田崎晴明著「統計力学I」(培風館)の注釈に「対数の引数は必ず無次元になるとはいえない」とあり、これが理解できません。 何か具体例をあげて説明してもらえませんか。 同著に、物理量の次元を考える上で指数関数の引数は必ず無次元になるとあり、これは理解できるのですが・・・

田崎です。拙著をお読みいただき、ありがとうございます。 これは「自分で考えて」というつもりで注に投げたのですが、軽く説明します。 まず、まともな物理の関係式で A = exp(B) というのがあったとしたら、本に説明した理由により B は無次元。だから A も無次元。 これをひっくり返せば、 B = log(A) ですから、この場合はログの引数 A も無次元です。 しかし、ここで A = C D と書けて、しかも C と D が次元をもっているということは可能です。すると上の式は B = log(C) + log(D) となります。ちゃんと左辺は無次元ですが、ログの中身は次元をもっている。 これは別に悪い計算でも何でもありません。ぼくの本の先の方をご覧いただくと、きっと、これに相当することをやっている部分がたくさんあるはずです。 「対数の引数も無次元にしたほうが見通しがいいから、なるべくそうしよう」という考えの人もいるかも知れませんし、それは人それぞれの趣味だと思います。ただし、指数関数の場合とはちがって、別に引数を無次元にすることにこだわらなくてもちゃんとした関係は書けるということです（ただし、上の例のように、全体として次元のつじつまがあう必要はありますよ）。 では、こちらから質問しておきます。 指数関数については、本のなかで、テイラー展開を根拠にして「引数が無次元」ということを結論しています。対数のテイラー展開を使って同じ議論ができてしまうと話しがおかしい。いったいどうなっているんでしょう？ PS よく考えてもなかなか分からない疑問があるときは、どうぞ、ぼくにメールしてください。 ============================ drycp599さんの回答へのコメント （すみません、使い方がよくわからないので、こうやって最初の回答を編集しています。 ちょっと簡潔すぎて何をおっしゃっているのかわからなかったのですが、数値を代入することを想定して「単位をはぎとった、ただの数にしてから対数を和に分けろ」ということですね？ もちろん、それでいいし、数値を求めるときにそうやって計算することもありますね。 ただし、今の議論のポイントとは、ちょっとずれています。 まず、問題にしているのは（ぼくの「統計力学」の本のように）割りと抽象的な物理の理論での扱いの話です。 そういう場面では、次元のある物理量を扱うときにも単位を特定せず、物理量の中に単位が含まれているとして、たとえば L = 0.1 m = 10 cm = 100 mm みたいに使います。単位が [] に入っていないことに注意。 （ちなみに、これがほぼ唯一の論理的な扱いだと思います。高校物理の単位の扱いはよくない。） ですから「単位をはぎとる」という場合は、同じ次元を持った適切な量を（勝手に）選んでそれで割る必要があります。これは、面倒。 で、そもそも書きたかったことは、わざわざ無次元かしないで、次元のある量を対数の引数にしても何ら困らないということです。一貫してきちんと計算する限り、次元に関わる矛盾はいっさいでてきません。 これが、おおもとの脚注に書いたことです。 暇ができたら Q and A のページに、この質問を追加しておこうと思います。 http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/statbook/QandA.html ありがとうございました。