Αντίθετος αριθμός

Στα μαθηματικά, ο αντίθετος ενός αριθμού $x$, συμβολίζεται με $-x$, και είναι ένας αριθμός που όταν προστεθεί στον $x$ δίνει αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, δηλαδή το μηδέν, $0$:

$x+(-x)=(-x)+x=0$.

Ο αντίθετος είναι μία ειδική περίπτωση του αντιστρόφου στοιχείου ενός συνόλου $S$ ως προς μία δυαδική πράξη $+:S\times S\to S$. Σε έναν δακτύλιο $(R,+,\cdot )$ (όπου υπάρχουν δύο πράξεις), ο αντίθετος αναφέρεται στον αντίστροφο ως προς την πράξη $+$, ενώ ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος ενός στοιχείου $x\in R$ αναφέρεται στον αντίστροφο ως προς την πράξη $\cdot$.

Παραδείγματα

• Στους ακεραίους και πραγματικούς αριθμούς, εξ'ορισμού κάθε αριθμός έχει αντίθετο.
• Επίσης, στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Για παράδειγμα, για $x=1+3i$ ο αντίθετός του είναι ο $-x=(-1)+(-3)i$, καθώς $1+3i+(-1+(-3)i)=0$.
• Στην αριθμητική υπολοίπων, στο $\mathbb {Z} _{n}$ με πράξη την πρόσθεση με υπόλοιπο $n$, ένας αριθμός $x\in \mathbb {Z} _{n}$ έχει αντίθετο τον $n-x\in \mathbb {Z} _{n}$, καθώς $x+(n-x)=n\equiv 0{\pmod {n}}$.
• Στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$, ο αντίθετος του $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ είναι ο $-\mathbf {x} =(-x_{1},\ldots ,-x_{n})$, καθώς $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$.

Δείτε επίσης

• Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος