Ομολογία (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, η ομολογία είναι ένας γενικός τρόπος συσχέτισης μιας ακολουθίας αλγεβρικών αντικειμένων, όπως οι αβέλιες ομάδες ή τα πρότυπα, με άλλα μαθηματικά αντικείμενα όπως οι τοπολογικοί χώροι . Οι ομάδες ομολογίας ορίστηκαν αρχικά στην αλγεβρική τοπολογία . Παρόμοια αντικείμενα βρίσκονται σε πολλα αλλα περικειμενα όπως στην αφηρημένη άλγεβρα, σε ομάδες, σε άλγεβρες Λι, στην θεωρία Γκαλουά και στην αλγεβρική γεωμετρία .

Το αρχικό κίνητρο για τον ορισμό των ομάδων ομολογίας ήταν η παρατήρηση ότι δύο σχήματα μπορούν να διακριθούν εξετάζοντας τις τρύπες τους. Για παράδειγμα, ένας κύκλος διαφέρει από έναν δίσκο επειδή ο κύκλος έχει μια τρύπα ενώ ο δίσκος δεν έχει και μια σφαίρα διαφέρει από έναν κύκλο επειδή η σφαίρα περικλείει μια δισδιάστατη τρύπα ενώ ο κύκλος περικλείει μια μονοδιάστατη τρύπα. Ωστόσο, μόνο το ότι μια τρύπα δεν "βρίσκεται εκεί", δεν είναι αρκετό για να είναι άμεσα προφανές πώς να οριστεί μια τρύπα ή πώς να διακριθούν διαφορετικά είδη τρυπών. Η ομολογία ήταν αρχικά μια αυστηρή μαθηματική μέθοδος για τον ορισμό και την κατηγοριοποίηση των τρυπών σε μια πολλαπλότητα . Σε γενικές γραμμέs, ένας κύκλος είναι φράγμα μιας υποπολλαπλότητας, ένα φράγμα είναι ένας κύκλος που είναι επίσης το φράγμα μιας υποπολλαπλότητας, και μια κλάση ομολογίας (που αναπαρασταίνει μια τρύπα) είναι μια κλάση ισοδυναμίας των κύκλων modulo τα φράγματα. Μια κλάση ομολογίας αναπαριστάνεται από έναν κύκλο ο οποίος δεν είναι το φράγμα οποιαδήποτε υποπολλαπλότητας: ο κύκλος αναπαρασταίνει μια τρύπα, δηλαδή μια υποθετική πολλαπλότητα της οποίας το φράγμα θα ήταν αυτός ο κύκλος, αλλά ο οποίος "δεν υπάρχει".

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές θεωρίες ομολογίας. Ένας συγκεκριμένος τύπος μαθηματικού αντικειμένου, όπως ένας τοπολογικός χώρος ή μια ομάδα, μπορεί να έχει μία ή περισσότερες σχετικές θεωρίες ομολογίας. Όταν το υποκείμενο αντικείμενο έχει μια γεωμετρική ερμηνεία όπως έχουν οι τοπολογικοί χώροι, η νυοστή ομάδα ομολογίας αναπαριστα τη συμπεριφορά στη διάσταση n . Οι περισσότερες ομόλογες ομάδες ή πρότυπα μπορούν να διαμορφωθούν ως παράγωγοι συναρτητές σε κατάλληλες αβέλιες κατηγορίες, μετρώντας την αποτυχία ενός συναρτητή να είναι ακριβής . Από αυτήν την αφηρημένη οπτική γωνία, οι ομάδες ομολογίας καθορίζονται από αντικείμενα μιας παράγωγης κατηγορίας .

Γενικές πληροφορίες

Προέλευση

Η θεωρία της ομολογίας μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκινά με τον τύπο πολυέδρου Όιλερ ή την χαρακτηριστική Όιλερ . Ακολούθησε ο ορισμός του Ρίμαν σχετικά με το γένος και τα αριθμητικά αναλλοίωτα της συνδετικότητας n-fold το 1857 και η απόδειξη του Μπέτι το 1871 σχετικά με την ανεξαρτησία των «αριθμών ομολογίας» από την επιλογή βάσης.

