高校数学
導関数の性質について 質問は2点です。 ❸ f′(x) ≥ 0 ∧ f(x)は定数関数でない ⇔ f(x)は増加 ❹ f″(x) ≥ 0 ⇔ f′(x)は増加 ⇔ f(x)は下に凸 各含意記号によって繋がれた命題を順に④, ⑤, ⑥とします。 ⑴ ④, ⑤, ⑥の逆の真偽 ⑵ ⑴がすべて真の場合、なぜ❸, ❹でなく❶, ❷で教わったのか(回答必須ではありません) について回答をお願いします。 ※ 以下の文章は長いですが、質問の意図が伝わらなかった場合や❸, ❹が間違えていた場合に具体的にどこで間違えていたのかを見ていただくために一応書いている質問への経緯と思考回路にすぎないものなので回答にあたって必要な情報は以上ですべてです。 ━━━━━━━━━━ 先日授業で ❶ f′(x) > 0 ⇒ f(x)は増加 ❷ f″(x) > 0 ⇒ f′(x)は増加 ⇒ f(x)は下に凸 ということを習いました。 増加とはおそらく狭義の増加(i.e. x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) (cf. 等号を許すのが広義))のことです。 各含意記号によって繋がれた命題を順に①, ②, ③とします。 ここで、①と②についてはいずれも逆が不成立であることは理解しています。 ①は局所的に f′(x) = 0 となってもその前後で f′(x) > 0 であれば増加の定義を満たすからで②も同様の理由です。 また必ずしも教わる関係式が同値な関係式である必要はないことも理解した上で、 今、なるべく条件は変えずに同値な関係式を作るにはどうしたらよいかを考えています。 ━━━━━━━━━━ ❸ f′(x) ≥ 0 ∧ f(x)は定数関数でない ⇔ f(x)は増加 ❹ f″(x) ≥ 0 ⇔ f′(x)は増加 ⇔ f(x)は下に凸 上に倣って各含意記号によって繋がれた命題を順に④, ⑤, ⑥として引用します。 まず⑥の逆について、これは③の時点から既に同値では？と思いました。 その場合❷の流れでその点を強調する必要がなかったから書かなかっただけだと思います。 問題は④, ⑤の逆についてですが、まず④の逆について、 ①の逆が偽である理由は上述の通りなので、f′(x)が常に0の場合はf(x)はいわゆる定数関数の形となり増加の定義を満たさないことに注意して f′(x) ≥ 0 ⇔ f(x)は増加 としたいところを我慢して④を作りました。 次に⑤の逆について、これも基本的には④の逆と同様なのですが、 唯一異なる点はこちらはf(x)が二階微分可能なことを前提においてやればf(x)が定数関数であることは有り得ないので単純に f″(x) ≥ 0 ⇔ f′(x)は増加 としてよいと思うのです。 以上を統括して❸, ❹を得ました。まずはこの内容の真偽を確かめてほしいです。 というのは私は普段この手の質問はすべてChatGPTに投下しているのですが、何度質問をしても納得行かない点を問い質してもそれぞれ偽であるという結論を導き出されてしまい、やり取りが平行線になってしまいました^^; (私の文章がやたらと長く堅く、その割におそらく有識者の皆さんからすると「そこの表現は自然じゃない」みたいなものもあるかと思いますがすべてはGPTときちんと思考を共有するために頑張った結果なので意味が伝わる限り多めに見てほしいです) ━━━━━━━━━━ 続いて、もし❸, ❹の式がどちらも真だった場合、それでも納得できないことがあります。 私は上で「必ずしも教わる関係式が同値な関係式である必要はないことも理解した上で」と書きましたが、それは❸, ❹が複雑になる場合や実践的ではない場合には理解できるのですが、今回ばかりは私の結論が正しければ「f(x)は定数関数でない」を前提においてやるだけでどちらもすごく簡単な同値式になると思うのです。 そして定数関数を微分する場面なんて普通に考えてないと思うので、実践的にはむしろ❸, ❹の形こそ使えるはずと思うのですが、なぜ❶, ❷の方を教えられたのでしょうか？ そんなこと訊かれてもとお思いになるかもしれませんが、私の予想としては「❸, ❹までの同値性は実践的には問題を解くにあたって必要となることは少なく、ほとんどの場合❶, ❷で事足りるから」なのですがこれが合っているかどうかを、私はまだ微積の問題をほとんど解いたことがないので教えてほしいです。 なぜここが大事なのかというと、私的にはこの疑問の答えが見当たらないことが質問⑴の疑念に拍車をかけています。 なのでまぁ逆に言えば、❸, ❹を自信をもって正しいと言えるのであればこちらの質問は「先生にも何かしらの意図があったのだろう」程度で流せる疑問でもあります。 よろしくお願いします。
