iOS版 Gmailアプリは受信トレイに届く新着メールが通知されるようになっています。 特定の送信者からの新着メールあるいは特定のキーワードが含まれる新着メールを通知させたくない場合は、フィルタを使って受信トレイをスキップ(アーカイブ)して受信トレイに表示されないようにするといいですよ。 なお、フィルタの作成や操作はウェブ版Gmail https://mail.google.com にログインする必要があります。