Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}$ für $r={\tfrac {1}{2}}$, $r={\tfrac {1}{3}}$ oder $r={\tfrac {1}{4}}$ konvergiert

Eine geometrische Reihe ist die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ einer geometrischen Folge $(a_{n})$. Bei einer geometrischen Folge $(a_{n})$ ist der (formale) Quotient $q$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant, es gilt also stets

$a_{n+1}=a_{n}q$.

Explizit ausgedrückt gibt es also eine Konstante $c$, sodass $a_{n}=cq^{n}$ für alle $n\geq 0$. Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen exponentiellen Verlauf annehmen. Da der Fall $c=0$ trivial und in vielen Anwendungen auch nicht sinnvoll ist, und $c$ zugleich nur ein gemeinsamer Faktor aller Summanden der Reihe ist, wird in der Literatur meistens schlicht $c=1$ gesetzt. Die geometrische Reihe hat dann die vereinfachte Gestalt

$1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots$.

Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich die Partialsummen $\textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}$ der zugehörigen geometrischen Reihe explizit zu berechnen. Durch die Rekursion $s_{n}=s_{n-1}+q^{n}$ für $n\geq 0$ ergibt sich

$s_{n}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}=1+q(1+\cdots +q^{n-1})=1+qs_{n-1}=1+q(s_{n}-q^{n})$

und durch Auflösen schließlich für $q\not =1$

$s_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$.

Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass die geometrische Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ genau dann konvergiert, falls $|q|<1$ gilt. Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei $q$ um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien, wie dem Quotientenkriterium), im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen und in der analytischen Kombinatorik.

Definition

Für reelle (oder komplexe) Zahlen $q$ definiert man die geometrische Reihe als

$\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}.$

Ihre Partialsummen sind also gegeben durch $\textstyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}$, und die ersten Glieder sind

$1,\quad 1+q,\quad 1+q+q^{2},\quad 1+q+q^{2}+q^{3},\quad \ldots .$

In allgemeinerer Form wird für reelle (oder komplexe) Zahlen $a\not =0,q$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}=a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots =a\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots \right)$

auch als geometrische Reihe bezeichnet. Diese ist jedoch bis auf einen skalaren Faktor gleich der geometrischen Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$, weshalb meistens diese studiert wird.

Konvergenzkriterium

Konvergenz der geometrischen Reihe für $q={\tfrac {1}{2}}$

Schematische Darstellung der Herleitung zur Formel der Partialsummen der geometrischen Reihe.

Konvergenz der geometrischen Reihe auf der Zahlengeraden

Für $|q|<1$ konvergiert die geometrische Reihe hingegen; es gilt in diesem Fall

$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=1+q+q^{2}+\dots ={\frac {1}{1-q}}$.

Bewiesen werden kann dies über Betrachtung der Partialsummen:

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$,

und die letzte Gleichheit folgt aus

$(1-q)s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}q^{k}=1-q^{n+1}.$

Es ist $q^{n}$ für $|q|<1$ eine Nullfolge, also gilt

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-0}{1-q}}={\frac {1}{1-q}}$.

Es ist also $|q|<1$ hinreichend für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Zugleich ist dies jedoch auch notwendig: Für $|q|\geq 1$ folgt die Divergenz der Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$ aus dem Nullfolgenkriterium, da $q^{n}$ in diesem Fall für $n\to \infty$ nicht gegen 0 strebt.

Ein Quotient $q$ mit $|q|\geq 1$ ergibt eine divergente geometrische Reihe, z. B. für $q=2$ und Startwert $1$

$1,~1+2,~1+2+4,~1+2+4+8,\dots$ zusammengefasst also $1,~3,~7,~15,\dots$

Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen $s_{n}=2^{n+1}-1$ als Werte der Summe.

Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

$a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc$

mit $a_{0}=5$ und $q=3.$ Die zugehörige geometrische Reihe ist

$s=5\sum _{k=0}^{\infty }3^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }5\cdot 3^{k}=5+15+45+135+\dotsb =\infty .$

Die zugehörige Folge von Partialsummen ergibt sich zu

$s_{0}=5=5{\frac {1-3^{1}}{1-3}}$

$s_{1}=5+15=20=5{\frac {1-3^{2}}{1-3}}$

$s_{2}=5+15+45=65=5{\frac {1-3^{3}}{1-3}}$

$s_{3}=5+15+45+135=200=5{\frac {1-3^{4}}{1-3}}$

usw.

Geometrische Veranschaulichungen

Figur 1

Figur 2

Zur Summenformel

Das große gleichseitige Dreieck $ABC$, dessen Flächeninhalt ohne Beschränkung der Allgemeinheit als $1$ angenommen wird, setzt sich aus drei flächengleichen unendlichen Folgen gleichseitiger Dreiecke (rot, gelb, blau) zusammen, deren Grenzwerte jeweils ${\tfrac {1}{3}}$mal so groß sind wie das Dreieck $ABC$ (Figur 1). Wegen der Selbstähnlichkeit der Dreiecke $ABC$, $A_{1}B_{1}C$, $A_{2}B_{2}C$, … und ihrer Mittendreieck-Eigenschaften besitzt jede der drei Dreiecksfolgen den Grenzwert

$\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}$.

Also gilt

$\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}={\frac {1}{3}}$.

Zu einer verwandten Summenformel

In Figur 2 gilt:

$1+2\cdot {\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {1}{4}}+4\cdot {\frac {1}{8}}+5\cdot {\frac {1}{16}}+\ldots =4$.

Dies bestätigt die Partialsummenformel

$s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k$

für $a_{0}=2$, $q={\tfrac {1}{2}}$ und $n=5$.

Geschichte

Bei Zenon von Elea (490 v. Chr. bis 430 v. Chr.)

Im antiken Griechenland beschäftigte sich Zenon von Elea (ca. 490 v. Chr. bis 430 v. Chr.) bereits mit Paradoxien und Trugschlüssen, die beim Umgang mit dem Unendlichen entstehen können. Oft handelte es sich dabei um Gedankenexperimente im Umfeld von Raum, Zeit und Bewegung.

Teilungsparadoxon

→ Hauptartikel: Teilungsparadoxon

Animation des Teilungsparadoxons über die Konvergenz der Reihe ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{32}}+\cdots$ gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert.

Bereits vor ca. 2500 Jahren standen griechische Mathematiker vor einem Paradoxon, das beim Gehen von einem Ort zum anderen entstehen kann: Sie glaubten, dass stets eine unendlich lange Liste von Zahlen, die alle größer als null sind, zu unendlich summiert wird. Deshalb erschien es paradox, als Zenon von Elea im Rahmen seines Teilungsparadoxons darauf hinwies, dass man, um von einem Ort zum anderen zu gelangen, zuerst die Hälfte der Strecke gehen muss, dann die Hälfte der verbleibenden Strecke und danach wieder die Hälfte der dann noch verbleibenden Strecke. Dieser Vorgang setzt sich unendlich oft fort, da man, egal wie klein die verbleibende Strecke ist, immer die erste Hälfte davon zurücklegen muss. Dadurch verwandelte Zenon von Elea eine kurze Strecke in eine unendlich lange Liste von halbierten Reststrecken, die allesamt größer als null sind. Das Problem bestand nun darin: Wie kann eine Strecke beschränkt sein, da der Zielort offenbar niemals erreicht wird, und gleichzeitig unendlich lang, da man eine unendlich lange Liste positiver Strecken summiert? Zenon selbst argumentierte, dass seine Überlegungen zeigten, dass eine Bewegung „unmöglich“ sei. Das Paradoxon zeigt hingegen, dass die Annahme, eine unendlich lange Liste von Zahlen größer als null summiere sich zu unendlich, falsch ist. In der Tat ist es unmittelbar mit der Zerlegung der 1 in die folgende unendliche, geometrische Reihe verknüpft:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{2^{5}}}+\cdots =1.$

Achilles und die Schildkröte

→ Hauptartikel: Achilles und die Schildkröte

Ein sehr anschauliches Beispiel für die Anwendung (und sogar Herleitung des Grenzwerts) der geometrischen Reihe ist Geschichte von Achilles und der Schildkröte. Bekannt ist es als eines von mehreren bekannten Trugschlüssen, die Zenon von Elea zugeschrieben werden, und eines von vier Paradoxa, die Aristoteles in seiner Abhandlung Physik beschreibt.

