Umordnungs-Ungleichung

In der Mathematik ist die Umordnungs-Ungleichung eine Aussage über die Veränderung des Wertes von formalen Skalarprodukten durch Umordnung.

Gegeben seien zwei n-Tupel reeller Zahlen $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ und $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ mit

x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}\quad {\mbox{und}}\quad y_{1}\leq \cdots \leq y_{n}

.

Das Tupel

x_{\sigma }=\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)

sei eine Permutation des Tupels $x$ . Fasst man nun die n-Tupel als Vektoren auf und betrachtet deren Standardskalarprodukt, so besagt die Umordnungs-Ungleichung, dass

x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}\geq x_{\sigma (1)}y_{1}+\cdots +x_{\sigma (n)}y_{n}\geq x_{n}y_{1}+\cdots +x_{1}y_{n}.

Das Skalarprodukt ist also maximal, wenn die Elemente der n-Tupel gleich geordnet sind, und minimal, wenn sie entgegengesetzt geordnet sind.

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von $x_{i}$ und $y_{i}$ notwendig sind.

Beweise

Beweis mittels Vertauschungen

Die Beweisidee besteht darin, das kleinste $i$ , das $\sigma (i)\neq i$ erfüllt, und jenes $j$ mit $i=\sigma (j)$ zu betrachten. Dann sind also $\sigma (i)>i$ und $j>i$ , daher gilt $x_{\sigma (j)}\leq x_{\sigma (i)}$ und $y_{i}\leq y_{j}$ , also

(x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (j)})(y_{i}-y_{j})\leq 0

und daher

x_{\sigma (i)}y_{i}+x_{\sigma (j)}y_{j}\leq x_{\sigma (j)}y_{i}+x_{\sigma (i)}y_{j}=x_{i}y_{i}+x_{\sigma (i)}y_{j}.

Solange also ein $i$ mit $\sigma (i)\neq i$ existiert, lässt sich die Summe für gleich geordnete Tupel vergrößern.

Analog zeigt man, dass sich die Summe für entgegengesetzt geordnete Tupel verkleinern lässt, solange ein $i$ mit $\sigma (i)\neq i$ existiert.

Beweis mit Induktion

Dieser Beweis lässt sich ausführlicher auch mit vollständiger Induktion führen. Für den Induktionsanfang $n=2$ gibt es nur zwei Permutationen, es ist also zu zeigen, dass