Η ομολογία η ίδια αναπτύχθηκε ως ένας τρόπος για να αναλύει και ταξινομεί πολλαπλότητες σύμφωνα με τους κύκλους τους - κλειστούς βρόχους (ή γενικότερα υποπολλαπλότητες) οι οποίοι μπορούν να ζωγραφιστούν σε μια δεδομένη n διαστάσεων πολλαπλότητα αλλά χωρίς να γίνεται να μετατραπούν συνεχώς ο ένας στον αλλόν. Αυτοί οι κύκλοι θεωρούνται επίσης μερικές φορές ως κοψίματα που μπορούν να κολληθούν πίσω, ή ως φερμουάρ που μπορούν να ανοίξουν και να κλείσουν. Οι κύκλοι ταξινομούνται κατά διάσταση. Για παράδειγμα, μια γραμμή που σχεδιάζεται σε μια επιφάνεια αναπαριστά έναν 1-κύκλο, ένας κλειστός βρόχος ή $S^{1}$ (1-πολλαπλότητα), ενώ μια επιφάνεια που κόβεται μέσω μιας τρισδιάστατης πολλαπλότητας είναι ενα 2-κύκλο.

Επιφάνειες

Cycles on a 2-sphere

Cycles on a torus

Cycles on a Klein bottle

Cycles on a hemispherical projective plane

Στη σφαίρα $S^{2}$, ο κύκλος b στο διάγραμμα μπορεί να συρρικνωθεί στον πόλο, και ακόμη και ο μεγάλος κύκλος του ισημερινού α μπορεί να συρρικνωθεί με τον ίδιο τρόπο. Το θεώρημα της Ιορδάνης καμπύλης δείχνει ότι οποιοσδήποτε αυθαίρετος κύκλος όπως o c μπορεί ομοίως να συρρικνωθεί σε ένα σημείο. Όλοι οι κύκλοι στη σφαίρα μπορούν συνεπώς να μεταμορφώνονται συνεχώς ο ένας στον άλλο και να ανήκουν στην ίδια κλάση ομολογίας. Λέγεται ότι είναι ομόλογα στο μηδέν. Η κοπή μιας πολλαπλότητας κατά μήκος ενός κύκλου ομόλογου στο μηδέν διαχωρίζει την πολλαπλότητα σε δύο ή περισσότερα κομμάτια. Για παράδειγμα, κόβοντας τη σφαίρα κατά μήκος a παράγει δύο ημισφαίρια.

Αυτό δεν ισχύει γενικά για κύκλους σε άλλες επιφάνειες. Ο τόρος $T^{2}$ έχει κύκλους που δεν μπορούν να παραμορφωθούν συνεχώς ο ένας στον άλλο, για παράδειγμα στο διάγραμμα κανένας από τους κύκλους a, b ή c δεν μπορεί να παραμορφωθεί ο ένας στον άλλο. Συγκεκριμένα, οι κύκλοι a και b δεν μπορούν να συρρικνωθούν σε ένα σημείο ενώ ο κύκλος c μπορεί, καθιστώντας έτσι ομόλογο στο μηδέν.

Εάν η επιφάνεια του τορού κοπεί κατά μήκος του α και β, μπορεί να ανοίξει και να ισοπεδωθεί σε ορθογώνιο ή, πιο βολικά, σε τετράγωνο. Ένα αντίθετο ζεύγος πλευρών αντιπροσωπεύει την τομή κατά μήκος του a, και το άλλο αντίθετο ζεύγος αντιπροσωπεύει την τομή κατά μήκος b .

Οι άκρες του τετραγώνου μπορούν στη συνέχεια να κολληθούν πίσω με διαφορετικούς τρόπους. Το τετράγωνο μπορεί να περιστραφεί για να επιτρέψει στις άκρες να συναντηθούν προς την αντίθετη κατεύθυνση, όπως φαίνεται από τα βέλη στο διάγραμμα. Υπάρχουν τέσσερις ξεχωριστοί τρόποι συγκόλλησης των πλευρών, ο καθένας δημιουργεί μια διαφορετική επιφάνεια:

Οι τέσσερις τρόποι συγκόλλησης ενός τετραγώνου για να φτιαχτεί μια κλειστή επιφάνεια: κόλλα ενιαία βέλη μαζί και κόλλα τα διπλά βέλη μαζί.

