Σπείρα του Ούλαμ

Σπείρα του Ούλαμ μεγέθους 150 x 150 με πρώτους αριθμούς (γαλανό χρώμα) και σύνθετους (λευκό χρώμα)

Η σπείρα του Ούλαμ (αγγλικά: Ulam spiral) ή σπείρα πρώτων αριθμών αποτελεί γραφική αναπαράσταση ομάδων πρώτων αριθμών, η οποία αναπτύχθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό Στάνισλαβ Ούλαμ το 1963. Κατασκευάζεται με τη διευθέτηση των θετικών ακεραίων αριθμών εντός μιας τετράγωνου σχήματος σπείρας και σημειώνοντας με ειδική σήμανση ή χρωματισμό τους πρώτους αριθμούς εντός της. Ένα από τα χαρακτηριστικά της σπείρας, είναι η θεσιακή κατανομή των πρώτων αριθμών ως προς τις διαγώνιες, οριζόντιες και κάθετες γραμμές που σχηματίζουν. Η εμφάνιση τέτοιων γραμμών δεν είναι κάτι αναπάντεχο, καθώς οι γραμμές πρώτων στην σπείρα αντιστοιχούν σε πολυώνυμα δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ορισμένα από αυτά τα πολυώνυμα όπως ο τύπος x² − x + 41 του Λέοναρντ Όιλερ για την παραγωγή πρώτων αριθμών, παράγουν πρώτους με μεγάλη συχνότητα εμφάνισης στην σπείρα.

Ωστόσο η σπείρα σχετίζεται και με άλλα σημαντικά ανεπίλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών όπως τα προβλήματα του Λαντάου. Συγκεκριμένα, καμία δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει αποδειχτεί πως μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον, και πολύ περισσότερο το να έχει ασυμπτωτική συχνότητα πρώτων αριθμών ώστε να σχηματίζει ομαδοποιήσεις σε γραμμές.

Ιστορία

Ο Στάνισλαβ Ούλαμ ανακάλυψε τη σπείρα το 1963 καθώς παρακολουθούσε μια -κατά τα λεγόμενα του- πολύ βαρετή παρουσίαση σε επιστημονικό συνέδριο και για να περάσει η ώρα έκανε διάφορα σχέδια, μουτζούρες και υπολογισμούς στο σημειωματάριο του. Οι πρώτοι υπολογισμοί του με το χέρι σε ότι αφορούσε την ιδέα της σπείρας, αφορούσαν μονάχα μερικές εκατοντάδες σημεία επί της σπείρας. Λίγο αργότερα, αποφάσισε να δοκιμάσει περαιτέρω την ιδέα αυτή μαζί με συνεργάτες του, και χρησιμοποίησαν τον ηλεκτρονικό υπολογιστή MANIAC II στο παρατηρητήριο του Λος Άλαμος στο Νέο Μεξικό των ΗΠΑ, ώστε οι υπολογισμοί να επεκταθούν σε 100.000 σημεία. Κατόπιν υπολογίστηκε η πυκνότητα των πρώτων αριθμών για αριθμούς έως το 10.000.000 μαζί με τις πλούσιες σε πρώτους αριθμούς γραμμές και τις όχι και τόσο πλούσιες. Παρήχθησαν απεικονίσεις της σπείρας έως τα 65.000 σημεία και κατόπιν φωτογραφήθηκαν. Οι απεικονίσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν κατόπιν για την εικονογράφηση του άρθρου στο επιστημονικό περιοδικό Scientific American σχετικά με την ιδέα της σπείρας, και από εκεί η κατασκευή αυτή απέκτησε ευρύτερη δημοσιότητα το 1964.

Το άρθρο του Scientific American έκανε σύντομη αναφορά και στον Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ, ο οποίος το 1932, 30 έτη πριν την εφεύρεση του Ούλαμ, είχε συντάξει ένα παρόμοιο σχεδιάγραμμα το οποίο είχε τριγωνικό σχήμα και περιείχε συγκεντρώσεις πρώτων αριθμών και ο Κλάουντερ είχε επίσης σχολιάσει τον συσχετισμό των γραμμών με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών. Ο ίδιος περιέγραψε την κατασκευή του λέγοντας πως οι ακέραιοι τοποθετούνται σε τριγωνικό σχήμα με το 1 να βρίσκεται στην κορυφή του τριγώνου, στην αμέσως παρακάτω γραμμή οι αριθμοί 2 έως 4, στην τρίτη γραμμή οι αριθμοί 5 έως 9, και παρομοίως στις υπόλοιπες γραμμές. Όταν σημειωθούν οι πρώτοι αριθμοί, προκύπτουν συγκεντρώσεις των αριθμών αυτών σε ορισμένες κάθετες και οριζόντιες γραμμές, παρόμοιες με τις εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών του Όιλερ.

Πέρα από τους Κλάουμπερ και Ούλαμ, ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ στο διήγημα του με τίτλο Η πόλη και τα άστρα (1956), είχε περιγράψει το φαινόμενο της συγκέντρωσης πρώτων αριθμών και τα πιθανά σχέδια και επαναλήψεις που μπορεί να προκύψουν, χωρίς ωστόσο να προχωρήσει παραπέρα με κάποια υλοποίηση.

Κατασκευή

Η αριθμητική σπείρα κατασκευάζεται ξεκινώντας με με την αναγραφή του αριθμού εκκίνησης στο κέντρο και κατόπιν προχωρώντας στην αναγραφή των υπολοίπων αριθμών σε κυκλική κατεύθυνση προς τα δεξιά:

Numbers from 1 to 49 placed in spiral order

Η τελική μορφή της σπείρας προκύπτει με την σημείωση των αριθμών οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (οι μη πρώτοι ή σύνθετοι αριθμοί αποκρύπτονται ή χρωματίζονται διαφορετικά):

Small Ulam spiral

Οι γραμμές που προκύπτουν στην κατανομή των πρώτων αριθμών υποδηλώνουν υψηλή πυκνότητα πρώτων αριθμών. Συνήθως η σπείρα σχηματίζεται ξεκινώντας με τον αριθμό 1 στο κέντρο, ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε αριθμός ως σημείο εκκίνησης. Η τιμή του 41, δίνει ένα ιδιαίτερο αποτέλεσμα με διαγώνια γραμμή, κάτι που διαφαίνεται και στην σπείρα 31x31 (από το 41 στο κέντρο, έως τον αριθμό 1001 στην κάτω δεξιά γωνία) που σχηματίζεται όπως παρακάτω (οι πράσινοι αριθμοί διαθέτουν 3 διαιρέτες ενώ οι κόκκινοι μεγάλο αριθμό διαιρετών):

941	940	939	938	937	936	935	934	933	932	931	930	929	928	927	926	925	924	923	922	921	920	919	918	917	916	915	914	913	912	911
942	825	824	823	822	821	820	819	818	817	816	815	814	813	812	811	810	809	808	807	806	805	804	803	802	801	800	799	798	797	910
943	826	717	716	715	714	713	712	711	710	709	708	707	706	705	704	703	702	701	700	699	698	697	696	695	694	693	692	691	796	909
944	827	718	617	616	615	614	613	612	611	610	609	608	607	606	605	604	603	602	601	600	599	598	597	596	595	594	593	690	795	908
945	828	719	618	525	524	523	522	521	520	519	518	517	516	515	514	513	512	511	510	509	508	507	506	505	504	503	592	689	794	907
946	829	720	619	526	441	440	439	438	437	436	435	434	433	432	431	430	429	428	427	426	425	424	423	422	421	502	591	688	793	906
947	830	721	620	527	442	365	364	363	362	361	360	359	358	357	356	355	354	353	352	351	350	349	348	347	420	501	590	687	792	905
948	831	722	621	528	443	366	297	296	295	294	293	292	291	290	289	288	287	286	285	284	283	282	281	346	419	500	589	686	791	904
949	832	723	622	529	444	367	298	237	236	235	234	233	232	231	230	229	228	227	226	225	224	223	280	345	418	499	588	685	790	903
950	833	724	623	530	445	368	299	238	185	184	183	182	181	180	179	178	177	176	175	174	173	222	279	344	417	498	587	684	789	902
951	834	725	624	531	446	369	300	239	186	141	140	139	138	137	136	135	134	133	132	131	172	221	278	343	416	497	586	683	788	901
952	835	726	625	532	447	370	301	240	187	142	105	104	103	102	101	100	99	98	97	130	171	220	277	342	415	496	585	682	787	900
953	836	727	626	533	448	371	302	241	188	143	106	77	76	75	74	73	72	71	96	129	170	219	276	341	414	495	584	681	786	899
954	837	728	627	534	449	372	303	242	189	144	107	78	57	56	55	54	53	70	95	128	169	218	275	340	413	494	583	680	785	898
955	838	729	628	535	450	373	304	243	190	145	108	79	58	45	44	43	52	69	94	127	168	217	274	339	412	493	582	679	784	897
956	839	730	629	536	451	374	305	244	191	146	109	80	59	46	41	42	51	68	93	126	167	216	273	338	411	492	581	678	783	896
957	840	731	630	537	452	375	306	245	192	147	110	81	60	47	48	49	50	67	92	125	166	215	272	337	410	491	580	677	782	895
958	841	732	631	538	453	376	307	246	193	148	111	82	61	62	63	64	65	66	91	124	165	214	271	336	409	490	579	676	781	894
959	842	733	632	539	454	377	308	247	194	149	112	83	84	85	86	87	88	89	90	123	164	213	270	335	408	489	578	675	780	893
960	843	734	633	540	455	378	309	248	195	150	113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	163	212	269	334	407	488	577	674	779	892
961	844	735	634	541	456	379	310	249	196	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160	161	162	211	268	333	406	487	576	673	778	891
962	845	736	635	542	457	380	311	250	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	267	332	405	486	575	672	777	890
963	846	737	636	543	458	381	312	251	252	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264	265	266	331	404	485	574	671	776	889
964	847	738	637	544	459	382	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324	325	326	327	328	329	330	403	484	573	670	775	888
965	848	739	638	545	460	383	384	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400	401	402	483	572	669	774	887
966	849	740	639	546	461	462	463	464	465	466	467	468	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480	481	482	571	668	773	886
967	850	741	640	547	548	549	550	551	552	553	554	555	556	557	558	559	560	561	562	563	564	565	566	567	568	569	570	667	772	885
968	851	742	641	642	643	644	645	646	647	648	649	650	651	652	653	654	655	656	657	658	659	660	661	662	663	664	665	666	771	884
969	852	743	744	745	746	747	748	749	750	751	752	753	754	755	756	757	758	759	760	761	762	763	764	765	766	767	768	769	770	883
970	853	854	855	856	857	858	859	860	861	862	863	864	865	866	867	868	869	870	871	872	873	874	875	876	877	878	879	880	881	882
971	972	973	974	975	976	977	978	979	980	981	982	983	984	985	986	987	988	989	990	991	992	993	994	995	996	997	998	999	1000	1001

η ίδια συμπεριφορά συνεχίζει και σε μεγαλύτερες διαστάσεις (100x100, έως το 10240) με πολύ μικρά διαλείμματα:

10042	9645	9644	9643	9642	9641	9640	9639	9638	9637	9636	9635	9634	9633	9632	9631	9630	9629	9628	9627	9626	9625	9624	9623	9622	9621	9620	9619	9618	9617	9616	9615	9614	9613	9612	9611	9610	9609	9608	9607	9606	9605	9604	9603	9602	9601	9600	9599	9598	9597	9596	9595	9594	9593	9592	9591	9590	9589	9588	9587	9586	9585	9584	9583	9582	9581	9580	9579	9578	9577	9576	9575	9574	9573	9572	9571	9570	9569	9568	9567	9566	9565	9564	9563	9562	9561	9560	9559	9558	9557	9556	9555	9554	9553	9552	9551	9550	9549	9548	9547
10043	9646	9257	9256	9255	9254	9253	9252	9251	9250	9249	9248	9247	9246	9245	9244	9243	9242	9241	9240	9239	9238	9237	9236	9235	9234	9233	9232	9231	9230	9229	9228	9227	9226	9225	9224	9223	9222	9221	9220	9219	9218	9217	9216	9215	9214	9213	9212	9211	9210	9209	9208	9207	9206	9205	9204	9203	9202	9201	9200	9199	9198	9197	9196	9195	9194	9193	9192	9191	9190	9189	9188	9187	9186	9185	9184	9183	9182	9181	9180	9179	9178	9177	9176	9175	9174	9173	9172	9171	9170	9169	9168	9167	9166	9165	9164	9163	9162	9161	9546
10044	9647	9258	8877	8876	8875	8874	8873	8872	8871	8870	8869	8868	8867	8866	8865	8864	8863	8862	8861	8860	8859	8858	8857	8856	8855	8854	8853	8852	8851	8850	8849	8848	8847	8846	8845	8844	8843	8842	8841	8840	8839	8838	8837	8836	8835	8834	8833	8832	8831	8830	8829	8828	8827	8826	8825	8824	8823	8822	8821	8820	8819	8818	8817	8816	8815	8814	8813	8812	8811	8810	8809	8808	8807	8806	8805	8804	8803	8802	8801	8800	8799	8798	8797	8796	8795	8794	8793	8792	8791	8790	8789	8788	8787	8786	8785	8784	8783	9160	9545
10045	9648	9259	8878	8505	8504	8503	8502	8501	8500	8499	8498	8497	8496	8495	8494	8493	8492	8491	8490	8489	8488	8487	8486	8485	8484	8483	8482	8481	8480	8479	8478	8477	8476	8475	8474	8473	8472	8471	8470	8469	8468	8467	8466	8465	8464	8463	8462	8461	8460	8459	8458	8457	8456	8455	8454	8453	8452	8451	8450	8449	8448	8447	8446	8445	8444	8443	8442	8441	8440	8439	8438	8437	8436	8435	8434	8433	8432	8431	8430	8429	8428	8427	8426	8425	8424	8423	8422	8421	8420	8419	8418	8417	8416	8415	8414	8413	8782	9159	9544
10046	9649	9260	8879	8506	8141	8140	8139	8138	8137	8136	8135	8134	8133	8132	8131	8130	8129	8128	8127	8126	8125	8124	8123	8122	8121	8120	8119	8118	8117	8116	8115	8114	8113	8112	8111	8110	8109	8108	8107	8106	8105	8104	8103	8102	8101	8100	8099	8098	8097	8096	8095	8094	8093	8092	8091	8090	8089	8088	8087	8086	8085	8084	8083	8082	8081	8080	8079	8078	8077	8076	8075	8074	8073	8072	8071	8070	8069	8068	8067	8066	8065	8064	8063	8062	8061	8060	8059	8058	8057	8056	8055	8054	8053	8052	8051	8412	8781	9158	9543
10047	9650	9261	8880	8507	8142	7785	7784	7783	7782	7781	7780	7779	7778	7777	7776	7775	7774	7773	7772	7771	7770	7769	7768	7767	7766	7765	7764	7763	7762	7761	7760	7759	7758	7757	7756	7755	7754	7753	7752	7751	7750	7749	7748	7747	7746	7745	7744	7743	7742	7741	7740	7739	7738	7737	7736	7735	7734	7733	7732	7731	7730	7729	7728	7727	7726	7725	7724	7723	7722	7721	7720	7719	7718	7717	7716	7715	7714	7713	7712	7711	7710	7709	7708	7707	7706	7705	7704	7703	7702	7701	7700	7699	7698	7697	8050	8411	8780	9157	9542
10048	9651	9262	8881	8508	8143	7786	7437	7436	7435	7434	7433	7432	7431	7430	7429	7428	7427	7426	7425	7424	7423	7422	7421	7420	7419	7418	7417	7416	7415	7414	7413	7412	7411	7410	7409	7408	7407	7406	7405	7404	7403	7402	7401	7400	7399	7398	7397	7396	7395	7394	7393	7392	7391	7390	7389	7388	7387	7386	7385	7384	7383	7382	7381	7380	7379	7378	7377	7376	7375	7374	7373	7372	7371	7370	7369	7368	7367	7366	7365	7364	7363	7362	7361	7360	7359	7358	7357	7356	7355	7354	7353	7352	7351	7696	8049	8410	8779	9156	9541
10049	9652	9263	8882	8509	8144	7787	7438	7097	7096	7095	7094	7093	7092	7091	7090	7089	7088	7087	7086	7085	7084	7083	7082	7081	7080	7079	7078	7077	7076	7075	7074	7073	7072	7071	7070	7069	7068	7067	7066	7065	7064	7063	7062	7061	7060	7059	7058	7057	7056	7055	7054	7053	7052	7051	7050	7049	7048	7047	7046	7045	7044	7043	7042	7041	7040	7039	7038	7037	7036	7035	7034	7033	7032	7031	7030	7029	7028	7027	7026	7025	7024	7023	7022	7021	7020	7019	7018	7017	7016	7015	7014	7013	7350	7695	8048	8409	8778	9155	9540
10050	9653	9264	8883	8510	8145	7788	7439	7098	6765	6764	6763	6762	6761	6760	6759	6758	6757	6756	6755	6754	6753	6752	6751	6750	6749	6748	6747	6746	6745	6744	6743	6742	6741	6740	6739	6738	6737	6736	6735	6734	6733	6732	6731	6730	6729	6728	6727	6726	6725	6724	6723	6722	6721	6720	6719	6718	6717	6716	6715	6714	6713	6712	6711	6710	6709	6708	6707	6706	6705	6704	6703	6702	6701	6700	6699	6698	6697	6696	6695	6694	6693	6692	6691	6690	6689	6688	6687	6686	6685	6684	6683	7012	7349	7694	8047	8408	8777	9154	9539
10051	9654	9265	8884	8511	8146	7789	7440	7099	6766	6441	6440	6439	6438	6437	6436	6435	6434	6433	6432	6431	6430	6429	6428	6427	6426	6425	6424	6423	6422	6421	6420	6419	6418	6417	6416	6415	6414	6413	6412	6411	6410	6409	6408	6407	6406	6405	6404	6403	6402	6401	6400	6399	6398	6397	6396	6395	6394	6393	6392	6391	6390	6389	6388	6387	6386	6385	6384	6383	6382	6381	6380	6379	6378	6377	6376	6375	6374	6373	6372	6371	6370	6369	6368	6367	6366	6365	6364	6363	6362	6361	6682	7011	7348	7693	8046	8407	8776	9153	9538
10052	9655	9266	8885	8512	8147	7790	7441	7100	6767	6442	6125	6124	6123	6122	6121	6120	6119	6118	6117	6116	6115	6114	6113	6112	6111	6110	6109	6108	6107	6106	6105	6104	6103	6102	6101	6100	6099	6098	6097	6096	6095	6094	6093	6092	6091	6090	6089	6088	6087	6086	6085	6084	6083	6082	6081	6080	6079	6078	6077	6076	6075	6074	6073	6072	6071	6070	6069	6068	6067	6066	6065	6064	6063	6062	6061	6060	6059	6058	6057	6056	6055	6054	6053	6052	6051	6050	6049	6048	6047	6360	6681	7010	7347	7692	8045	8406	8775	9152	9537
10053	9656	9267	8886	8513	8148	7791	7442	7101	6768	6443	6126	5817	5816	5815	5814	5813	5812	5811	5810	5809	5808	5807	5806	5805	5804	5803	5802	5801	5800	5799	5798	5797	5796	5795	5794	5793	5792	5791	5790	5789	5788	5787	5786	5785	5784	5783	5782	5781	5780	5779	5778	5777	5776	5775	5774	5773	5772	5771	5770	5769	5768	5767	5766	5765	5764	5763	5762	5761	5760	5759	5758	5757	5756	5755	5754	5753	5752	5751	5750	5749	5748	5747	5746	5745	5744	5743	5742	5741	6046	6359	6680	7009	7346	7691	8044	8405	8774	9151	9536
10054	9657	9268	8887	8514	8149	7792	7443	7102	6769	6444	6127	5818	5517	5516	5515	5514	5513	5512	5511	5510	5509	5508	5507	5506	5505	5504	5503	5502	5501	5500	5499	5498	5497	5496	5495	5494	5493	5492	5491	5490	5489	5488	5487	5486	5485	5484	5483	5482	5481	5480	5479	5478	5477	5476	5475	5474	5473	5472	5471	5470	5469	5468	5467	5466	5465	5464	5463	5462	5461	5460	5459	5458	5457	5456	5455	5454	5453	5452	5451	5450	5449	5448	5447	5446	5445	5444	5443	5740	6045	6358	6679	7008	7345	7690	8043	8404	8773	9150	9535
10055	9658	9269	8888	8515	8150	7793	7444	7103	6770	6445	6128	5819	5518	5225	5224	5223	5222	5221	5220	5219	5218	5217	5216	5215	5214	5213	5212	5211	5210	5209	5208	5207	5206	5205	5204	5203	5202	5201	5200	5199	5198	5197	5196	5195	5194	5193	5192	5191	5190	5189	5188	5187	5186	5185	5184	5183	5182	5181	5180	5179	5178	5177	5176	5175	5174	5173	5172	5171	5170	5169	5168	5167	5166	5165	5164	5163	5162	5161	5160	5159	5158	5157	5156	5155	5154	5153	5442	5739	6044	6357	6678	7007	7344	7689	8042	8403	8772	9149	9534
10056	9659	9270	8889	8516	8151	7794	7445	7104	6771	6446	6129	5820	5519	5226	4941	4940	4939	4938	4937	4936	4935	4934	4933	4932	4931	4930	4929	4928	4927	4926	4925	4924	4923	4922	4921	4920	4919	4918	4917	4916	4915	4914	4913	4912	4911	4910	4909	4908	4907	4906	4905	4904	4903	4902	4901	4900	4899	4898	4897	4896	4895	4894	4893	4892	4891	4890	4889	4888	4887	4886	4885	4884	4883	4882	4881	4880	4879	4878	4877	4876	4875	4874	4873	4872	4871	5152	5441	5738	6043	6356	6677	7006	7343	7688	8041	8402	8771	9148	9533
10057	9660	9271	8890	8517	8152	7795	7446	7105	6772	6447	6130	5821	5520	5227	4942	4665	4664	4663	4662	4661	4660	4659	4658	4657	4656	4655	4654	4653	4652	4651	4650	4649	4648	4647	4646	4645	4644	4643	4642	4641	4640	4639	4638	4637	4636	4635	4634	4633	4632	4631	4630	4629	4628	4627	4626	4625	4624	4623	4622	4621	4620	4619	4618	4617	4616	4615	4614	4613	4612	4611	4610	4609	4608	4607	4606	4605	4604	4603	4602	4601	4600	4599	4598	4597	4870	5151	5440	5737	6042	6355	6676	7005	7342	7687	8040	8401	8770	9147	9532
