Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορολογία

Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Ορισμοί και ιδιότητες

Πραγματικοί αριθμοί

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:

$|\alpha |={\begin{cases}\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha \geqslant 0\\-\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha <0.\end{cases}}$

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

$|\alpha |={\sqrt {\alpha ^{2}}}$

$(1)$

Επίσης ισχύει:

$|\alpha |=|-\alpha |\geq 0$

$(2)$

$|\alpha |^{2}=\alpha ^{2}$

$(3)$

Απόσταση δύο σημείων

Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο σημείων.

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους $x_{1},x_{2}$ η απόσταση μεταξύ τους είναι $d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|$. Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους $x_{1},x_{2}$ είναι το σημείο $x_{0}$το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία $x_{1},x_{2}$:$d(x_{0},x_{1})=d(x_{0},x_{2})\Rightarrow |x_{0}-x_{1}|=|x_{0}-x_{2}|$ και τότε $x_{0}-x_{1}=x_{2}-x_{0}$ αν $(x_{1}<x_{0}<x_{2})$. Το σημείο στην μέση ορίζεται ως $x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος $[x_{1},x_{2}]$. Ο αριθμός $\rho ={\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}$ λέγεται ακτίνα του διαστήματος $[x_{1},x_{2}]$.

Με βάση αυτά έχω: $x_{0}\in \mathbb {R} ,\quad \rho >0\quad |x-x_{0}|<\rho$ που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων $d(x,x0)<\rho$ δηλαδή $x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho$ άρα $x\in (x_{0}-\rho ,x_{0}+\rho )\Leftrightarrow x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho$.

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.

Μιγαδικοί αριθμοί

Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

$z=x+iy,\,$

ως:

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$