hydrodynamik

Den første af de grundlæggende differentialligninger er kontinuitetsligningen. Den udtrykker, at massen af en væske er bevaret, dvs. at masse hverken kan opstå eller forsvinde under væskens bevægelse. Kontinuitetsligningen kan anskueliggøres ved at iagttage vand, der løber ud af en hane. Vandstrålen er tykkest foroven og tyndere, jo længere nede man betragter strålen. Årsagen hertil er tyngdekraften, der medfører, at væskedelenes hastighed øges, jo længere nede i vandstrålen de befinder sig. Det må nu gælde, at den væskemængde, der i et bestemt tidsrum strømmer gennem et snit vinkelret på vandstrålens retning, er den samme som den væskemængde, der strømmer gennem et dermed parallelt snit længere nede i vandstrålen. Da væskedelenes hastighed på grund af tyngdens påvirkning er størst ved det nederste snit, må vandstrålen imidlertid have et mindre tværsnitsareal her, da der ellers ikke ville strømme samme væskemængde gennem de to snit.

Når en væskedel bevæger sig, vil den have en vis impuls, der er produktet af væskens hastighed og dens masse. Ifølge Newtons love vil en kraftpåvirket væskedels impuls ændre sig med tiden. Kræfterne på væskedelen kan fx hidrøre fra tyngdekraften, fra variationer i trykket i væskens indre, eller de kan skyldes irreversible gnidningsprocesser. Impulsen har tre rumlige komponenter svarende til tre på hinanden vinkelrette bevægelsesretninger, og der skal derfor tre differentialligninger — én for hver komponent — til at beskrive impulsændringerne som følge af kræfternes tilstedeværelse. Hvis væsken er inkompressibel, dvs. at dens massetæthed er ens overalt i væsken, kaldes de tre differentialligninger Navier-Stokes' ligning. De beskriver den lokale impulsbalance og svarer til Newtons love i partikelmekanikken.

Navier-Stokes' ligning får en særlig simpel form, hvis man kan se bort fra de indre gnidningsprocesser i væsken. I dette tilfælde gælder Bernoullis ligning, ifølge hvilken størrelsen p+ρv²/2 er den samme overalt i væsken, forudsat at strømningen er stationær, dvs. uafhængig af tiden. Her angiver p trykket, ρ massetætheden og v størrelsen af væskehastigheden (der er i udtrykket set bort fra påvirkning af et evt. tyngdefelt). Bernoullis ligning kan verificeres ved at måle trykket forskellige steder langs et rør med indsnævringer. Som følge af indsnævringerne vil væskehastigheden variere i strømningens retning, og trykket ses at være lavt, når strømningshastigheden er høj. At trykket falder, når væskehastigheden øges, hænger sammen med, at der kræves en kraft i strømningsretningen til at give væskedelene en større hastighed. Derfor må trykket være større bag ved end foran væskedelen. Omvendt forholder det sig, når rørets tværsnitsareal bliver større, så stiger trykket, for at væskedelene kan blive nedbremset.

Hvis man ser bort fra den indre gnidning, siges væsken at være ideal. For ideale væsker gælder det, at man kan udnytte den formelle lighed mellem hydrodynamik og elektrodynamik til at bestemme strømningsbilledet. Ligesom man i elektrodynamikken bruger feltlinjer til at angive det elektriske felts størrelse og retning, indfører man i hydrodynamikken strømlinjer, hvis retning angiver hastighedens retning, og hvis indbyrdes afstand er større, jo mindre hastigheden er i det betragtede område. For ideale væsker kan man indføre et potential, der er konstant på en flade vinkelret på strømlinjerne. I praksis er det dog sjældent muligt at se bort fra gnidningsprocesserne i en væske.

Den sidste af de fem ligninger vedrører den lokale energibalance og kaldes varme- eller entropi-ligningen. Den benyttes, når der optræder temperaturforskelle i en væske. For at illustrere dette kan vi betragte en væske, der befinder sig i et tyngdefelt mellem to plader med forskellig temperatur. Den nederste plade har den højeste temperatur T₂, mens den øverste plade har en lavere temperatur T₁. På grund af diffusion vil temperaturen variere jævnt gennem væsken, mens væsken selv er i ro. Hvis vi gradvis forøger temperaturforskellen, vil væsken pludselig komme i bevægelse ved en bestemt værdi af T₂−T₁, der afhænger af væskens viskositet og varmeledningsevne. Varmen vil nu ikke blot fordeles ved diffusion, men også ved strømning. På grund af tyngdekraften foregår bevægelsen i "strømruller", hvis udstrækning i vandret retning er af nogenlunde samme størrelse som afstanden mellem de to plader. Man kan ud fra de hydrodynamiske grundligninger beregne den temperaturforskel, hvor væsken sættes i bevægelse, og resultatet stemmer overens med den målte værdi. Forekomsten af strømruller er et eksempel på en hydrodynamisk instabilitet, der betegnes Rayleigh-Bénard-instabiliteten.