10058	9661	9272	8891	8518	8153	7796	7447	7106	6773	6448	6131	5822	5521	5228	4943	4666	4397	4396	4395	4394	4393	4392	4391	4390	4389	4388	4387	4386	4385	4384	4383	4382	4381	4380	4379	4378	4377	4376	4375	4374	4373	4372	4371	4370	4369	4368	4367	4366	4365	4364	4363	4362	4361	4360	4359	4358	4357	4356	4355	4354	4353	4352	4351	4350	4349	4348	4347	4346	4345	4344	4343	4342	4341	4340	4339	4338	4337	4336	4335	4334	4333	4332	4331	4596	4869	5150	5439	5736	6041	6354	6675	7004	7341	7686	8039	8400	8769	9146	9531
10059	9662	9273	8892	8519	8154	7797	7448	7107	6774	6449	6132	5823	5522	5229	4944	4667	4398	4137	4136	4135	4134	4133	4132	4131	4130	4129	4128	4127	4126	4125	4124	4123	4122	4121	4120	4119	4118	4117	4116	4115	4114	4113	4112	4111	4110	4109	4108	4107	4106	4105	4104	4103	4102	4101	4100	4099	4098	4097	4096	4095	4094	4093	4092	4091	4090	4089	4088	4087	4086	4085	4084	4083	4082	4081	4080	4079	4078	4077	4076	4075	4074	4073	4330	4595	4868	5149	5438	5735	6040	6353	6674	7003	7340	7685	8038	8399	8768	9145	9530
10060	9663	9274	8893	8520	8155	7798	7449	7108	6775	6450	6133	5824	5523	5230	4945	4668	4399	4138	3885	3884	3883	3882	3881	3880	3879	3878	3877	3876	3875	3874	3873	3872	3871	3870	3869	3868	3867	3866	3865	3864	3863	3862	3861	3860	3859	3858	3857	3856	3855	3854	3853	3852	3851	3850	3849	3848	3847	3846	3845	3844	3843	3842	3841	3840	3839	3838	3837	3836	3835	3834	3833	3832	3831	3830	3829	3828	3827	3826	3825	3824	3823	4072	4329	4594	4867	5148	5437	5734	6039	6352	6673	7002	7339	7684	8037	8398	8767	9144	9529
10061	9664	9275	8894	8521	8156	7799	7450	7109	6776	6451	6134	5825	5524	5231	4946	4669	4400	4139	3886	3641	3640	3639	3638	3637	3636	3635	3634	3633	3632	3631	3630	3629	3628	3627	3626	3625	3624	3623	3622	3621	3620	3619	3618	3617	3616	3615	3614	3613	3612	3611	3610	3609	3608	3607	3606	3605	3604	3603	3602	3601	3600	3599	3598	3597	3596	3595	3594	3593	3592	3591	3590	3589	3588	3587	3586	3585	3584	3583	3582	3581	3822	4071	4328	4593	4866	5147	5436	5733	6038	6351	6672	7001	7338	7683	8036	8397	8766	9143	9528
10062	9665	9276	8895	8522	8157	7800	7451	7110	6777	6452	6135	5826	5525	5232	4947	4670	4401	4140	3887	3642	3405	3404	3403	3402	3401	3400	3399	3398	3397	3396	3395	3394	3393	3392	3391	3390	3389	3388	3387	3386	3385	3384	3383	3382	3381	3380	3379	3378	3377	3376	3375	3374	3373	3372	3371	3370	3369	3368	3367	3366	3365	3364	3363	3362	3361	3360	3359	3358	3357	3356	3355	3354	3353	3352	3351	3350	3349	3348	3347	3580	3821	4070	4327	4592	4865	5146	5435	5732	6037	6350	6671	7000	7337	7682	8035	8396	8765	9142	9527
10063	9666	9277	8896	8523	8158	7801	7452	7111	6778	6453	6136	5827	5526	5233	4948	4671	4402	4141	3888	3643	3406	3177	3176	3175	3174	3173	3172	3171	3170	3169	3168	3167	3166	3165	3164	3163	3162	3161	3160	3159	3158	3157	3156	3155	3154	3153	3152	3151	3150	3149	3148	3147	3146	3145	3144	3143	3142	3141	3140	3139	3138	3137	3136	3135	3134	3133	3132	3131	3130	3129	3128	3127	3126	3125	3124	3123	3122	3121	3346	3579	3820	4069	4326	4591	4864	5145	5434	5731	6036	6349	6670	6999	7336	7681	8034	8395	8764	9141	9526
10064	9667	9278	8897	8524	8159	7802	7453	7112	6779	6454	6137	5828	5527	5234	4949	4672	4403	4142	3889	3644	3407	3178	2957	2956	2955	2954	2953	2952	2951	2950	2949	2948	2947	2946	2945	2944	2943	2942	2941	2940	2939	2938	2937	2936	2935	2934	2933	2932	2931	2930	2929	2928	2927	2926	2925	2924	2923	2922	2921	2920	2919	2918	2917	2916	2915	2914	2913	2912	2911	2910	2909	2908	2907	2906	2905	2904	2903	3120	3345	3578	3819	4068	4325	4590	4863	5144	5433	5730	6035	6348	6669	6998	7335	7680	8033	8394	8763	9140	9525
10065	9668	9279	8898	8525	8160	7803	7454	7113	6780	6455	6138	5829	5528	5235	4950	4673	4404	4143	3890	3645	3408	3179	2958	2745	2744	2743	2742	2741	2740	2739	2738	2737	2736	2735	2734	2733	2732	2731	2730	2729	2728	2727	2726	2725	2724	2723	2722	2721	2720	2719	2718	2717	2716	2715	2714	2713	2712	2711	2710	2709	2708	2707	2706	2705	2704	2703	2702	2701	2700	2699	2698	2697	2696	2695	2694	2693	2902	3119	3344	3577	3818	4067	4324	4589	4862	5143	5432	5729	6034	6347	6668	6997	7334	7679	8032	8393	8762	9139	9524
10066	9669	9280	8899	8526	8161	7804	7455	7114	6781	6456	6139	5830	5529	5236	4951	4674	4405	4144	3891	3646	3409	3180	2959	2746	2541	2540	2539	2538	2537	2536	2535	2534	2533	2532	2531	2530	2529	2528	2527	2526	2525	2524	2523	2522	2521	2520	2519	2518	2517	2516	2515	2514	2513	2512	2511	2510	2509	2508	2507	2506	2505	2504	2503	2502	2501	2500	2499	2498	2497	2496	2495	2494	2493	2492	2491	2692	2901	3118	3343	3576	3817	4066	4323	4588	4861	5142	5431	5728	6033	6346	6667	6996	7333	7678	8031	8392	8761	9138	9523
10067	9670	9281	8900	8527	8162	7805	7456	7115	6782	6457	6140	5831	5530	5237	4952	4675	4406	4145	3892	3647	3410	3181	2960	2747	2542	2345	2344	2343	2342	2341	2340	2339	2338	2337	2336	2335	2334	2333	2332	2331	2330	2329	2328	2327	2326	2325	2324	2323	2322	2321	2320	2319	2318	2317	2316	2315	2314	2313	2312	2311	2310	2309	2308	2307	2306	2305	2304	2303	2302	2301	2300	2299	2298	2297	2490	2691	2900	3117	3342	3575	3816	4065	4322	4587	4860	5141	5430	5727	6032	6345	6666	6995	7332	7677	8030	8391	8760	9137	9522
10068	9671	9282	8901	8528	8163	7806	7457	7116	6783	6458	6141	5832	5531	5238	4953	4676	4407	4146	3893	3648	3411	3182	2961	2748	2543	2346	2157	2156	2155	2154	2153	2152	2151	2150	2149	2148	2147	2146	2145	2144	2143	2142	2141	2140	2139	2138	2137	2136	2135	2134	2133	2132	2131	2130	2129	2128	2127	2126	2125	2124	2123	2122	2121	2120	2119	2118	2117	2116	2115	2114	2113	2112	2111	2296	2489	2690	2899	3116	3341	3574	3815	4064	4321	4586	4859	5140	5429	5726	6031	6344	6665	6994	7331	7676	8029	8390	8759	9136	9521
10069	9672	9283	8902	8529	8164	7807	7458	7117	6784	6459	6142	5833	5532	5239	4954	4677	4408	4147	3894	3649	3412	3183	2962	2749	2544	2347	2158	1977	1976	1975	1974	1973	1972	1971	1970	1969	1968	1967	1966	1965	1964	1963	1962	1961	1960	1959	1958	1957	1956	1955	1954	1953	1952	1951	1950	1949	1948	1947	1946	1945	1944	1943	1942	1941	1940	1939	1938	1937	1936	1935	1934	1933	2110	2295	2488	2689	2898	3115	3340	3573	3814	4063	4320	4585	4858	5139	5428	5725	6030	6343	6664	6993	7330	7675	8028	8389	8758	9135	9520
10070	9673	9284	8903	8530	8165	7808	7459	7118	6785	6460	6143	5834	5533	5240	4955	4678	4409	4148	3895	3650	3413	3184	2963	2750	2545	2348	2159	1978	1805	1804	1803	1802	1801	1800	1799	1798	1797	1796	1795	1794	1793	1792	1791	1790	1789	1788	1787	1786	1785	1784	1783	1782	1781	1780	1779	1778	1777	1776	1775	1774	1773	1772	1771	1770	1769	1768	1767	1766	1765	1764	1763	1932	2109	2294	2487	2688	2897	3114	3339	3572	3813	4062	4319	4584	4857	5138	5427	5724	6029	6342	6663	6992	7329	7674	8027	8388	8757	9134	9519
10071	9674	9285	8904	8531	8166	7809	7460	7119	6786	6461	6144	5835	5534	5241	4956	4679	4410	4149	3896	3651	3414	3185	2964	2751	2546	2349	2160	1979	1806	1641	1640	1639	1638	1637	1636	1635	1634	1633	1632	1631	1630	1629	1628	1627	1626	1625	1624	1623	1622	1621	1620	1619	1618	1617	1616	1615	1614	1613	1612	1611	1610	1609	1608	1607	1606	1605	1604	1603	1602	1601	1762	1931	2108	2293	2486	2687	2896	3113	3338	3571	3812	4061	4318	4583	4856	5137	5426	5723	6028	6341	6662	6991	7328	7673	8026	8387	8756	9133	9518
10072	9675	9286	8905	8532	8167	7810	7461	7120	6787	6462	6145	5836	5535	5242	4957	4680	4411	4150	3897	3652	3415	3186	2965	2752	2547	2350	2161	1980	1807	1642	1485	1484	1483	1482	1481	1480	1479	1478	1477	1476	1475	1474	1473	1472	1471	1470	1469	1468	1467	1466	1465	1464	1463	1462	1461	1460	1459	1458	1457	1456	1455	1454	1453	1452	1451	1450	1449	1448	1447	1600	1761	1930	2107	2292	2485	2686	2895	3112	3337	3570	3811	4060	4317	4582	4855	5136	5425	5722	6027	6340	6661	6990	7327	7672	8025	8386	8755	9132	9517
10073	9676	9287	8906	8533	8168	7811	7462	7121	6788	6463	6146	5837	5536	5243	4958	4681	4412	4151	3898	3653	3416	3187	2966	2753	2548	2351	2162	1981	1808	1643	1486	1337	1336	1335	1334	1333	1332	1331	1330	1329	1328	1327	1326	1325	1324	1323	1322	1321	1320	1319	1318	1317	1316	1315	1314	1313	1312	1311	1310	1309	1308	1307	1306	1305	1304	1303	1302	1301	1446	1599	1760	1929	2106	2291	2484	2685	2894	3111	3336	3569	3810	4059	4316	4581	4854	5135	5424	5721	6026	6339	6660	6989	7326	7671	8024	8385	8754	9131	9516
10074	9677	9288	8907	8534	8169	7812	7463	7122	6789	6464	6147	5838	5537	5244	4959	4682	4413	4152	3899	3654	3417	3188	2967	2754	2549	2352	2163	1982	1809	1644	1487	1338	1197	1196	1195	1194	1193	1192	1191	1190	1189	1188	1187	1186	1185	1184	1183	1182	1181	1180	1179	1178	1177	1176	1175	1174	1173	1172	1171	1170	1169	1168	1167	1166	1165	1164	1163	1300	1445	1598	1759	1928	2105	2290	2483	2684	2893	3110	3335	3568	3809	4058	4315	4580	4853	5134	5423	5720	6025	6338	6659	6988	7325	7670	8023	8384	8753	9130	9515
