Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}\cdot \exp \left(x^{3}-4x\right).$

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).

Aufgabe

Bestimme die ${}1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right).$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)(\cos x).$

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n}.$

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},$

streng wachsend ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R}$

und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R}$

induziert.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion und

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
3. Bestimme das Bild von ${}f$.
4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
5. Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.$

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von ${}f$, ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f(x)$ und ebenso für die Ableitung ${}f'$.

Aufgabe

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe *

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,$

definiert. Entscheide, ob ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=\sin n\,$

nicht konvergiert.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin x+\cos x.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\ln x}{x-1}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 16.28 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?