$K^{2}$ είναι η φιάλη του Klein, το οποίο είναι ένας τόρος με μια στροφή (Η στροφή μπορεί να φανεί στο τετράγωνο διάγραμμα ως αντιστροφή του κάτω βέλους). Είναι ένα θεώρημα ότι η επανασυγκολλημένη επιφάνεια πρέπει να τέμνεται μόνη της (όταν βυθίζεται στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο ). Όπως και στον τόρο, οι κύκλοι a και b δεν μπορούν να συρρικνωθούν ενώ ο c μπορεί. Αλλά σε αντίθεση με το τόρο, ακολουθώντας το b προς τα εμπρός δεξιά και πίσω αντιστρέφει το αριστερά και δεξιά, επειδή το b συμβαίνει να διασχίζει τη στροφή που δίνεται σε μια ένωση. Εάν γίνει ίση απόσταση από τη μία πλευρά του b, επιστρέφει στην άλλη πλευρά και γυρίζει γύρω από την επιφάνεια για δεύτερη φορά πριν επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης, κόβοντας μια στριμμένη λωρίδα του Μέμπιους . Επειδή τα τοπικά αριστερά και δεξιά μπορούν να επαναπροσανατολιστούν αυθαίρετα με αυτόν τον τρόπο, η επιφάνεια ως σύνολο λέγεται ότι δεν είναι προσανατολιζόμενει.

Το προβολικό επίπεδο $P^{2}$ έχει και τις δύο συνδέσεις στριμμένες. Η άκοπη μορφή, που γενικά αναπαριστάται ως η επιφάνεια του Μπόι, είναι οπτικά περίπλοκη, οπότε μια ημισφαιρική ενσωμάτωση φαίνεται στο διάγραμμα, στο οποίο τα αντίποδα σημεία είναι γύρω από το χείλος έτσι ώστε το Α και το Α′ να αναγνωρίζονται ως το ίδιο σημείο. Και πάλι, τα a και b είναι μη συρρικνώσιμα ενώ το c είναι. Αλλά αυτή τη φορά, το α και β αντίστρέφουν αριστερά και δεξιά.

Οι κύκλοι μπορούν να ενωθούν ή να προστεθούν μαζί, όπως το a και b στον τόρο ήταν όταν κόπηκε και ισοπεδώθηκε. Στο διάγραμμα της φιάλης Κλάιν, το a πηγαίνει με έναν τρόπο και to -a αντίθετα. Αν το a θεωρείται ως μια περικοπή, τότε το -a μπορεί να θεωρηθεί ως μια λειτουργία συγκόλλησης. Κάνοντας μια περικοπή και στη συνέχεια μια επανακόλληση δεν αλλάζει την επιφάνεια, έτσι a + (- a ) = 0.

Αλλά τώρα σκέψου δύο a-κύκλους. Δεδομένου ότι η φιάλη Κλάιν δεν είναι προσανατολιζόμενη, μπορείς να μεταφέρεις έναν από τους a-κύκλους σε όλη την φιάλη (κατά μήκος του κύκλου b ) και θα επιστρέψει ως -a . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η φιάλη Κλάιν είναι κατασκευασμένει από έναν κύλινδρο, του οποίου ενός a-κύκλος τα άκρα είναι κολλημένα μαζί με αντίθετους προσανατολισμούς. Ως εκ τούτου 2 a = a + a = a + (- a ) = 0. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται στρέψη . Ομοίως, στο προβολικό επίπεδο, ακολουθώντας τον μη συρρικνούμενο κύκλο b δύο φορές δημιουργεί έναν κύκλο που μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο. δηλαδή, b + b = 0. Επειδή το b πρέπει να ακολουθηθεί δύο φορές για να επιτευχθεί ο μηδενικός κύκλος, η επιφάνεια λέγεται ότι έχει συντελεστή στρέψης 2. Ωστόσο, ακολουθώντας έναν κύκλο b δύο φορές στην φιάλη Κλάιν δίνει απλώς b + b = 2 b, καθώς αυτός ο κύκλος ζει σε μια κλάση ομολογίας χωρίς στρέψη. Αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι στο θεμελιώδες πολύγωνο της φιάλης Κλάιν, μόνο ένα ζεύγος πλευρών είναι κολλημένο με μια συστροφή, ενώ στο προβολικό επίπεδο και οι δύο πλευρές είναι στριμμένες.