10075	9678	9289	8908	8535	8170	7813	7464	7123	6790	6465	6148	5839	5538	5245	4960	4683	4414	4153	3900	3655	3418	3189	2968	2755	2550	2353	2164	1983	1810	1645	1488	1339	1198	1065	1064	1063	1062	1061	1060	1059	1058	1057	1056	1055	1054	1053	1052	1051	1050	1049	1048	1047	1046	1045	1044	1043	1042	1041	1040	1039	1038	1037	1036	1035	1034	1033	1162	1299	1444	1597	1758	1927	2104	2289	2482	2683	2892	3109	3334	3567	3808	4057	4314	4579	4852	5133	5422	5719	6024	6337	6658	6987	7324	7669	8022	8383	8752	9129	9514
10076	9679	9290	8909	8536	8171	7814	7465	7124	6791	6466	6149	5840	5539	5246	4961	4684	4415	4154	3901	3656	3419	3190	2969	2756	2551	2354	2165	1984	1811	1646	1489	1340	1199	1066	941	940	939	938	937	936	935	934	933	932	931	930	929	928	927	926	925	924	923	922	921	920	919	918	917	916	915	914	913	912	911	1032	1161	1298	1443	1596	1757	1926	2103	2288	2481	2682	2891	3108	3333	3566	3807	4056	4313	4578	4851	5132	5421	5718	6023	6336	6657	6986	7323	7668	8021	8382	8751	9128	9513
10077	9680	9291	8910	8537	8172	7815	7466	7125	6792	6467	6150	5841	5540	5247	4962	4685	4416	4155	3902	3657	3420	3191	2970	2757	2552	2355	2166	1985	1812	1647	1490	1341	1200	1067	942	825	824	823	822	821	820	819	818	817	816	815	814	813	812	811	810	809	808	807	806	805	804	803	802	801	800	799	798	797	910	1031	1160	1297	1442	1595	1756	1925	2102	2287	2480	2681	2890	3107	3332	3565	3806	4055	4312	4577	4850	5131	5420	5717	6022	6335	6656	6985	7322	7667	8020	8381	8750	9127	9512
10078	9681	9292	8911	8538	8173	7816	7467	7126	6793	6468	6151	5842	5541	5248	4963	4686	4417	4156	3903	3658	3421	3192	2971	2758	2553	2356	2167	1986	1813	1648	1491	1342	1201	1068	943	826	717	716	715	714	713	712	711	710	709	708	707	706	705	704	703	702	701	700	699	698	697	696	695	694	693	692	691	796	909	1030	1159	1296	1441	1594	1755	1924	2101	2286	2479	2680	2889	3106	3331	3564	3805	4054	4311	4576	4849	5130	5419	5716	6021	6334	6655	6984	7321	7666	8019	8380	8749	9126	9511
10079	9682	9293	8912	8539	8174	7817	7468	7127	6794	6469	6152	5843	5542	5249	4964	4687	4418	4157	3904	3659	3422	3193	2972	2759	2554	2357	2168	1987	1814	1649	1492	1343	1202	1069	944	827	718	617	616	615	614	613	612	611	610	609	608	607	606	605	604	603	602	601	600	599	598	597	596	595	594	593	690	795	908	1029	1158	1295	1440	1593	1754	1923	2100	2285	2478	2679	2888	3105	3330	3563	3804	4053	4310	4575	4848	5129	5418	5715	6020	6333	6654	6983	7320	7665	8018	8379	8748	9125	9510
10080	9683	9294	8913	8540	8175	7818	7469	7128	6795	6470	6153	5844	5543	5250	4965	4688	4419	4158	3905	3660	3423	3194	2973	2760	2555	2358	2169	1988	1815	1650	1493	1344	1203	1070	945	828	719	618	525	524	523	522	521	520	519	518	517	516	515	514	513	512	511	510	509	508	507	506	505	504	503	592	689	794	907	1028	1157	1294	1439	1592	1753	1922	2099	2284	2477	2678	2887	3104	3329	3562	3803	4052	4309	4574	4847	5128	5417	5714	6019	6332	6653	6982	7319	7664	8017	8378	8747	9124	9509
10081	9684	9295	8914	8541	8176	7819	7470	7129	6796	6471	6154	5845	5544	5251	4966	4689	4420	4159	3906	3661	3424	3195	2974	2761	2556	2359	2170	1989	1816	1651	1494	1345	1204	1071	946	829	720	619	526	441	440	439	438	437	436	435	434	433	432	431	430	429	428	427	426	425	424	423	422	421	502	591	688	793	906	1027	1156	1293	1438	1591	1752	1921	2098	2283	2476	2677	2886	3103	3328	3561	3802	4051	4308	4573	4846	5127	5416	5713	6018	6331	6652	6981	7318	7663	8016	8377	8746	9123	9508
10082	9685	9296	8915	8542	8177	7820	7471	7130	6797	6472	6155	5846	5545	5252	4967	4690	4421	4160	3907	3662	3425	3196	2975	2762	2557	2360	2171	1990	1817	1652	1495	1346	1205	1072	947	830	721	620	527	442	365	364	363	362	361	360	359	358	357	356	355	354	353	352	351	350	349	348	347	420	501	590	687	792	905	1026	1155	1292	1437	1590	1751	1920	2097	2282	2475	2676	2885	3102	3327	3560	3801	4050	4307	4572	4845	5126	5415	5712	6017	6330	6651	6980	7317	7662	8015	8376	8745	9122	9507
10083	9686	9297	8916	8543	8178	7821	7472	7131	6798	6473	6156	5847	5546	5253	4968	4691	4422	4161	3908	3663	3426	3197	2976	2763	2558	2361	2172	1991	1818	1653	1496	1347	1206	1073	948	831	722	621	528	443	366	297	296	295	294	293	292	291	290	289	288	287	286	285	284	283	282	281	346	419	500	589	686	791	904	1025	1154	1291	1436	1589	1750	1919	2096	2281	2474	2675	2884	3101	3326	3559	3800	4049	4306	4571	4844	5125	5414	5711	6016	6329	6650	6979	7316	7661	8014	8375	8744	9121	9506
10084	9687	9298	8917	8544	8179	7822	7473	7132	6799	6474	6157	5848	5547	5254	4969	4692	4423	4162	3909	3664	3427	3198	2977	2764	2559	2362	2173	1992	1819	1654	1497	1348	1207	1074	949	832	723	622	529	444	367	298	237	236	235	234	233	232	231	230	229	228	227	226	225	224	223	280	345	418	499	588	685	790	903	1024	1153	1290	1435	1588	1749	1918	2095	2280	2473	2674	2883	3100	3325	3558	3799	4048	4305	4570	4843	5124	5413	5710	6015	6328	6649	6978	7315	7660	8013	8374	8743	9120	9505
10085	9688	9299	8918	8545	8180	7823	7474	7133	6800	6475	6158	5849	5548	5255	4970	4693	4424	4163	3910	3665	3428	3199	2978	2765	2560	2363	2174	1993	1820	1655	1498	1349	1208	1075	950	833	724	623	530	445	368	299	238	185	184	183	182	181	180	179	178	177	176	175	174	173	222	279	344	417	498	587	684	789	902	1023	1152	1289	1434	1587	1748	1917	2094	2279	2472	2673	2882	3099	3324	3557	3798	4047	4304	4569	4842	5123	5412	5709	6014	6327	6648	6977	7314	7659	8012	8373	8742	9119	9504
10086	9689	9300	8919	8546	8181	7824	7475	7134	6801	6476	6159	5850	5549	5256	4971	4694	4425	4164	3911	3666	3429	3200	2979	2766	2561	2364	2175	1994	1821	1656	1499	1350	1209	1076	951	834	725	624	531	446	369	300	239	186	141	140	139	138	137	136	135	134	133	132	131	172	221	278	343	416	497	586	683	788	901	1022	1151	1288	1433	1586	1747	1916	2093	2278	2471	2672	2881	3098	3323	3556	3797	4046	4303	4568	4841	5122	5411	5708	6013	6326	6647	6976	7313	7658	8011	8372	8741	9118	9503
10087	9690	9301	8920	8547	8182	7825	7476	7135	6802	6477	6160	5851	5550	5257	4972	4695	4426	4165	3912	3667	3430	3201	2980	2767	2562	2365	2176	1995	1822	1657	1500	1351	1210	1077	952	835	726	625	532	447	370	301	240	187	142	105	104	103	102	101	100	99	98	97	130	171	220	277	342	415	496	585	682	787	900	1021	1150	1287	1432	1585	1746	1915	2092	2277	2470	2671	2880	3097	3322	3555	3796	4045	4302	4567	4840	5121	5410	5707	6012	6325	6646	6975	7312	7657	8010	8371	8740	9117	9502
10088	9691	9302	8921	8548	8183	7826	7477	7136	6803	6478	6161	5852	5551	5258	4973	4696	4427	4166	3913	3668	3431	3202	2981	2768	2563	2366	2177	1996	1823	1658	1501	1352	1211	1078	953	836	727	626	533	448	371	302	241	188	143	106	77	76	75	74	73	72	71	96	129	170	219	276	341	414	495	584	681	786	899	1020	1149	1286	1431	1584	1745	1914	2091	2276	2469	2670	2879	3096	3321	3554	3795	4044	4301	4566	4839	5120	5409	5706	6011	6324	6645	6974	7311	7656	8009	8370	8739	9116	9501
10089	9692	9303	8922	8549	8184	7827	7478	7137	6804	6479	6162	5853	5552	5259	4974	4697	4428	4167	3914	3669	3432	3203	2982	2769	2564	2367	2178	1997	1824	1659	1502	1353	1212	1079	954	837	728	627	534	449	372	303	242	189	144	107	78	57	56	55	54	53	70	95	128	169	218	275	340	413	494	583	680	785	898	1019	1148	1285	1430	1583	1744	1913	2090	2275	2468	2669	2878	3095	3320	3553	3794	4043	4300	4565	4838	5119	5408	5705	6010	6323	6644	6973	7310	7655	8008	8369	8738	9115	9500
10090	9693	9304	8923	8550	8185	7828	7479	7138	6805	6480	6163	5854	5553	5260	4975	4698	4429	4168	3915	3670	3433	3204	2983	2770	2565	2368	2179	1998	1825	1660	1503	1354	1213	1080	955	838	729	628	535	450	373	304	243	190	145	108	79	58	45	44	43	52	69	94	127	168	217	274	339	412	493	582	679	784	897	1018	1147	1284	1429	1582	1743	1912	2089	2274	2467	2668	2877	3094	3319	3552	3793	4042	4299	4564	4837	5118	5407	5704	6009	6322	6643	6972	7309	7654	8007	8368	8737	9114	9499
10091	9694	9305	8924	8551	8186	7829	7480	7139	6806	6481	6164	5855	5554	5261	4976	4699	4430	4169	3916	3671	3434	3205	2984	2771	2566	2369	2180	1999	1826	1661	1504	1355	1214	1081	956	839	730	629	536	451	374	305	244	191	146	109	80	59	46	41	42	51	68	93	126	167	216	273	338	411	492	581	678	783	896	1017	1146	1283	1428	1581	1742	1911	2088	2273	2466	2667	2876	3093	3318	3551	3792	4041	4298	4563	4836	5117	5406	5703	6008	6321	6642	6971	7308	7653	8006	8367	8736	9113	9498
