Βαβυλωνιακά μαθηματικά

Δείγμα βαβυλωνιακών μαθηματικών γραμμένων σε σφηνοειδή γραφή

Ο όρος βαβυλωνιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους ανθρώπους της Μεσοποταμίας (σύγχρονο Ιράκ) από τους πρώτους Σουμέριους μέχρι την Ελληνιστική περίοδο περίπου ως την εμφάνιση του Χριστιανισμού.^[1] Ονομάζονται Βαβυλωνιακά μαθηματικά λόγω του κύριου ρόλου της Βαβυλώνας ως τόπος σπουδών. Αργότερα, κατά την Αραβική αυτοκρατορία, η Μεσοποταμία, ειδικότερα η Βαγδάτη, για άλλη μια φορά έγινε ένα σημαντικό κέντρο σπουδών για τα Ισλαμικά μαθηματικά.

Αρχαιολογικό υλικό

Σε αντίθεση με τις ελάχιστες αναφορές σε πηγές στα Αιγυπτιακά μαθηματικά, οι γνώσεις μας για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχονται από περισσότερες από 400 πήλινες πλάκες οι οποίες ήρθαν στο φως από το 1850.^[2] Γραμμένες στη σφηνοειδή γραφή, οι πλάκες ήταν χαραγμένες ενώ ο πηλός ήταν υγρός, και ψημένος καλά σε φούρνο ή από τη ζέστη του ήλιου. Κάποιες από αυτές εμφανίζουν διαβαθμισμένη εργασία.

Τα αρχαιότερα στοιχεία καταγεγραμμένων μαθηματικών χρονολογούνται πίσω στους αρχαίους Σουμέριους, οι οποίοι έχτισαν τον πρώτο πολιτισμό της Μεσοποταμίας. Ανέπτυξαν ένα σύνθετο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ. Από περίπου το 2500 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες προπαίδειας σε πήλινες πλάκες και αντιμετώπισαν γεωμετρικές εξισώσεις και προβλήματα διαιρετότητας. Τα πρώτα ίχνη των Βαβυλωνιακών αριθμών επίσης χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο.^[3]

Η πλειοψηφία των πήλινων πλακών που έχουν ανακτηθεί χρονολογείται από το 1800 στο 1600 π.Χ., και καλύπτει θέματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις, άλγεβρα, τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, και τον υπολογισμό των περιοδικών και αμοιβαίων ζευγών.^[4] Οι πλάκες επίσης περιλαμβάνουν πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Η Βαβυλωνιακή πλάκα YBC 7289 δίνει μία προσέγγιση της √2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων.

Αριθμητικό σύστημα

Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε αριθμητικό σύστημα με βάση το 60. Από αυτό απορρέει η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών ενός τόξου για να υποδηλώσει εξισώσεις κάποιου βαθμού.

Η Βαβυλωνιακή ανάπτυξη στα μαθηματικά διευκολύνθηκε από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, αντίθετα με τους Αιγύπτιους, τους Έλληνες, και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα θέσης - αξίας, όπου τα ψηφία γράφονταν στην αριστερή στήλη αντιπροσωπεύοντας μεγαλύτερες τιμές, όπως στο δεκαδικό σύστημα. Ωστόσο τους έλειπε ένα σύμβολο ισοδύναμο της υποδιαστολής, και έτσι η αξία της θέσης ενός συμβόλου συχνά έπρεπε να γίνει κατανοητή από το περιεχόμενο. Από την άλλη πλευρά, αυτό το «ελάττωμα» είναι ισοδύναμο με τη σημερινή χρήση της κινητής υποδιαστολής. Εξάλλου, η χρήση της βάσης του 60 σημαίνει ότι οποιοιδήποτε αμοιβαίοι ακέραιοι, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια διαιρετών του 60, υποχρεωτικά έχουν πεπερασμένη επέκταση στη βάση 60. (Στη δεκαδική αριθμητική, μόνο τα αμοιβαία των πολλαπλασίων του 2 και 5 έχουν πεπερασμένη δεκαδική έκφραση). Επομένως, υπάρχει μεγάλη διαμάχη σχετικά με το ότι ο συμβολισμός των αρχαίων Βαβυλωνίων θεωρείται πιο εξελιγμένος από τον σημερινό.

