¿Qué es una curva?

Si nuestro pajarito de la semana pasada estuviera encerrado en una jaula acristalada, en la que el aire entrara y saliera solo por arriba, la báscula seguiría marcando 1.030 gramos durante su revoloteo, ya que toda la reacción de la acción —el aleteo— que lo mantiene en el aire incidiría en la base de la jaula. En una jaula normal, abierta por todos lados, parte de esa reacción incidiría en la mesa en la que estuviera apoyada o en el suelo de la habitación, por lo que la báscula marcaría un poco menos de 1.030 gramos; solo un poco, en principio, pues la reacción seguiría incidiendo mayoritariamente en la base de la jaula (aunque el cálculo preciso implicaría consideraciones de la dinámica de fluidos, que es una de las ramas más complejas de la mecánica).

El caso del pez en la pecera es distinto: en el momento del impulso que da lugar al salto, la báscula marcará algo más de 1.030 gramos debido a la reacción en el agua, que repercute en la base de la pecera, ya que el salto es hacia arriba; pero mientras el pez esté en el aire, la báscula marcará 1.000 gramos (incluso puede llegar a marcar un pelín menos, por el efecto rebote), aunque solo por un instante, pues en cuanto el pez vuelva a caer en el agua marcará algo más de 1.030 gramos durante una fracción de segundo, a causa del impacto, para enseguida estabilizarse de nuevo en 1.030 gramos.

En el caso de la bola de hierro, cuando descansa en el fondo de la pecera la báscula marca 2.000 gramos. Al meter la mano, el principio de Arquímedes y la tercera ley de Newton se alían para que la báscula indique un aumento de peso igual al volumen del agua desalojada; si tu mano desaloja medio litro de agua, la báscula marcará 2.500 gramos; pero en el momento mismo en que empieces a levantar la bola de hierro, la báscula marcará bastante menos. ¿Cuánto menos y por qué?

La equivalencia entre el sobre a dibujar sin levantar el lápiz del papel y los puentes de Kaliningrado estriba en que en ambos caso tenemos dos nodos con un número par de caminos concurrentes y otros dos con un número impar. El vértice superior del sobre no cuenta como nodo del grafo, ya que podemos sustituirlo por un único trazo curvo.

Cuéntaselo a tu abuela

Si te parece abusivo equiparar una línea quebrada —la solapa del sobre— a un trazo curvo, seguramente será porque tienes muy claro lo que es una curva. O eso crees. Einstein decía que si no era capaz de explicarle algo a su abuela, eso significaba que él tampoco lo entendía del todo (por eso no aceptó nunca la mecánica cuántica: ¿te imaginas a la abuela de Einstein diciendo: “No digas disparates, Albert, ¿cómo va a estar un gato vivo y muerto a la vez?”). Así que intenta explicarle a tu abuela imaginaria —o a la real, si aún disfrutas de su atención— qué es una curva y verás que no es tan sencillo. No se trata de dar una explicación aproximada, sino una definición precisa y aplicable a todas las curvas.

Los antiguos griegos dieron varias definiciones de curva. La más conocida es la que dice que una curva es la intersección de dos superficies (lo cual incluye a la recta, considerada como curva de curvatura cero, como intersección de dos planos). Por eso llamamos “cónicas” a la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, porque pueden obtenerse como intersecciones de un cono con un plano según distintos ángulos.

Otra definición clásica es la de “lugar geométrico”: la curva es el lugar que ocupan los puntos que cumplen una determinada condición; así, una circunferencia de radio R y centro C es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto C es R.

El desarrollo de la geometría analítica, en el siglo XVII, permitió ampliar el concepto de lugar geométrico: las curvas son las representaciones gráficas de funciones algebraicas, o lo que es lo mismo, el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas son soluciones de una ecuación con dos incógnitas. Pero no de todas, pues las gráficas de ciertas funciones son conjuntos de puntos o trazos desconectados a los que nunca llamaríamos curvas. Y la cosa se complicó aún más cuando, a finales del siglo XIX, el matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) dio a conocer una curva “monstruosa” (otros la llamaron “patológica”) que, en el límite, se convierte en un cuadrado compacto: un salto de la primera a la segunda dimensión más propio de un relato de ciencia ficción que de un tratado de geometría. Pero ese es otro artículo. O varios.

Volviendo a las familiares, hermosas y nada patológicas, cónicas, ¿cuáles de ellas —y cómo— podrías generar con una pelota y una linterna?

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