Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες	62 30 τετράγωνα 20 εξάγωνα 12 δεκάγωνα
Ακμές	180
Κορυφές	120
Διαμόρφωση κορυφής	(4.6.10)
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Δισδυάκις τριακοντάεδρο
Ανάπτυγμα

Στη Στερεομετρία, το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο) είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 κανονικά εξάγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα. Έχει 120 κορυφές και 180 ακμές.

Οι 30 τετραγωνικές έδρες του πολυέδρου είναι συνεπίπεδες με τις 30 έδρες του ρομβικού τριακοντάεδρου, το οποίο είναι δυϊκό του εικοσιδωδεκάεδρου, εξού και το δεύτερο όνομά του, μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (συγκρίνατε με το μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο).

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου εικοσιδωδεκάεδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\alpha \approx 3,802\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\alpha \approx 3,769\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\approx 174,292\alpha ^{2}$
Όγκος	$V=\left(95+50{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\approx 206,803\alpha ^{3}$

Κατασκευαστικά, το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του και όλες οι ακμές του. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να προέλθει και από το δυϊκό πολύεδρο του δωδεκαέδρου, το εικοσάεδρο.

Το όνομα κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο, το οποίο δόθηκε από τον Κέπλερ, είναι κάπως παραπλανητικό, επειδή αν αποκοπούν οι κορυφές του εικοσιδωδεκάεδρου, τότε στη θέση τους σχηματίζονται ορθογώνια παραλληλόγραμμα με αναλογία διαστάσεων $1:\phi \,\!$ (όπου $\phi \,\!$ ο χρυσός αριθμός) και όχι τετράγωνα. Ωστόσο, το αποτέλεσμα είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Εικοσάεδρο

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Great Rhombicosidodecahedron (Αγγλικά)