Aro de Smith-Volterra-Cantor

Post nigraj intervaloj estas forprenitaj, la blankaj punktoj kiuj restas formas nenie densan aron de mezuro 1/2.

En matematiko, la aro de Smith-Volterra-Cantor (SVC) aŭ la grasa aro de Cantor estas ekzemplo de aro de punktoj de la reela linio R kiu estas nenie densa (ĝi ne enhavas iun intervalon), sed havas pozitivan mezuron.

La aro de Smith-Volterra-Cantor estas nomita post Henry John Stephen Smith, Vito Volterra kaj Georg Cantor.

Konstruado

Simile al la konstruado de la aro de Cantor, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas konstruita per forprenado de certaj intervaloj el la unuobla intervalo [0, 1].

La procezo komenciĝas kun la unu intervalo [0, 1]. Dum ĉiu n-a paŝo, n=1, 2, 3, ..., okazas forprenado de subintervaloj de longo 1/2²ⁿ de la mezo de ĉiu el la 2^n-1 restantaj intervaloj. Daŭrante malfinie kun ĉi tiu forigado, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas la aro de punktoj kiuj estas neniam forprenitaj.

Dum la unua paŝo de procezo okazas forprenado de la meza 1/4 el la intervalo [0, 1] (la samo kiel forprenado de 1/8 de ĉiu flanko de la meza punkto je 1/2) tiel la restanta aro estas

$\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right]$

Dum la dua paŝo la intervaloj (5/32, 7/32) kaj (25/32, 27/32) estas forprenataj, lasante aron

$\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right]$

La bildo montras la komencan aron kaj 5 paŝojn de ĉi tiu procezo.

Propraĵoj

Per konstruado, la aro de Smith-Volterra-Cantor ne enhavas intervalojn. Dum la procezo, intervaloj de tuteca longo

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}(1/2^{2n})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$

estas forprenitaj el [0, 1], montrante ke la aro de la restantaj punktoj havas pozitivan mezuron de 1/2.

Aliaj grasaj aroj de Cantor

Ĝenerale, oni povas forpreni parton de iu longo r_n el ĉiu restanta subintervalo je la n-a paŝo de la algoritmo, kaj finiĝi kun simila aro. La rezultanta aro havas pozitivan mezuron se kaj nur se la sumo de la vico

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r_{n}$

estas malpli granda ol la mezuro de la komenca intervalo.

Vidu ankaŭ

• La aro de Smith-Volterra-Cantor estas uzata en la konstruado de funkcio de Volterra
• La aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de kompakta aro kiu estas ne jordane mezurebla.
• La nadla funkcio de la aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de barita funkcia kiu estas ne rimane integralebla sur (0,1) kaj ankaŭ estas ne egala preskaŭ ĉie al rimane integralebla funkcio.

Eksteraj ligiloj

• Luktado kun la fundamenta teoremo de kalkulo: funkcio de Volterra Arkivigite je 2020-11-23 per la retarkivo Wayback Machine, de David Marius Bressoud