Pisot-Zahl

Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl $\alpha >1$, für die gilt, dass ihre Konjugierten $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{d}$ ohne $\alpha$ selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von $\alpha$) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: $\rho =\max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}<1$. Mit „=“ statt „<“, also $\max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}=1$, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften

Die Potenzen $\alpha ^{k}$ einer Pisot-Zahl $\alpha$ liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

$\min {\bigl \{}|\alpha ^{k}-z|\,{\big |}\,z\in \mathbb {Z} {\bigr \}}\leq (d-1)\rho ^{k}$

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen $|\varepsilon _{n}\,\alpha ^{n}+\varepsilon _{n-1}\,\alpha ^{n-1}+\ldots +\varepsilon _{1}\,\alpha +\varepsilon _{0}|$ mit $n$ = 0, 1, 2, … und $\varepsilon _{0},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{-1,0,+1\}$ diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein $\alpha >1$, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen $\beta _{n}$ der algebraischen Gleichungen

$x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots -1=0,$

für $n$ = 2, 3, …, eine Folge mit $\beta _{n}\to 2$. Insbesondere ist die Goldene Zahl

$\Phi =\beta _{2}$ = 1,61803 39887 49894 84820 …

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

$\theta _{1}$ = 1,32471 79572 44746 02596 …,

die reelle Lösung von $x^{3}-x-1=0$, und

$\theta _{2}$ = 1,38027 75690 97614 11567 …,

die positive reelle Lösung von $x^{4}-x^{3}-1=0$.

Anwendungen

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur

• Charles Pisot: La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, 7, 1938, S. 205–248 (Dissertation; französisch)
• T. Vijayaraghavan: On the fractional parts of the powers of a number (englisch)
  • I. In: Journal of the London Mathematical Society, 15, 1940, S. 159–160
  • II. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 37, 1941, S. 349–357
  • III. In: Journal of the London Mathematical Society, 17, 1942, S. 137–138
  • IV. In: Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 33–39
• Raphaël Salem: A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan. In: Duke Mathematical Journal, 11, 1944, S. 103–107 (englisch)
• Jacques Dufresnoy, Charles Pisot: Étude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d’entiers algébriques. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 72, 1955, S. 69–92 (französisch)
• Raphaël Salem: Algebraic numbers and Fourier Analysis. Heath, Boston 1963 (englisch)
• Adriano M. Garsia: Arithmetic properties of Bernoulli convolutions. In: Transactions of the AMS, 102, 1962, S. 409–432 (englisch)
• Adriano M. Garsia: Entropy and singularity of infinite convolutions. In: Pacific Journal of Mathematics, 13, 1963, S. 1159–1169 (englisch)
• Yves Meyer: Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, Amsterdam 1972 (englisch)
• Marie-José Bertin, Annette Decomps-Guilloux, Marthe Grandet-Hugot, Martine Pathiaux-Delefosse, Jean-Pierre Schreiber: Pisot and Salem numbers. Birkhäuser, Basel 1992, ISBN 3-7643-2648-4 (englisch)
• James McKee, Chris Smith: Salem Numbers, Pisot Numbers, Mahler Measure, and Graphs. (PDF; 875 kB) In: Experimental Mathematics, 14, 2005, S. 211–229 (englisch)

Weblinks

• David Terr: Pisot Number. In: MathWorld (englisch).
• David Boyd: Pisot number. In: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001 (englisch)
• Andrew Potter: Pisot numbers (Memento vom 27. September 2006 im Internet Archive; PDF) – einfache Einführung (englisch)