10092	9695	9306	8925	8552	8187	7830	7481	7140	6807	6482	6165	5856	5555	5262	4977	4700	4431	4170	3917	3672	3435	3206	2985	2772	2567	2370	2181	2000	1827	1662	1505	1356	1215	1082	957	840	731	630	537	452	375	306	245	192	147	110	81	60	47	48	49	50	67	92	125	166	215	272	337	410	491	580	677	782	895	1016	1145	1282	1427	1580	1741	1910	2087	2272	2465	2666	2875	3092	3317	3550	3791	4040	4297	4562	4835	5116	5405	5702	6007	6320	6641	6970	7307	7652	8005	8366	8735	9112	9497
10093	9696	9307	8926	8553	8188	7831	7482	7141	6808	6483	6166	5857	5556	5263	4978	4701	4432	4171	3918	3673	3436	3207	2986	2773	2568	2371	2182	2001	1828	1663	1506	1357	1216	1083	958	841	732	631	538	453	376	307	246	193	148	111	82	61	62	63	64	65	66	91	124	165	214	271	336	409	490	579	676	781	894	1015	1144	1281	1426	1579	1740	1909	2086	2271	2464	2665	2874	3091	3316	3549	3790	4039	4296	4561	4834	5115	5404	5701	6006	6319	6640	6969	7306	7651	8004	8365	8734	9111	9496
10094	9697	9308	8927	8554	8189	7832	7483	7142	6809	6484	6167	5858	5557	5264	4979	4702	4433	4172	3919	3674	3437	3208	2987	2774	2569	2372	2183	2002	1829	1664	1507	1358	1217	1084	959	842	733	632	539	454	377	308	247	194	149	112	83	84	85	86	87	88	89	90	123	164	213	270	335	408	489	578	675	780	893	1014	1143	1280	1425	1578	1739	1908	2085	2270	2463	2664	2873	3090	3315	3548	3789	4038	4295	4560	4833	5114	5403	5700	6005	6318	6639	6968	7305	7650	8003	8364	8733	9110	9495
10095	9698	9309	8928	8555	8190	7833	7484	7143	6810	6485	6168	5859	5558	5265	4980	4703	4434	4173	3920	3675	3438	3209	2988	2775	2570	2373	2184	2003	1830	1665	1508	1359	1218	1085	960	843	734	633	540	455	378	309	248	195	150	113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	163	212	269	334	407	488	577	674	779	892	1013	1142	1279	1424	1577	1738	1907	2084	2269	2462	2663	2872	3089	3314	3547	3788	4037	4294	4559	4832	5113	5402	5699	6004	6317	6638	6967	7304	7649	8002	8363	8732	9109	9494
10096	9699	9310	8929	8556	8191	7834	7485	7144	6811	6486	6169	5860	5559	5266	4981	4704	4435	4174	3921	3676	3439	3210	2989	2776	2571	2374	2185	2004	1831	1666	1509	1360	1219	1086	961	844	735	634	541	456	379	310	249	196	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160	161	162	211	268	333	406	487	576	673	778	891	1012	1141	1278	1423	1576	1737	1906	2083	2268	2461	2662	2871	3088	3313	3546	3787	4036	4293	4558	4831	5112	5401	5698	6003	6316	6637	6966	7303	7648	8001	8362	8731	9108	9493
10097	9700	9311	8930	8557	8192	7835	7486	7145	6812	6487	6170	5861	5560	5267	4982	4705	4436	4175	3922	3677	3440	3211	2990	2777	2572	2375	2186	2005	1832	1667	1510	1361	1220	1087	962	845	736	635	542	457	380	311	250	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	267	332	405	486	575	672	777	890	1011	1140	1277	1422	1575	1736	1905	2082	2267	2460	2661	2870	3087	3312	3545	3786	4035	4292	4557	4830	5111	5400	5697	6002	6315	6636	6965	7302	7647	8000	8361	8730	9107	9492
10098	9701	9312	8931	8558	8193	7836	7487	7146	6813	6488	6171	5862	5561	5268	4983	4706	4437	4176	3923	3678	3441	3212	2991	2778	2573	2376	2187	2006	1833	1668	1511	1362	1221	1088	963	846	737	636	543	458	381	312	251	252	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264	265	266	331	404	485	574	671	776	889	1010	1139	1276	1421	1574	1735	1904	2081	2266	2459	2660	2869	3086	3311	3544	3785	4034	4291	4556	4829	5110	5399	5696	6001	6314	6635	6964	7301	7646	7999	8360	8729	9106	9491
10099	9702	9313	8932	8559	8194	7837	7488	7147	6814	6489	6172	5863	5562	5269	4984	4707	4438	4177	3924	3679	3442	3213	2992	2779	2574	2377	2188	2007	1834	1669	1512	1363	1222	1089	964	847	738	637	544	459	382	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324	325	326	327	328	329	330	403	484	573	670	775	888	1009	1138	1275	1420	1573	1734	1903	2080	2265	2458	2659	2868	3085	3310	3543	3784	4033	4290	4555	4828	5109	5398	5695	6000	6313	6634	6963	7300	7645	7998	8359	8728	9105	9490
10100	9703	9314	8933	8560	8195	7838	7489	7148	6815	6490	6173	5864	5563	5270	4985	4708	4439	4178	3925	3680	3443	3214	2993	2780	2575	2378	2189	2008	1835	1670	1513	1364	1223	1090	965	848	739	638	545	460	383	384	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400	401	402	483	572	669	774	887	1008	1137	1274	1419	1572	1733	1902	2079	2264	2457	2658	2867	3084	3309	3542	3783	4032	4289	4554	4827	5108	5397	5694	5999	6312	6633	6962	7299	7644	7997	8358	8727	9104	9489
10101	9704	9315	8934	8561	8196	7839	7490	7149	6816	6491	6174	5865	5564	5271	4986	4709	4440	4179	3926	3681	3444	3215	2994	2781	2576	2379	2190	2009	1836	1671	1514	1365	1224	1091	966	849	740	639	546	461	462	463	464	465	466	467	468	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480	481	482	571	668	773	886	1007	1136	1273	1418	1571	1732	1901	2078	2263	2456	2657	2866	3083	3308	3541	3782	4031	4288	4553	4826	5107	5396	5693	5998	6311	6632	6961	7298	7643	7996	8357	8726	9103	9488
10102	9705	9316	8935	8562	8197	7840	7491	7150	6817	6492	6175	5866	5565	5272	4987	4710	4441	4180	3927	3682	3445	3216	2995	2782	2577	2380	2191	2010	1837	1672	1515	1366	1225	1092	967	850	741	640	547	548	549	550	551	552	553	554	555	556	557	558	559	560	561	562	563	564	565	566	567	568	569	570	667	772	885	1006	1135	1272	1417	1570	1731	1900	2077	2262	2455	2656	2865	3082	3307	3540	3781	4030	4287	4552	4825	5106	5395	5692	5997	6310	6631	6960	7297	7642	7995	8356	8725	9102	9487
10103	9706	9317	8936	8563	8198	7841	7492	7151	6818	6493	6176	5867	5566	5273	4988	4711	4442	4181	3928	3683	3446	3217	2996	2783	2578	2381	2192	2011	1838	1673	1516	1367	1226	1093	968	851	742	641	642	643	644	645	646	647	648	649	650	651	652	653	654	655	656	657	658	659	660	661	662	663	664	665	666	771	884	1005	1134	1271	1416	1569	1730	1899	2076	2261	2454	2655	2864	3081	3306	3539	3780	4029	4286	4551	4824	5105	5394	5691	5996	6309	6630	6959	7296	7641	7994	8355	8724	9101	9486
10104	9707	9318	8937	8564	8199	7842	7493	7152	6819	6494	6177	5868	5567	5274	4989	4712	4443	4182	3929	3684	3447	3218	2997	2784	2579	2382	2193	2012	1839	1674	1517	1368	1227	1094	969	852	743	744	745	746	747	748	749	750	751	752	753	754	755	756	757	758	759	760	761	762	763	764	765	766	767	768	769	770	883	1004	1133	1270	1415	1568	1729	1898	2075	2260	2453	2654	2863	3080	3305	3538	3779	4028	4285	4550	4823	5104	5393	5690	5995	6308	6629	6958	7295	7640	7993	8354	8723	9100	9485
10105	9708	9319	8938	8565	8200	7843	7494	7153	6820	6495	6178	5869	5568	5275	4990	4713	4444	4183	3930	3685	3448	3219	2998	2785	2580	2383	2194	2013	1840	1675	1518	1369	1228	1095	970	853	854	855	856	857	858	859	860	861	862	863	864	865	866	867	868	869	870	871	872	873	874	875	876	877	878	879	880	881	882	1003	1132	1269	1414	1567	1728	1897	2074	2259	2452	2653	2862	3079	3304	3537	3778	4027	4284	4549	4822	5103	5392	5689	5994	6307	6628	6957	7294	7639	7992	8353	8722	9099	9484
10106	9709	9320	8939	8566	8201	7844	7495	7154	6821	6496	6179	5870	5569	5276	4991	4714	4445	4184	3931	3686	3449	3220	2999	2786	2581	2384	2195	2014	1841	1676	1519	1370	1229	1096	971	972	973	974	975	976	977	978	979	980	981	982	983	984	985	986	987	988	989	990	991	992	993	994	995	996	997	998	999	1000	1001	1002	1131	1268	1413	1566	1727	1896	2073	2258	2451	2652	2861	3078	3303	3536	3777	4026	4283	4548	4821	5102	5391	5688	5993	6306	6627	6956	7293	7638	7991	8352	8721	9098	9483
10107	9710	9321	8940	8567	8202	7845	7496	7155	6822	6497	6180	5871	5570	5277	4992	4715	4446	4185	3932	3687	3450	3221	3000	2787	2582	2385	2196	2015	1842	1677	1520	1371	1230	1097	1098	1099	1100	1101	1102	1103	1104	1105	1106	1107	1108	1109	1110	1111	1112	1113	1114	1115	1116	1117	1118	1119	1120	1121	1122	1123	1124	1125	1126	1127	1128	1129	1130	1267	1412	1565	1726	1895	2072	2257	2450	2651	2860	3077	3302	3535	3776	4025	4282	4547	4820	5101	5390	5687	5992	6305	6626	6955	7292	7637	7990	8351	8720	9097	9482
10108	9711	9322	8941	8568	8203	7846	7497	7156	6823	6498	6181	5872	5571	5278	4993	4716	4447	4186	3933	3688	3451	3222	3001	2788	2583	2386	2197	2016	1843	1678	1521	1372	1231	1232	1233	1234	1235	1236	1237	1238	1239	1240	1241	1242	1243	1244	1245	1246	1247	1248	1249	1250	1251	1252	1253	1254	1255	1256	1257	1258	1259	1260	1261	1262	1263	1264	1265	1266	1411	1564	1725	1894	2071	2256	2449	2650	2859	3076	3301	3534	3775	4024	4281	4546	4819	5100	5389	5686	5991	6304	6625	6954	7291	7636	7989	8350	8719	9096	9481