Der für seine Schnelligkeit bekannte Athlet Achilles tritt in einem Wettlauf gegen eine langsame Schildkröte an. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung von, zum Beispiel $100\,{\text{m}}$. Obwohl Achilles mit einer um den Faktor $p$, mit $p>1$, höheren Geschwindigkeit als die der Schildkröte läuft, kann er sie scheinbar niemals einholen. Denn: Sobald Achilles $100\,{\text{m}}$ weit gelaufen ist, also den Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist eine gewisse Zeit verstrichen. In dieser Zeit hat die Schildkröte die Strecke ${\tfrac {100\,{\text{m}}}{p}}$ zurückgelegt. Achilles muss also die entsprechende Strecke weiterlaufen, um die Schildkröte einzuholen. Derweil hat die Schildkröte jedoch weitere ${\tfrac {100\,{\text{m}}}{p^{2}}}$ zurückgelegt. Achilles hat die Schildkröte immer noch nicht eingeholt. Er läuft entsprechend weiter, muss nun allerdings feststellen, dass die Schildkröte in der Zwischenzeit abermals eine gewisse Strecke zusätzlich zurückgelegt hat; dieses Mal sind es ${\tfrac {100\,{\text{m}}}{p^{3}}}$. Dieses Spiel setzt sich unendlich oft fort.

Der Punkt $x$, an welchem Achilles die Schildkröte endlich einholen wird, ist gegeben durch die unendliche Summe

$x=100\,{\text{m}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{2}}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{3}}}+\dots =100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}.$

Alternativ kann $x$ durch das Aufstellen zweier linearer Gleichungen bestimmt werden. Es seien

${\begin{aligned}x_{\text{S}}(t)&=v\,t+100\,{\text{m}}\quad {\text{bzw.}}\\x_{\text{A}}(t)&=p\,v\,t\end{aligned}}$

die Bewegungsgleichungen der Schildkröte bzw. von Achilles, wobei $v$ die Geschwindigkeit der Schildkröte und $t$ die verstrichene Zeit ist. Es wird die $x$-Koordinate des Schnittpunkts von $x_{\text{S}}(t)$ und $x_{\text{A}}(t)$ gesucht. Durch Gleichsetzen beider Gleichungen, Umformung auf $t$ und Einsetzen von $t$ in eine der beiden Gleichungen erhält man

$x={\frac {100\,{\text{m}}}{1-{\tfrac {1}{p}}}}.$

Der Wert ist endlich; Achilles wird die Schildkröte also doch einholen (womit sich das scheinbare Paradoxon auflöst). Wird diese Lösung mit derjenigen von oben verglichen, so findet man

${\begin{aligned}100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}={\frac {100\,{\text{m}}}{1-{\frac {1}{p}}}},\quad {\text{oder äquivalent}}\quad \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}},\end{aligned}}$

wobei im letzten Schritt auf beiden Seiten durch $100\,{\text{m}}$ geteilt und die Variable $q:={\tfrac {1}{p}}$, mit $0<q<1$, eingeführt wurde.

Archimedes (287 v. Chr. bis 212 v. Chr.)

→ Hauptartikel: Quadratur der Parabel

Archimedes' Zerlegung eines Parabel-Segments in unendlich viele Dreiecke.

Archimedes (287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) benutzte die Summe einer geometrischen Reihe, um die von einer Parabel und einer Geraden eingeschlossene Fläche zu berechnen. Seine Methode bestand darin, die Fläche in eine unendliche Anzahl von Dreiecken zu zerlegen. Das Theorem von Archimedes besagt, dass die gesamte Fläche unter der Parabel ${\tfrac {4}{3}}$ der Fläche des blauen Dreiecks im Bild beträgt.

Archimedes stellte fest, dass jedes grüne Dreieck ${\tfrac {1}{8}}$ der Fläche des blauen Dreiecks hat, jedes gelbe Dreieck ${\tfrac {1}{8}}$ der Fläche eines grünen Dreiecks und so weiter. Nimmt man an, das blaue Dreieck habe die Fläche 1, dann ergibt die gesamte Fläche eine unendliche Summe:

$1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .$

Der erste Term repräsentiert die Fläche des blauen Dreiecks, der zweite Term die Flächen der zwei grünen Dreiecke, der dritte Term die Flächen der vier gelben Dreiecke und so weiter. Die Brüche vereinfacht ergeben

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots .$

Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis ${\tfrac {1}{4}}$ und der Bruchteil ist gleich

$\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={4 \over 3}.$

Diese Berechnung verwendet die Exhaustionsmethode, eine frühe Version der Integration. Mit Hilfe der Analysis könnte dieselbe Fläche durch ein bestimmtes Integral gefunden werden. Allerdings lässt sich die Approximation von Flächen durch Dreiecke nur für sehr spezielle Kurven anwenden.

Fermat (1636)

Pierre de Fermat nutzte die geometrische Reihe im Jahr 1636 für die Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{B}x^{a}\mathrm {d} x$

für $a>-1$ und $B>0$. Dabei ging er wie folgt vor: Zunächst zerlegte er den Definitionsbereich $(0,B)$ des Integranden $x^{a}$ für $0<\theta <1$ in Einzelteile mit Abschnitten

$B,\quad B\theta ,\quad B\theta ^{2},\quad \ldots .$

Die entsprechenden Funktionswerte sind dann

$B^{a},\quad B^{a}\theta ^{a},\quad B^{a}\theta ^{2a},\quad \ldots$

Fermat approximierte den Flächeninhalt über die Obersumme der entsprechenden Rechtecke:

$(B-B\theta )B^{a}+(B\theta -B\theta ^{2})B^{a}\theta ^{a}+(B\theta ^{2}-B\theta ^{3})B^{a}\theta ^{2a}+\cdots =B^{a+1}(1-\theta )(1+\theta ^{a+1}+\theta ^{2a+2}+\cdots )=B^{a+1}{\frac {1-\theta }{1-\theta ^{a+1}}}.$

Nun gilt bei Verfeinerung der Unterteilung $\theta \to 1^{-}$

$B^{a+1}{\frac {1-\theta }{1-\theta ^{a+1}}}{\overset {\theta \to 1^{-}}{\longrightarrow }}{\frac {B^{a+1}}{a+1}},$

was man zum Beispiel mit der Regel von L'Hospital sieht. Damit schloss Fermat das (korrekte) Ergebnis

$\int _{0}^{B}x^{a}\mathrm {d} x={\frac {B^{a+1}}{a+1}}.$

Zu beachten ist, dass die Methode schon bei der Hyperbel $y=x^{-1}$ nicht mehr funktioniert.

Anwendungen

Rentenrechnung

→ Hauptartikel: Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: $1+(5/100)=1{,}05$]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins $2000\cdot 1,05^{5}$ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann durch die Rentenrechnung nach fünf Jahren ein angesparter Betrag von

${\begin{aligned}&2\,000\cdot 1{,}05^{5}+2\,000\cdot 1{,}05^{4}+2\,000\cdot 1{,}05^{3}+2\,000\cdot 1{,}05^{2}+2\,000\cdot 1{,}05^{1}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot (1{,}05^{4}+1{,}05^{3}+1{,}05^{2}+1{,}05^{1}+1{,}05^{0})\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{4}1{,}05^{k}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}}\\&\quad =11\,603{,}826\end{aligned}}$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen von Kontoauszügen ist zu bedenken, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt, sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5 % Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

$10\,000\cdot 1{,}05^{5}=12\,762{,}8156$

also ein Kapitalertrag von 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres $a_{0}$, der Zinsfaktor $q$ und die Laufzeit $n$ Jahre, dann ist der Endwert

$a_{0}\sum _{k=1}^{n}q^{k}=a_{0}q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$.

Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann.

Beispiel 1:

${\begin{aligned}0{,}2{\overline {67}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{100}}\right)^{k}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}={\frac {53}{198}}.\end{aligned}}$

Beispiel 2:

$0{,}{\overline {9}}={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\dotsb ={\frac {9}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1.$

Verallgemeinern lässt sich dies auf sog. g-ale Entwicklungen: Ist eine ganze Zahl $g\geq 2$ fest gewählt, und $x_{k}\in \{0,\ldots g-1\}$ eine Folge, so heißt

$x=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}g^{-k}$

die g-ale Entwicklung der reellen Zahl $x$. Wegen der Abschätzung,

$0\leq \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}g^{-k}\leq (g-1)\sum _{k=1}^{\infty }g^{-k}=1$

welche die geometrische Reihe nutzt, gilt zudem $x\in [0,1]$. Dies kann dazu verwendet werden, die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu zeigen.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Geometrische Verteilung

→ Hauptartikel: Geometrische Verteilung

Wahrscheinlichkeiten sind Konzepte der Maßtheorie und können damit als „Teilvolumina“ des „Ganzen mit Volumen Eins“ gesehen werden. Sie messen Plausibilität. Das Quadrat mit Fläche = 1 repräsentiert „alles, was möglich ist“. Bildlich wird die Unterteilung der verschiedenen Ausgänge des Spiels gezeigt. Die Flächen korrespondieren zu den Summanden der normalisierten geometrischen Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }r(1-r)^{k}=1$ ($0<r<1$), und die Plausibilität nimmt ab.

Die geometrische Reihe kommt bei der namensverwandten geometrischen Verteilung zum Einsatz. Diese modelliert ein beliebig häufig wiederholtes Bernoulli-Experiment mit möglichen Ausgängen

• „Erfolg“ mit Wahrscheinlichkeit $r$
• „Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit $1-r$.

In einem Spiel wird Runde für Runde so lange gespielt, bis ein Erfolg vorliegt (womit das Spiel endet). Liegt sofort ein Erfolg vor, korrespondiert dies zu der Wahrscheinlichkeit $r$, bei einem Misserfolg und einem anschließenden Erfolg ist es $(1-r)r$. Allgemein bezieht sich $(1-r)^{n}r$ auf $n$ Misserfolge hintereinander mit einem anschließenden Erfolg in der $n+1$-ten Runde. Bei positiver Erfolgswahrscheinlichkeit $r>0$ wird fast sicher irgendwann mal ein Erfolg eintreffen; gleichzeitig repräsentieren die $r^{n}(1-r)$ alle unterschiedliche Ereignisse. Damit erhält die geometrische Reihe eine probabilistische Interpretation:

$r+(1-r)r+(1-r)^{2}r+(1-r)^{3}r+(1-r)^{4}r+\cdots =1.$

Ruin des Spielers

→ Hauptartikel: Ruin des Spielers

Die geometrische Reihe spielt auch beim sog. Ruin des Spielers eine zentrale Rolle. Ausgangspunkt ist ein Spiel zwischen einem Spieler und der Bank, das in mehreren Runden ausgetragen wird. Jede Runde läuft unabhängig von der vorherigen ab, und mit Wahrscheinlichkeit $p$ gewinnt der Spieler einen Euro in einer Runde. Entsprechend verliert der Spieler mit der Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-p$ einen Euro in einer Runde gegen die Bank. Angenommen wird, dass der Spieler mit einem Kapital von $i$ Euro startet und die Bank $a-i>0$ an Kapital besitzt. Die Frage ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit $q_{i}$ der Spieler verlieren wird, also sein Kapital komplett verbraucht (die Bank verliert, wenn der Spieler irgendwann $a$ Euro besitzt, ohne davor pleitegegangen zu sein). Über die geometrische Reihe kann man diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $p$, $a$ und $i$ ausdrücken:

$q_{i}=1-{\frac {({\frac {p}{q}})^{a-i}-({\frac {p}{q}})^{a}}{1-({\frac {p}{q}})^{a}}}.$

Fraktale Geometrie

Das Innere der Kochschen Schneeflocke ist eine Vereinigung unendlich vieler Dreiecken. Bei der Untersuchung von Fraktalen treten geometrische Reihen häufig als Umfang, Fläche oder Volumen einer selbstähnlichen Figur auf.

Die Fläche innerhalb der Kochschen Schneeflocke kann als Vereinigung von unendlich vielen gleichseitigen Dreiecken beschrieben werden (siehe Abbildung). Jede Seite des grünen Dreiecks ist genau ${\tfrac {1}{3}}$ so groß wie eine Seite des großen blauen Dreiecks und hat daher genau ${\tfrac {1}{9}}$ der Fläche. Ebenso hat jedes gelbe Dreieck ${\tfrac {1}{9}}$ der Fläche eines grünen Dreiecks, und so weiter. Wenn man das blaue Dreieck als Einheit der Fläche nimmt, ergibt die gesamte Fläche der Schneeflocke

$1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots .$

Der erste Term dieser Reihe repräsentiert die Fläche des blauen Dreiecks, der zweite Term die Gesamtfläche der drei grünen Dreiecke, der dritte Term die Gesamtfläche der zwölf gelben Dreiecke, und so weiter. Abgesehen von der anfänglichen 1 ist diese Reihe geometrisch mit einem konstanten Verhältnis $r={\tfrac {4}{9}}$. Der erste Term der geometrischen Reihe ist $a=3\cdot {\tfrac {1}{9}}={\tfrac {1}{3}}$, sodass die Summe

$1+{\frac {a}{1-r}}=1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}$

ist. Somit ist die Fläche der Kochschen Schneeflocke Faktor ${\tfrac {8}{5}}$ der Fläche des Basisdreiecks.

Harmonische Reihe

→ Hauptartikel: Harmonische Reihe

Die $n$-te harmonische Zahl ist gegeben durch

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$

Über die geometrische Reihe erhält man die Integralformel

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}\mathrm {d} t.$

Damit kann eine Verallgemeinerung definiert werden: Für komplexe Werte $s$ mit $\mathrm {Re} (s)>-1$ kann man

$H_{s}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{s}}{1-t}}\mathrm {d} t$

definieren, und es gilt

$H_{s-1}+{\frac {1}{s}}=H_{s}.$

Unendliche Reihen

Quotienten- und Wurzelkriterium

→ Hauptartikel: Quotientenkriterium

→ Hauptartikel: Wurzelkriterium

Ist $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine Reihe mit $a_{n}\not =0$ für alle bis auf endlich viele $n$. Existiert eine Zahl $0<q<1$ mit

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q$

für alle bis auf endlich viele $n$. Das Quotientenkriterium besagt dann, dass unter diesen Voraussetzungen $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ absolut konvergiert. Bewiesen kann dies unter Anwendung der geometrischen Reihe gezeigt werden. Für hinreichend große $n\geq N$ gilt

$|a_{n}|\leq |a_{n-1}|q\leq |a_{n-2}|q^{2}\leq \ldots \leq |a_{N}|q^{n-N}={\frac {|a_{N}|}{q^{N}}}q^{n}.$

Damit stellt die absolut konvergente geometrische Reihe $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {|a_{N}|}{q^{N}}}q^{n}$ eine Majorante zu $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}$ dar, womit die Aussage durch das Majorantenkriterium folgt.

Durch eine ähnliche Argumentation, wieder unter Anwendung des Majorantenkriteriums und der geometrischen Reihe, kann das Wurzelkriterium gezeigt werden.

Potenzreihen

Auch in der Theorie der Potenzreihen nimmt die geometrische Reihe die Rolle einer Majorante ein. Grob gesagt ist die Idee, eine allgemeine Potenzreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ durch die geometrische Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$ zu „imitieren“. Eine wichtige Aussage in diesem Kontext ist die Existenz eines Konvergenzradius für Potenzreihen: Für jede formale Potenzreihe $F(q)=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ existiert eine eindeutig bestimmte Zahl $0\leq R\leq \infty$, so dass $F(q)$ für alle $|q|<R$ konvergiert und für alle $|q|>R$ divergiert. Dabei ist die Menge der $q$ mit $|q|<0$ bzw. $|q|>\infty$ per definitionem leer. Setzt man

