ankaŭ estas ankaŭ elementaj partikloj kun spino-½. Kun etaj ŝanĝoj, Diraka ekvacio povas sufiĉe ekzakte priskribi protonojn kaj neŭtronojn, kiuj ne estas elementaj partikloj (ili konsistas de kvarkoj). Alia varianto de Diraka ekvacio, nomita la Ekvacio de Majoran, povas priskribi neŭtrinojn.

Matematika formulado

La Diraka ekvacio aspektas tiel:

$\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

kie m estas kvietmaso de la elektrono, c estas lumrapideco, p estas la momanta operatoro, $\hbar$ estas la reduktita konstanto de Planck, x kaj t estas, respektive, la spaca kaj tempa koordinatoj, kaj ψ(x, t) estas kvar-komponanta ondfunkcio.

La α-oj estas linearaj operatoroj kiuj agas en la ondfunkcio. Ilia plej fundamenta eco estas ke ili estu kontraŭkomutaj. En aliaj vortoj,

$\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}$,

kie $i\neq j$, kaj i kaj j estas inter nulo kaj tri. La plej simpla maniero por ricevi tiajn ecojn estas per 4×4 matricoj. Ne ekzistas aro de matricoj kun pli malgranda dimensio kiu verigus la postulon de kontraŭkomuteco. Tiuj kvar-dimensiaj matricoj nomiĝas α-matricoj de Dirako:

Oportuna (sed ne unika) elekto de $\alpha$-matricoj estas

$\alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$,

$\alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}$,

La Diraka ekvacio priskribas la probablecajn amplitudojn por sola elektrono. Ĝi estas sola-partikla teorio, en aliaj vortoj, ĝi ne aplikas la kreado kaj detruado de la partikloj. Ĝi donas bonan antaŭdiron por la magneta momanto de elektrono kaj klarigas fajnan strukturon observeblan en atomaj spektraj linioj. Ĝi ankaŭ eksplikas la spinon de la elektrono. Du de la kvar solvoj de la ekvacio konformas al du spinaj ŝtatoj de elektrono. La aliaj du solvoj sugestas ke ekzistas malfinia aro de kvantumaj statoj, en kiuj la elektrono havas negativan energion. Ĉi tiu stranga rezulto gvidis Dirakon al konkludo, tra rimarkinda hipotezo sciata kiel "trua teorio", ke ekzistas pozitive ŝargitaj "elektronoj". Ĉi tiu antaŭdiro estis pruvita per malkovro de pozitronoj en 1932.

Malgraŭ ĉiuj sukcesoj, la teorio estas krevita pro ĝia neglekto na ebleco de kreo kaj detruo partiklojn, unu el la bazaj konsekvencoj de relativeco. Oni tamen povas eviti kolizion per uzo de la ekvacion en kvantuma kampa teorio. Ankaŭ la ekvacio ne donas efikan kalkulon por partikloj kun negativa energio.

Simila ekvacio por partikloj kun spino 3/2 estas nomita ekvacio de Rarita-Schwinger.