10109	9712	9323	8942	8569	8204	7847	7498	7157	6824	6499	6182	5873	5572	5279	4994	4717	4448	4187	3934	3689	3452	3223	3002	2789	2584	2387	2198	2017	1844	1679	1522	1373	1374	1375	1376	1377	1378	1379	1380	1381	1382	1383	1384	1385	1386	1387	1388	1389	1390	1391	1392	1393	1394	1395	1396	1397	1398	1399	1400	1401	1402	1403	1404	1405	1406	1407	1408	1409	1410	1563	1724	1893	2070	2255	2448	2649	2858	3075	3300	3533	3774	4023	4280	4545	4818	5099	5388	5685	5990	6303	6624	6953	7290	7635	7988	8349	8718	9095	9480
10110	9713	9324	8943	8570	8205	7848	7499	7158	6825	6500	6183	5874	5573	5280	4995	4718	4449	4188	3935	3690	3453	3224	3003	2790	2585	2388	2199	2018	1845	1680	1523	1524	1525	1526	1527	1528	1529	1530	1531	1532	1533	1534	1535	1536	1537	1538	1539	1540	1541	1542	1543	1544	1545	1546	1547	1548	1549	1550	1551	1552	1553	1554	1555	1556	1557	1558	1559	1560	1561	1562	1723	1892	2069	2254	2447	2648	2857	3074	3299	3532	3773	4022	4279	4544	4817	5098	5387	5684	5989	6302	6623	6952	7289	7634	7987	8348	8717	9094	9479
10111	9714	9325	8944	8571	8206	7849	7500	7159	6826	6501	6184	5875	5574	5281	4996	4719	4450	4189	3936	3691	3454	3225	3004	2791	2586	2389	2200	2019	1846	1681	1682	1683	1684	1685	1686	1687	1688	1689	1690	1691	1692	1693	1694	1695	1696	1697	1698	1699	1700	1701	1702	1703	1704	1705	1706	1707	1708	1709	1710	1711	1712	1713	1714	1715	1716	1717	1718	1719	1720	1721	1722	1891	2068	2253	2446	2647	2856	3073	3298	3531	3772	4021	4278	4543	4816	5097	5386	5683	5988	6301	6622	6951	7288	7633	7986	8347	8716	9093	9478
10112	9715	9326	8945	8572	8207	7850	7501	7160	6827	6502	6185	5876	5575	5282	4997	4720	4451	4190	3937	3692	3455	3226	3005	2792	2587	2390	2201	2020	1847	1848	1849	1850	1851	1852	1853	1854	1855	1856	1857	1858	1859	1860	1861	1862	1863	1864	1865	1866	1867	1868	1869	1870	1871	1872	1873	1874	1875	1876	1877	1878	1879	1880	1881	1882	1883	1884	1885	1886	1887	1888	1889	1890	2067	2252	2445	2646	2855	3072	3297	3530	3771	4020	4277	4542	4815	5096	5385	5682	5987	6300	6621	6950	7287	7632	7985	8346	8715	9092	9477
10113	9716	9327	8946	8573	8208	7851	7502	7161	6828	6503	6186	5877	5576	5283	4998	4721	4452	4191	3938	3693	3456	3227	3006	2793	2588	2391	2202	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028	2029	2030	2031	2032	2033	2034	2035	2036	2037	2038	2039	2040	2041	2042	2043	2044	2045	2046	2047	2048	2049	2050	2051	2052	2053	2054	2055	2056	2057	2058	2059	2060	2061	2062	2063	2064	2065	2066	2251	2444	2645	2854	3071	3296	3529	3770	4019	4276	4541	4814	5095	5384	5681	5986	6299	6620	6949	7286	7631	7984	8345	8714	9091	9476
10114	9717	9328	8947	8574	8209	7852	7503	7162	6829	6504	6187	5878	5577	5284	4999	4722	4453	4192	3939	3694	3457	3228	3007	2794	2589	2392	2203	2204	2205	2206	2207	2208	2209	2210	2211	2212	2213	2214	2215	2216	2217	2218	2219	2220	2221	2222	2223	2224	2225	2226	2227	2228	2229	2230	2231	2232	2233	2234	2235	2236	2237	2238	2239	2240	2241	2242	2243	2244	2245	2246	2247	2248	2249	2250	2443	2644	2853	3070	3295	3528	3769	4018	4275	4540	4813	5094	5383	5680	5985	6298	6619	6948	7285	7630	7983	8344	8713	9090	9475
10115	9718	9329	8948	8575	8210	7853	7504	7163	6830	6505	6188	5879	5578	5285	5000	4723	4454	4193	3940	3695	3458	3229	3008	2795	2590	2393	2394	2395	2396	2397	2398	2399	2400	2401	2402	2403	2404	2405	2406	2407	2408	2409	2410	2411	2412	2413	2414	2415	2416	2417	2418	2419	2420	2421	2422	2423	2424	2425	2426	2427	2428	2429	2430	2431	2432	2433	2434	2435	2436	2437	2438	2439	2440	2441	2442	2643	2852	3069	3294	3527	3768	4017	4274	4539	4812	5093	5382	5679	5984	6297	6618	6947	7284	7629	7982	8343	8712	9089	9474
10116	9719	9330	8949	8576	8211	7854	7505	7164	6831	6506	6189	5880	5579	5286	5001	4724	4455	4194	3941	3696	3459	3230	3009	2796	2591	2592	2593	2594	2595	2596	2597	2598	2599	2600	2601	2602	2603	2604	2605	2606	2607	2608	2609	2610	2611	2612	2613	2614	2615	2616	2617	2618	2619	2620	2621	2622	2623	2624	2625	2626	2627	2628	2629	2630	2631	2632	2633	2634	2635	2636	2637	2638	2639	2640	2641	2642	2851	3068	3293	3526	3767	4016	4273	4538	4811	5092	5381	5678	5983	6296	6617	6946	7283	7628	7981	8342	8711	9088	9473
10117	9720	9331	8950	8577	8212	7855	7506	7165	6832	6507	6190	5881	5580	5287	5002	4725	4456	4195	3942	3697	3460	3231	3010	2797	2798	2799	2800	2801	2802	2803	2804	2805	2806	2807	2808	2809	2810	2811	2812	2813	2814	2815	2816	2817	2818	2819	2820	2821	2822	2823	2824	2825	2826	2827	2828	2829	2830	2831	2832	2833	2834	2835	2836	2837	2838	2839	2840	2841	2842	2843	2844	2845	2846	2847	2848	2849	2850	3067	3292	3525	3766	4015	4272	4537	4810	5091	5380	5677	5982	6295	6616	6945	7282	7627	7980	8341	8710	9087	9472
10118	9721	9332	8951	8578	8213	7856	7507	7166	6833	6508	6191	5882	5581	5288	5003	4726	4457	4196	3943	3698	3461	3232	3011	3012	3013	3014	3015	3016	3017	3018	3019	3020	3021	3022	3023	3024	3025	3026	3027	3028	3029	3030	3031	3032	3033	3034	3035	3036	3037	3038	3039	3040	3041	3042	3043	3044	3045	3046	3047	3048	3049	3050	3051	3052	3053	3054	3055	3056	3057	3058	3059	3060	3061	3062	3063	3064	3065	3066	3291	3524	3765	4014	4271	4536	4809	5090	5379	5676	5981	6294	6615	6944	7281	7626	7979	8340	8709	9086	9471
10119	9722	9333	8952	8579	8214	7857	7508	7167	6834	6509	6192	5883	5582	5289	5004	4727	4458	4197	3944	3699	3462	3233	3234	3235	3236	3237	3238	3239	3240	3241	3242	3243	3244	3245	3246	3247	3248	3249	3250	3251	3252	3253	3254	3255	3256	3257	3258	3259	3260	3261	3262	3263	3264	3265	3266	3267	3268	3269	3270	3271	3272	3273	3274	3275	3276	3277	3278	3279	3280	3281	3282	3283	3284	3285	3286	3287	3288	3289	3290	3523	3764	4013	4270	4535	4808	5089	5378	5675	5980	6293	6614	6943	7280	7625	7978	8339	8708	9085	9470
10120	9723	9334	8953	8580	8215	7858	7509	7168	6835	6510	6193	5884	5583	5290	5005	4728	4459	4198	3945	3700	3463	3464	3465	3466	3467	3468	3469	3470	3471	3472	3473	3474	3475	3476	3477	3478	3479	3480	3481	3482	3483	3484	3485	3486	3487	3488	3489	3490	3491	3492	3493	3494	3495	3496	3497	3498	3499	3500	3501	3502	3503	3504	3505	3506	3507	3508	3509	3510	3511	3512	3513	3514	3515	3516	3517	3518	3519	3520	3521	3522	3763	4012	4269	4534	4807	5088	5377	5674	5979	6292	6613	6942	7279	7624	7977	8338	8707	9084	9469
10121	9724	9335	8954	8581	8216	7859	7510	7169	6836	6511	6194	5885	5584	5291	5006	4729	4460	4199	3946	3701	3702	3703	3704	3705	3706	3707	3708	3709	3710	3711	3712	3713	3714	3715	3716	3717	3718	3719	3720	3721	3722	3723	3724	3725	3726	3727	3728	3729	3730	3731	3732	3733	3734	3735	3736	3737	3738	3739	3740	3741	3742	3743	3744	3745	3746	3747	3748	3749	3750	3751	3752	3753	3754	3755	3756	3757	3758	3759	3760	3761	3762	4011	4268	4533	4806	5087	5376	5673	5978	6291	6612	6941	7278	7623	7976	8337	8706	9083	9468
10122	9725	9336	8955	8582	8217	7860	7511	7170	6837	6512	6195	5886	5585	5292	5007	4730	4461	4200	3947	3948	3949	3950	3951	3952	3953	3954	3955	3956	3957	3958	3959	3960	3961	3962	3963	3964	3965	3966	3967	3968	3969	3970	3971	3972	3973	3974	3975	3976	3977	3978	3979	3980	3981	3982	3983	3984	3985	3986	3987	3988	3989	3990	3991	3992	3993	3994	3995	3996	3997	3998	3999	4000	4001	4002	4003	4004	4005	4006	4007	4008	4009	4010	4267	4532	4805	5086	5375	5672	5977	6290	6611	6940	7277	7622	7975	8336	8705	9082	9467
10123	9726	9337	8956	8583	8218	7861	7512	7171	6838	6513	6196	5887	5586	5293	5008	4731	4462	4201	4202	4203	4204	4205	4206	4207	4208	4209	4210	4211	4212	4213	4214	4215	4216	4217	4218	4219	4220	4221	4222	4223	4224	4225	4226	4227	4228	4229	4230	4231	4232	4233	4234	4235	4236	4237	4238	4239	4240	4241	4242	4243	4244	4245	4246	4247	4248	4249	4250	4251	4252	4253	4254	4255	4256	4257	4258	4259	4260	4261	4262	4263	4264	4265	4266	4531	4804	5085	5374	5671	5976	6289	6610	6939	7276	7621	7974	8335	8704	9081	9466
10124	9727	9338	8957	8584	8219	7862	7513	7172	6839	6514	6197	5888	5587	5294	5009	4732	4463	4464	4465	4466	4467	4468	4469	4470	4471	4472	4473	4474	4475	4476	4477	4478	4479	4480	4481	4482	4483	4484	4485	4486	4487	4488	4489	4490	4491	4492	4493	4494	4495	4496	4497	4498	4499	4500	4501	4502	4503	4504	4505	4506	4507	4508	4509	4510	4511	4512	4513	4514	4515	4516	4517	4518	4519	4520	4521	4522	4523	4524	4525	4526	4527	4528	4529	4530	4803	5084	5373	5670	5975	6288	6609	6938	7275	7620	7973	8334	8703	9080	9465
10125	9728	9339	8958	8585	8220	7863	7514	7173	6840	6515	6198	5889	5588	5295	5010	4733	4734	4735	4736	4737	4738	4739	4740	4741	4742	4743	4744	4745	4746	4747	4748	4749	4750	4751	4752	4753	4754	4755	4756	4757	4758	4759	4760	4761	4762	4763	4764	4765	4766	4767	4768	4769	4770	4771	4772	4773	4774	4775	4776	4777	4778	4779	4780	4781	4782	4783	4784	4785	4786	4787	4788	4789	4790	4791	4792	4793	4794	4795	4796	4797	4798	4799	4800	4801	4802	5083	5372	5669	5974	6287	6608	6937	7274	7619	7972	8333	8702	9079	9464