$R:=\sup\{\varrho \geq 0\colon (a_{n}\varrho ^{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\quad {\text{ist Nullfolge}}\},$

so existiert für alle $\varrho <\varrho _{1}<R$ eine Abschätzung für $|q|\leq \varrho$:

$|a_{n}q^{n}|\leq \left|a_{n}\varrho _{1}^{n}{\frac {\varrho ^{n}}{\varrho _{1}^{n}}}\right|\leq M_{\varrho _{1}}\cdot \left({\frac {\varrho }{\varrho _{1}}}\right)^{n}$

für eine nur von $\varrho _{1}$ (und natürlich der Potenzreihe als ganze) abhängigen Konstanten $M_{\varrho _{1}}>0$. Damit hat man

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}q^{n}|\leq M\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\varrho }{\varrho _{1}}}\right)^{n}<\infty$

also muss die Potenzreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ in letzter Konsequenz für alle $|q|<R$ nach dem Majorantenkriterium konvergieren. Wegen des Nullfolgenkriteriums ist sie ferner nach Konstruktion für alle $|q|>R$ divergent. Damit zeigt sich, dass allgemeine Potenzreihen stets auf Kreisscheiben konvergieren, gerade weil die spezielle geometrische Reihe dies als Potenzreihe tut.

Mit der geometrischen Reihe kann in manchen Fällen auch etwas über das Konvergenzverhalten von Potenzreihen mit Konvergenzradius 1 am Rand ihres Konvergenzbereichs ausgesagt werden. Das Konvergenzverhalten im Rand ist im Allgemeinen ein schwieriges Problem, da es sehr unterschiedliche Ausprägungen haben kann, und es gibt keine allgemeingültige und zugleich anwendbare Methode, Antworten zu finden. Ist jedoch $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 1, so dass $a_{n}\to 0$ und $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}-a_{n+1}|<\infty$ (was zum Beispiel dann zutrifft, wenn die $a_{n}$ eine monoton fallende Nullfolge bilden), konvergiert $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ in jedem Randpunkt $|q|=1$ mit $q\not =1$. Gesehen werden kann dies mittels partieller Summation: Wegen der geometrischen Summenformel

$\sum _{n=M}^{N}q^{n}={\frac {q^{M}-q^{N+1}}{1-q}}$

ist die Folge der Partialsummen $\textstyle A_{M,N}:=\sum _{n=M}^{N}q^{n}$ für $|q|=1$ und $q\not =1$ gleichmäßig in $M$ und $N$ durch den Wert ${\tfrac {2}{|1-q|}}$ beschränkt. Damit folgt für $N\geq M$ über die Dreiecksungleichung

$\left|\sum _{n=M}^{N}a_{n}q^{n}\right|=\left|a_{N+1}A_{M,N}+\sum _{k=M}^{N}A_{M,k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leq |a_{N+1}A_{M,N}|+\sum _{k=M}^{N}|A_{M,k}||a_{k}-a_{k+1}|\leq {\frac {2}{|1-q|}}\left(|a_{N+1}|+\sum _{k=M}^{N}|a_{k}-a_{k+1}|\right),$

womit $\textstyle \sum _{n=M}^{N}a_{n}q^{n}$ für $M\to \infty$ nach Voraussetzung (gleichmäßig in $N\geq M$) gegen 0 strebt. Damit muss $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ nach dem Cauchy-Kriterium konvergieren.

Summierbarkeit

Eine möglicherweise nicht konvergente Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ heißt Abel-summierbar gegen den Grenzwert $A$, falls die zugehörige Potenzreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ für alle $|x|<1$ konvergiert, und ferner

$\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=A$

gilt. Abel selbst konnte zeigen, dass gewöhnliche Konvergenz von $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ bereits Abel-Summierbarkeit impliziert, und die Grenzwerte übereinstimmen. In diesem Kontext wird die folgende Quotientenformel mit der geometrischen Reihe und $\textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ genannt,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}},$

wobei der hintere Ausdruck für $s_{n}\to A$ als ein „asymptotischer Mittelwert“ interpretiert werden kann.