Υπολογισμοί πυθαγόρειων τριάδων

Η ερμηνεία των περιεχομένων της πλάκας Plimpton 322 η οποία παραθέτει ένα πίνακα αριθμών με 4 στήλες και 15 γραμμές, είναι ένας κατάλογος πυθαγόρειων τριάδων.

Ως προς το ιστορικό πλαίσιο χρήσης τους, πιθανολογείται πως μπορεί να χρησιμοποιούνταν για την λύση προβλημάτων ως προς τον ισομερή διαχωρισμό εκτάσεων γης μεταξύ ατόμων που μοιράζονταν την κληρονομιά κάποιου συγγενή τους. Έτσι περιπτώσεις όπως η ισεμβαδική διαχώριση τριγωνικών και τραπεζοειδών χώρων (με ακέραιο μήκος πλευρών) έφεραν την ανάγκη για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 2, ή της επίλυσης της «Πυθαγόρειας εξίσωσης» με ακέραιους.

Αν α, β και γ ακέραιοι που σχηματίζουν μία πυθαγόρεια τριάδα: $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\gamma ^{2}$

τότε:

$\gamma ^{2}-\alpha ^{2}=\beta ^{2}$

και χρησιμοποιώντας την έκφραση για τη διαφορά των δύο τετραγώνων:

$(\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha )=\beta ^{2}$

διαιρώντας με $\beta ^{2}$ , γίνεται το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών δίνοντας 1:

$(\gamma /\beta -\alpha /\beta )(\gamma /\beta +\alpha /\beta )=1$

Απαιτούμε δύο ακέραιους αριθμούς οι οποίοι είναι θετικοί και διαφέρουν κατά $2(\alpha /\beta )$ . Αυτό επιλύεται εύκολα θεωρώντας έναν πίνακα από ζεύγη σχετικά πρώτων αριθμών. Π.χ. το $(1/2)(2)=1$ είναι ένα ζεύγος αριθμών το οποίο διαφέρει κατά $3/2=2(\alpha /\beta )$ έτσι $\alpha /\beta =3/4$ , δίνει $\alpha =3$ , $\beta =4$ και $\gamma =5$ .

Οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι έτσι δομημένες επιλέγοντας έναν ακέραιο αριθμό χ, από τον οποίο η πυθαγόρεια τριάδα που προκύπτει είναι $2\chi$ $\chi ^{2}-1$ , $\chi ^{2}+1$ . Άλλες τριάδες δημιουργούνται από την τροποποίηση των παραπάνω αριθμών (ο ακέραιος που είναι το μισό της διαφοράς μεταξύ του μεγαλύτερου και μιας άλλης πλευράς). Όλες οι πυθαγόρειες τριάδες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, και τα παραδείγματα που υπάρχουν στο Plimpton 322 περιλαμβάνουν κάποια αρκετά μεγάλα νούμερα, με σύγχρονη ορολογία, όπως (4601, 4800, 6649) με δεκαδική γραφή.

Δείτε επίσης

Πηγές

Berriman, A. E., The Babylonian quadratic equation (1956)
Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, (1989) ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7)
Joseph, G. G., The Crest of the Peacock, Princeton University Press (October 15, 2000), ISBN 0-691-00659-8
Joyce, David E. (1995). «Plimpton 322»
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2
O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., «An overview of Babylonian mathematics», MacTutor History of Mathematics, (December 2000)
Robson, Eleanor (2001). «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322». Historia Math. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317.MR 1849797
Robson, E., Words and pictures: New light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly. Washington: Feb 2002. Vol. 109, Iss. 2; pg. 105
Robson, E. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press (2008)
Toomer, G. J., Hipparchus and Babylonian Astronomy, (1981)

Παραπομπές

↑ «Boyer 1991, «Mesopotamia» σελ. 24». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
↑ «Boyer 1991, «Mesopotamia» σελ. 25». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
↑ «Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
↑ «Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)

[1] «Boyer 1991, «Mesopotamia» σελ. 24». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)

[2] «Boyer 1991, «Mesopotamia» σελ. 25». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)

[3] «Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)

[4] «Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)

[1]

[2]

[3]

[4]