10126	9729	9340	8959	8586	8221	7864	7515	7174	6841	6516	6199	5890	5589	5296	5011	5012	5013	5014	5015	5016	5017	5018	5019	5020	5021	5022	5023	5024	5025	5026	5027	5028	5029	5030	5031	5032	5033	5034	5035	5036	5037	5038	5039	5040	5041	5042	5043	5044	5045	5046	5047	5048	5049	5050	5051	5052	5053	5054	5055	5056	5057	5058	5059	5060	5061	5062	5063	5064	5065	5066	5067	5068	5069	5070	5071	5072	5073	5074	5075	5076	5077	5078	5079	5080	5081	5082	5371	5668	5973	6286	6607	6936	7273	7618	7971	8332	8701	9078	9463
10127	9730	9341	8960	8587	8222	7865	7516	7175	6842	6517	6200	5891	5590	5297	5298	5299	5300	5301	5302	5303	5304	5305	5306	5307	5308	5309	5310	5311	5312	5313	5314	5315	5316	5317	5318	5319	5320	5321	5322	5323	5324	5325	5326	5327	5328	5329	5330	5331	5332	5333	5334	5335	5336	5337	5338	5339	5340	5341	5342	5343	5344	5345	5346	5347	5348	5349	5350	5351	5352	5353	5354	5355	5356	5357	5358	5359	5360	5361	5362	5363	5364	5365	5366	5367	5368	5369	5370	5667	5972	6285	6606	6935	7272	7617	7970	8331	8700	9077	9462
10128	9731	9342	8961	8588	8223	7866	7517	7176	6843	6518	6201	5892	5591	5592	5593	5594	5595	5596	5597	5598	5599	5600	5601	5602	5603	5604	5605	5606	5607	5608	5609	5610	5611	5612	5613	5614	5615	5616	5617	5618	5619	5620	5621	5622	5623	5624	5625	5626	5627	5628	5629	5630	5631	5632	5633	5634	5635	5636	5637	5638	5639	5640	5641	5642	5643	5644	5645	5646	5647	5648	5649	5650	5651	5652	5653	5654	5655	5656	5657	5658	5659	5660	5661	5662	5663	5664	5665	5666	5971	6284	6605	6934	7271	7616	7969	8330	8699	9076	9461
10129	9732	9343	8962	8589	8224	7867	7518	7177	6844	6519	6202	5893	5894	5895	5896	5897	5898	5899	5900	5901	5902	5903	5904	5905	5906	5907	5908	5909	5910	5911	5912	5913	5914	5915	5916	5917	5918	5919	5920	5921	5922	5923	5924	5925	5926	5927	5928	5929	5930	5931	5932	5933	5934	5935	5936	5937	5938	5939	5940	5941	5942	5943	5944	5945	5946	5947	5948	5949	5950	5951	5952	5953	5954	5955	5956	5957	5958	5959	5960	5961	5962	5963	5964	5965	5966	5967	5968	5969	5970	6283	6604	6933	7270	7615	7968	8329	8698	9075	9460
10130	9733	9344	8963	8590	8225	7868	7519	7178	6845	6520	6203	6204	6205	6206	6207	6208	6209	6210	6211	6212	6213	6214	6215	6216	6217	6218	6219	6220	6221	6222	6223	6224	6225	6226	6227	6228	6229	6230	6231	6232	6233	6234	6235	6236	6237	6238	6239	6240	6241	6242	6243	6244	6245	6246	6247	6248	6249	6250	6251	6252	6253	6254	6255	6256	6257	6258	6259	6260	6261	6262	6263	6264	6265	6266	6267	6268	6269	6270	6271	6272	6273	6274	6275	6276	6277	6278	6279	6280	6281	6282	6603	6932	7269	7614	7967	8328	8697	9074	9459
10131	9734	9345	8964	8591	8226	7869	7520	7179	6846	6521	6522	6523	6524	6525	6526	6527	6528	6529	6530	6531	6532	6533	6534	6535	6536	6537	6538	6539	6540	6541	6542	6543	6544	6545	6546	6547	6548	6549	6550	6551	6552	6553	6554	6555	6556	6557	6558	6559	6560	6561	6562	6563	6564	6565	6566	6567	6568	6569	6570	6571	6572	6573	6574	6575	6576	6577	6578	6579	6580	6581	6582	6583	6584	6585	6586	6587	6588	6589	6590	6591	6592	6593	6594	6595	6596	6597	6598	6599	6600	6601	6602	6931	7268	7613	7966	8327	8696	9073	9458
10132	9735	9346	8965	8592	8227	7870	7521	7180	6847	6848	6849	6850	6851	6852	6853	6854	6855	6856	6857	6858	6859	6860	6861	6862	6863	6864	6865	6866	6867	6868	6869	6870	6871	6872	6873	6874	6875	6876	6877	6878	6879	6880	6881	6882	6883	6884	6885	6886	6887	6888	6889	6890	6891	6892	6893	6894	6895	6896	6897	6898	6899	6900	6901	6902	6903	6904	6905	6906	6907	6908	6909	6910	6911	6912	6913	6914	6915	6916	6917	6918	6919	6920	6921	6922	6923	6924	6925	6926	6927	6928	6929	6930	7267	7612	7965	8326	8695	9072	9457
10133	9736	9347	8966	8593	8228	7871	7522	7181	7182	7183	7184	7185	7186	7187	7188	7189	7190	7191	7192	7193	7194	7195	7196	7197	7198	7199	7200	7201	7202	7203	7204	7205	7206	7207	7208	7209	7210	7211	7212	7213	7214	7215	7216	7217	7218	7219	7220	7221	7222	7223	7224	7225	7226	7227	7228	7229	7230	7231	7232	7233	7234	7235	7236	7237	7238	7239	7240	7241	7242	7243	7244	7245	7246	7247	7248	7249	7250	7251	7252	7253	7254	7255	7256	7257	7258	7259	7260	7261	7262	7263	7264	7265	7266	7611	7964	8325	8694	9071	9456
10134	9737	9348	8967	8594	8229	7872	7523	7524	7525	7526	7527	7528	7529	7530	7531	7532	7533	7534	7535	7536	7537	7538	7539	7540	7541	7542	7543	7544	7545	7546	7547	7548	7549	7550	7551	7552	7553	7554	7555	7556	7557	7558	7559	7560	7561	7562	7563	7564	7565	7566	7567	7568	7569	7570	7571	7572	7573	7574	7575	7576	7577	7578	7579	7580	7581	7582	7583	7584	7585	7586	7587	7588	7589	7590	7591	7592	7593	7594	7595	7596	7597	7598	7599	7600	7601	7602	7603	7604	7605	7606	7607	7608	7609	7610	7963	8324	8693	9070	9455
10135	9738	9349	8968	8595	8230	7873	7874	7875	7876	7877	7878	7879	7880	7881	7882	7883	7884	7885	7886	7887	7888	7889	7890	7891	7892	7893	7894	7895	7896	7897	7898	7899	7900	7901	7902	7903	7904	7905	7906	7907	7908	7909	7910	7911	7912	7913	7914	7915	7916	7917	7918	7919	7920	7921	7922	7923	7924	7925	7926	7927	7928	7929	7930	7931	7932	7933	7934	7935	7936	7937	7938	7939	7940	7941	7942	7943	7944	7945	7946	7947	7948	7949	7950	7951	7952	7953	7954	7955	7956	7957	7958	7959	7960	7961	7962	8323	8692	9069	9454
10136	9739	9350	8969	8596	8231	8232	8233	8234	8235	8236	8237	8238	8239	8240	8241	8242	8243	8244	8245	8246	8247	8248	8249	8250	8251	8252	8253	8254	8255	8256	8257	8258	8259	8260	8261	8262	8263	8264	8265	8266	8267	8268	8269	8270	8271	8272	8273	8274	8275	8276	8277	8278	8279	8280	8281	8282	8283	8284	8285	8286	8287	8288	8289	8290	8291	8292	8293	8294	8295	8296	8297	8298	8299	8300	8301	8302	8303	8304	8305	8306	8307	8308	8309	8310	8311	8312	8313	8314	8315	8316	8317	8318	8319	8320	8321	8322	8691	9068	9453
10137	9740	9351	8970	8597	8598	8599	8600	8601	8602	8603	8604	8605	8606	8607	8608	8609	8610	8611	8612	8613	8614	8615	8616	8617	8618	8619	8620	8621	8622	8623	8624	8625	8626	8627	8628	8629	8630	8631	8632	8633	8634	8635	8636	8637	8638	8639	8640	8641	8642	8643	8644	8645	8646	8647	8648	8649	8650	8651	8652	8653	8654	8655	8656	8657	8658	8659	8660	8661	8662	8663	8664	8665	8666	8667	8668	8669	8670	8671	8672	8673	8674	8675	8676	8677	8678	8679	8680	8681	8682	8683	8684	8685	8686	8687	8688	8689	8690	9067	9452
10138	9741	9352	8971	8972	8973	8974	8975	8976	8977	8978	8979	8980	8981	8982	8983	8984	8985	8986	8987	8988	8989	8990	8991	8992	8993	8994	8995	8996	8997	8998	8999	9000	9001	9002	9003	9004	9005	9006	9007	9008	9009	9010	9011	9012	9013	9014	9015	9016	9017	9018	9019	9020	9021	9022	9023	9024	9025	9026	9027	9028	9029	9030	9031	9032	9033	9034	9035	9036	9037	9038	9039	9040	9041	9042	9043	9044	9045	9046	9047	9048	9049	9050	9051	9052	9053	9054	9055	9056	9057	9058	9059	9060	9061	9062	9063	9064	9065	9066	9451
10139	9742	9353	9354	9355	9356	9357	9358	9359	9360	9361	9362	9363	9364	9365	9366	9367	9368	9369	9370	9371	9372	9373	9374	9375	9376	9377	9378	9379	9380	9381	9382	9383	9384	9385	9386	9387	9388	9389	9390	9391	9392	9393	9394	9395	9396	9397	9398	9399	9400	9401	9402	9403	9404	9405	9406	9407	9408	9409	9410	9411	9412	9413	9414	9415	9416	9417	9418	9419	9420	9421	9422	9423	9424	9425	9426	9427	9428	9429	9430	9431	9432	9433	9434	9435	9436	9437	9438	9439	9440	9441	9442	9443	9444	9445	9446	9447	9448	9449	9450
10140	9743	9744	9745	9746	9747	9748	9749	9750	9751	9752	9753	9754	9755	9756	9757	9758	9759	9760	9761	9762	9763	9764	9765	9766	9767	9768	9769	9770	9771	9772	9773	9774	9775	9776	9777	9778	9779	9780	9781	9782	9783	9784	9785	9786	9787	9788	9789	9790	9791	9792	9793	9794	9795	9796	9797	9798	9799	9800	9801	9802	9803	9804	9805	9806	9807	9808	9809	9810	9811	9812	9813	9814	9815	9816	9817	9818	9819	9820	9821	9822	9823	9824	9825	9826	9827	9828	9829	9830	9831	9832	9833	9834	9835	9836	9837	9838	9839	9840	9841
10141	10142	10143	10144	10145	10146	10147	10148	10149	10150	10151	10152	10153	10154	10155	10156	10157	10158	10159	10160	10161	10162	10163	10164	10165	10166	10167	10168	10169	10170	10171	10172	10173	10174	10175	10176	10177	10178	10179	10180	10181	10182	10183	10184	10185	10186	10187	10188	10189	10190	10191	10192	10193	10194	10195	10196	10197	10198	10199	10200	10201	10202	10203	10204	10205	10206	10207	10208	10209	10210	10211	10212	10213	10214	10215	10216	10217	10218	10219	10220	10221	10222	10223	10224	10225	10226	10227	10228	10229	10230	10231	10232	10233	10234	10235	10236	10237	10238	10239	10240

