minamino

2025/1/3 6:22

22回答

積分 030 学習院大学過去問 何卒よろしくお願いします 以下問題

積分 030 学習院大学過去問 何卒よろしくお願いします 以下問題

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高校数学 | 大学数学・119閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

ベストアンサー

Highflyer

2025/1/3 7:27

誤差の範囲が1/9なので，1/4^2以降を積分で評価することにします． k>0とします． 区間[k,k+1]において1/(k+1)^2≦1/x^2≦1/k^2であることを利用すれば， 1/(k+1)^2<∫[k,k+1](1/x^2)dx<1/k^2 です． これをk=4からk=nまで合計すれば Σ[k=5,n+1]1/k^2<∫[4,n+1](1/x^2)dx<Σ[k=4,n]1/k^2 が成り立ちます． ですから 1+1/4+1/9+∫[4,n+1](1/x^2)dx<Σ[k=1,n]1/k^2 49/36+[-1/x][4,n+1]<Σ[k=1,n]1/k^2 ∴29/18-1/(n+1)<Σ[k=1,n]1/k^2 を得るため，lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/k^2>29/18です．（等号含まないことについて突っ込みが来れば，1/9まででなく1/16まで計算しておけばよいです．） 1+1/4+1/9+1/16+Σ[k=5,n+1]1/k^2<1+1/4+1/9+1/16+∫[4,n+1](1/x^2)dx Σ[k=1,n+1]1/k^2<205/144+[-1/x][4,n+1]=241/144-1/(n+1) ∴lim[n→∞]Σ[k=1,n+1]1/k^2<241/144<31/18です．

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

今回もお世話になりました またよろしくお願いいたします

お礼日時：1/9 8:17

その他の回答（1件）

エルゴード熊本

2025/1/3 7:41

「答合わせ」をしたいなら、 今度からは先にあなたの回答を示してください。 ∑[n=1,∞]1/n^2 =∑[n=1,3]1/n^2+∑[n=4,∞]1/n^2 =49/36+∑[n=4,∞]1/n^2 よって 29/18<∑[n=1,∞]1/n^2<31/18 ⇔1/4<∑[n=4,∞]1/n^2<13/36 ∑[n=4,∞]1/n^2 >∑[n=4,∞]1/(n(n+1)) =1/4 ∑[n=4,∞]1/n^2 <∑[n=4,∞]1/(n(n-1)) =1/3<13/36 以上により題意は示された。■