Hydrodynamikkens differentialligninger er ulineære. For lineære differentialligninger gælder det, at summen af to løsninger også vil være en løsning. Det gælder imidlertid ikke for ulineære differentialligninger, og det betyder, at de fleste problemer i hydrodynamikken ikke kan behandles eksakt. På grund af ulineariteten kan løsninger kun findes i få simple tilfælde som fx strømning gennem et rør eller mellem to parallelle plader (Poiseuille-strømning). Ved strømning omkring en kugle, der bevæger sig langsomt gennem en væske, er det muligt at bestemme væskens hastighedsfelt og finde en simpel formel for den gnidningskraft, hvormed væsken påvirker kuglen. Formlen kaldes Stokes' lov, og den udtrykker gnidningskraften som en numerisk faktor (6π) gange med produktet af kuglens hastighed, kuglens radius og væskens viskositet. Ved større hastigheder bliver strømningen omkring kuglen turbulent; forsøg viser, at gnidningskraften her afhænger på en mere indviklet måde af kuglens hastighed.

I den moderne hydrodynamik indtager begrebet turbulens en central rolle. Løst sagt kan man opfatte turbulens som en tilstand af kontinuert instabilitet, hvis beskrivelse i almindelighed kræver brug af statistiske metoder. Visse former for turbulens udviser slægtskab med kaotiske fænomener. Turbulens er som fænomen betragtet i princippet indeholdt i de ulineære hydrodynamiske ligninger, men meget af vor viden om turbulente strømninger er baseret på eksperimenter og computersimuleringer.

Selvom der kun er få tilfælde, hvor der kendes eksakte løsninger til de hydrodynamiske ligninger, er det ofte muligt at løse dem numerisk vha. computere. Desuden kan man i mange tilfælde opnå en kvalitativ indsigt i væskers bevægelse ved at sammenligne karakteristiske længder og tider. Til dette formål indføres det såkaldte Reynolds-tal, Re, som er et dimensionsløst forhold mellem to længder. I eksemplet med kuglen, der bevæges gennem en væske, er Re = R/l, hvor R er kuglens radius, og l er en karakteristisk længde givet ved l = η/ρv, hvor η er væskens viskositet, ρ væskens massetæthed og v kuglens hastighed. Det forholder sig da således, at hvis to strømningstilfælde har samme Reynolds-tal og i øvrigt samme randbetingelser, er strømningsforholdene identiske. Generelt gælder Stokes' lov kun for Reynolds-tal, der er meget mindre end 1.

Bortset fra kontinuitetsligningen indeholder de hydrodynamiske grundligninger led, der beskriver irreversible processer som indre gnidning eller varmeledning. Ligningerne gør det muligt at beskrive forskellige typer bølger og disses dæmpning. Eksempler er kanalbølger, dybvandsbølger og kapillarbølger på en væskeoverflade. Også lydens udbredelse og dæmpning kan bestemmes ud fra hydrodynamik ved at foretage tilnærmelser i grundligningerne, så de beskriver små afvigelser fra ligevægt. På denne måde kan lydens hastighed og dæmpning udtrykkes ved andre fysiske egenskaber som massetæthed, kompressibilitet og viskositet. I vand bevæger lyden sig med en hastighed, der er mere end fire gange så stor som i luft på grund af forskellen i massetæthed og kompressibilitet.

Selvom hydrodynamik er en relativt gammel og veludviklet fysisk disciplin, repræsenterer den stadig et meget aktivt forskningsfelt, ikke blot på grund af dens mange anvendelser, men også på grund af den ulineære opførsel, der giver anledning til kaosfænomener (se kaos) og forskelligartede instabiliteter af fundamental interesse.

• magnetohydrodynamik
• aerodynamik