Επεξήγηση

Οι διαγώνιες, οριζόντιες, και κάθετες γραμμές της σπείρας αντιστοιχούν στα πολυώνυμα της μορφής:

$f(\nu )=4\nu ^{2}+\beta \nu +\gamma$

όπου το β και το γ είναι σταθερές ακεραίων. Όταν το β είναι άρτιος, οι γραμμές είναι διαγώνιες, και είτε όλοι οι αριθμοί είναι περιττοί, είτε όλοι είναι άρτιοι, ανάλογα με την τιμή του γ. Έτσι δεν αποτελεί έκπληξη το ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί εκτός από το 2 βρίσκονται σε διαγώνιες γραμμές στην σπείρα του Ούλαμ. Η κατανόηση του γιατί κάποιες διαγώνιες γραμμές έχουν μεγαλύτερη συγκέντρωση πρώτων αριθμών σε σχέση με άλλες, εξαρτάται από την κατανόηση της συμπεριφοράς των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παραγωγής πρώτων αριθμών.

Εικασία F των Χάρντυ και Λίτλγουντ

Οι Άγγλοι μαθηματικοί Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ σημείωσαν σε μελέτη που σύνταξαν το 1923 σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ, μια σειρά από δικές τους μαθηματικές σημειώσεις με τη μορφή εικασίας οι οποίες εάν αληθεύουν είναι δυνατό να εξηγήσουν τις ιδιότητες της σπείρας του Ούλαμ. Η θεωρία που ανέπτυξαν ονομάζεται εικασία F, και αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας Μπέιτμαν-Χορν καθώς προτείνει την χρήση ενός ασυμπτωτικού μαθηματικού τύπου για τους πρώτους αριθμούς με την μορφή αχ² + βχ + γ. Οι ακτίνες που προέρχονται από την κεντρική περιοχή της σπείρας σχηματίζουν γωνίες 45° με τις οριζόντιες και κάθετες γραμμές να αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς της μορφής 4χ² + βχ + γ και το β να είναι άρτιος. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές αντιστοιχούν σε αριθμούς της ίδιας μορφής με το β να είναι περιττός. Η εικασία F παρέχει έναν τύπο ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της πυκνότητας των πρώτων αριθμών στις γραμμές αυτές, και αφήνει να εννοηθεί πως υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση μεταξύ των πυκνοτήτων διαφορετικών γραμμών, και συγκεκριμένα πως η πυκνότητα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την διακρίνουσα του πολυώνυμου β² − 16γ.

Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 4χ² − 2χ + 41 όπου χ = 0, 1, 2, ... επισημαίνονται με μωβ χρώμα στην διαγώνια γραμμή στο άνω μισό της εικόνας, ή αντίστοιχα, στις αρνητικές τιμές του χ.

Στα πολυώνυμα της μορφής αχ² + βχ + γ το α, β, και γ είναι ακέραιοι και το α είναι θετικός. Εάν οι συντελεστές περιέχουν έναν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από 1 ή εάν η διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ αποτελεί τέλειο τετράγωνο, το πολυώνυμο παραγοντοποιεί και παράγει σύνθετους αριθμούς καθώς το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, ... (εκτός για τις μια ή δύο τιμές του χ όπου ένας από τους παράγοντες ισούται με 1). Επιπλέον, εάν τα α + β και το γ είναι άρτια, το πολυώνυμο παράγει μονάχα άρτιες τιμές, και είναι επομένως σύνθετο εκτός πιθανώς για την τιμή 2. Οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως εκτός από αυτές τις περιπτώσεις, το αχ² + βχ + γ μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον με το χ να παίρνει τις τιμές 0, 1, 2 κτλ. Η δήλωση αυτή βασίζεται στην παλαιότερη εικασία του Μπουνυακόφσκυ και παραμένει ανοικτή. Επιπλέον, οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως ο αριθμός P(ν) των πρώτων αριθμών της μορφής αχ² + βχ + γ και μικρότερο από το ν:

$P(\nu )\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {\nu }}{\log \nu }}$

όπου το A εξαρτάται από τα α, β και γ, αλλά όχι από το ν. Σύμφωνα με το θεώρημα πρώτων αριθμών, στον τύπο αυτό όταν το A ισούται με 1 τότε επιστρέφει τον ασύμπτωτο αριθμό πρώτων αριθμών μικρότερων από ν ο οποίος αναμένεται σε μια τυχαία ομάδα αριθμών η οποία έχει την ίδια πυκνότητα με την ομάδα αριθμών της μορφής αχ² + βχ + γ. Καθώς όμως το A μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη ή μικρότερη από το 1, μερικά πολυώνυμα, σύμφωνα με την εικασία, θα είναι εξαιρετικά πλούσια ως προς την ύπαρξη πρώτων αριθμών, ενώ άλλα εξαιρετικά φτωχά. Ένα πολυώνυμο με ασυνήθιστα μεγάλη συγκέντρωση πρώτων αριθμών είναι το 4χ² − 2χ + 41 το οποίο οπτικά αποτυπώνεται σε γραμμή στην σπείρα Ούλαμ. Η τιμή του A για το συγκεκριμένο πολυώνυμο αντιστοιχεί σε 6,6, κάτι που σημαίνει πως οι αριθμοί που παράγει είναι σχεδόν 7 φορές πιθανότερο να αποτελούν πρώτους αριθμούς παρά σύνθετους σύμφωνα με την εικασία. Το πολυώνυμο αυτό σχετίζεται με το αντίστοιχο του Όιλερ το οποίο ήταν χ² − χ + 41 αντικαθιστώντας το χ με 2χ, ή εναλλακτικά διαθέτοντας μόνο άρτιους αριθμούς για το χ. Ο πρωτότυπος υπολογισμός όπως ορίστηκε από τους Χάρντυ και Λίτλγουντ για την σταθερά Α είναι:

$A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}.$

ο παραπάνω υπολογισμός απλοποιείται ως:

$A=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p}}}{1-{\frac {1}{p}}}}~$, όπου το $p$ διατρέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, και το $\omega (p)$ — είναι το σύνολο των μηδενικών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης μόντουλο p.

Απλοποιείται περαιτέρω ως $\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~$.

Το σύμβολο$\left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)$ αντιστοιχεί στο σύμβολο Λεζάντρ. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με A ≈ 11,3, ανακαλύφθηκε από τους Jacobson και Williams το 2003.

Παραλλαγές

Αρχίζοντας με την τριγωνική παραλλαγή του Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ από το 1932, η μελέτη του περιγράφει τον σχηματισμό τριγώνου όπου η κάθε γραμμή ν περιέχει τους αριθμούς (ν  −  1)² + 1 μέσω n². Όπως και στην σπείρα του Ούλαμ παράγονται πρώτοι αριθμοί που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στην μορφή k² − k + M.

Μια άλλη παραλλαγή, κυκλική, είναι αυτή που προτάθηκε από τον Σακς το 1994. Στην σπείρα του Σακς, οι μη αρνητικοί αριθμοί τοποθετούνται επί της σπείρας του Αρχιμήδη αντί για την τετράγωνη σπείρα του Ούλαμ, και η απόσταση τους είναι τέτοια ώστε ένα τέλειο τετράγωνο εμφανίζεται σε κάθε κύκλο επανάληψης (στην Ούλαμ εμφανίζονται 2 ανά κύκλο επανάληψης). Το πολυώνυμο x² − x + 41 εμφανίζεται ως μια καμπύλη όπου το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, κτλ. Η καμπύλη αυτή προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια οριζόντια γραμμή στο αριστερό μισό της σπείρας.

• 
  Τρίγωνο του Κλάουντερ με τους πρώτους αριθμούς να σχηματίζουν κάθετη γραμμή στο αριστερό τμήμα του τριγώνου βάσει του x²  −  x  +  41.
• 
  Σπείρα του Σακς βασιζόμενη στην σπείρα του Αρχιμήδη
• 
  Σπείρα του Ούλαμ σε μέγεθος 150×150 με απεικόνιση πρώτων (λευκές κουκίδες) και σύνθετων αριθμών (γαλανές κουκίδες)
• 
  Εξαγωνική σπείρα με τους πρώτους αριθμούς (πράσινο) και τους σύνθετους αριθμούς (διαφορετικά επίπεδα γαλανού χρώματος ανάλογα με τον αριθμό διαιρετών)
• 
  Τριγωνική αναπαράσταση 7.503 πρώτων αριθμών

Σχετική βιβλιογραφία

• Daus, P. H. (1932), «The March Meeting of the Southern California Section», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 39 (7): 373–374 
• Gardner, M. (March 1964), «Mathematical Games: The Remarkable Lore of the Prime Number», Scientific American 210: 120–128, doi:10.1038/scientificamerican0364-120 
• Gardner, M. (1971), Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28250-3 
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923), «Some Problems of 'Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes», Acta Mathematica 44: 1–70, doi:10.1007/BF02403921 
• Hoffman, Paul (1988), Archimedes' Revenge: The Joys and Perils of Mathematics, New York: Fawcett Colombine, ISBN 0-449-00089-3 
• Stein, M. L.; Ulam, S. M.; Wells, M. B. (1964), «A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 71 (5): 516–520, doi:10.2307/2312588 
• Stein, M.; Ulam, S. M. (1967), «An Observation on the Distribution of Primes», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 74 (1): 43–44, doi:10.2307/2314055 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Prime Spirals - Numberphile, Youtube / University of Nottingham
• 41 and more Ulam's Spiral - Numberphile, Youtube / University of Nottingham
• Ulam spiral generator, lab.ejci.net