Funktionentheorie

Explizite Taylor-Reihen

Taylor-Reihen zu einigen Funktionen können mittels der geometrischen Reihe berechnet werden. Das betrifft zum Beispiel die natürliche Logarithmusfunktion

$-\log(1-x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1-t}}=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n+1}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots ,\qquad (|x|<1).$

Dabei wurde im letzten Schritt die Summe gliedweise integriert. Etwas ähnliches gilt auch für die Arkustangensfunktion:

$\arctan(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots ,\qquad (|x|<1).$

Mit dem Leibniz-Kriterium und dem Abelschen Grenzwertsatz folgt damit die Leibniz-Reihe:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.$

Ferner spielt die geometrische Reihe bzw. allgemein die Taylor-Reihen zu $z\mapsto (1-z)^{-m}$ um $z=0$ eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Taylor-Koeffizienten rationaler Funktionen. Hat die rationale Funktion

$r(z)=\sum _{j=1}^{n}\sum _{h=1}^{m_{j}}{\frac {a_{j,h}}{(z-z_{j})^{h}}}$

paarweise verschiedene Polstellen in $z_{1},\cdots ,z_{n}$ und strebt für $|z|\to \infty$ gegen 0, so ist ihre Taylor-Reihe um einen Punkt $z_{0}\notin \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$ stets von der Form

$r(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k},$

wobei

$a_{k}=\sum _{j=1}^{n}p_{j}(k)(z_{j}-z_{0})^{-k},$ mit den Polynomen $p_{j}(k)=\sum _{h=1}^{m_{j}}(-1)^{h}a_{j,h}{\frac {(z_{j}-z_{0})^{-h}}{(h-1)!}}(k+1)_{h-1}.$

Dabei bezeichnet $(x)_{n}:=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ die fallende Faktorielle. Es gilt auch die Umkehrung, d. h. Taylor-Koeffizienten dieser Art erzeugen rationale Funktionen. Unmittelbare Anwendung hat dieses sehr allgemeine Prinzip beim Auflösen von Differenzengleichungen. Ein Beispiel in diesem Kontext ist die explizite Formel von Binet für die Fibonacci-Folge $(f_{n})$:

$f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right).$

Cauchyscher Entwicklungssatz

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt. Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist $c\in U$ mit offenem $U$, $B_{r}(c)$ die größte Kreisscheibe um $c$ in $U$ und $f\colon U\to \mathbb {C}$ holomorph, so ist $f$ um $c$ in eine Taylorreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ entwickelbar, die in $B_{r}(c)$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w$, wobei $0<d<r.$

Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen (siehe auch komplexes Kurvenintegral). Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen $z\mapsto (z-c)^{-n-1}$ im Inneren des Integrals benötigt werden, was allgemein durch Ableitungen der geometrischen Reihe ausgedrückt werden kann, sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall $k=0$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.

Abschätzung von Taylor-Koeffizienten

Das Wachstum der Taylor-Koeffizienten einer Potenzreihe sagt etwas über das Wachstum der zugehörigen Funktion aus, und umgekehrt. Um dies präziser zu fassen, ist es von Nutzen, die geometrische Reihe passend zu verallgemeinern. Mittels der Euler-Polynome $A_{m}(q)$ erhält man für ganze Zahlen $m\geq 0$

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{m}q^{n}={\frac {qA_{m}(q)}{(1-q)^{m+1}}}.$

Dabei gilt stets $|A_{m}(q)|\leq m!$ für alle $|q|\leq 1$. Gilt nun $|a_{n}|\leq Mn^{m}$ für die Koeffizienten einer Potenzreihe $\textstyle f(z):=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}$, so ist $f$ in der Einheitskreisscheibe $B_{1}(0)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}$ eine holomorphe Funktion, und es folgt

$|f(q)|\leq \sum _{n=1}^{\infty }Mn^{m}|q|^{n}\leq {\frac {M|qA_{m}(q)|}{|1-|q||^{m+1}}}\leq {\frac {Mm!}{(1-|q|)^{m+1}}}.$

In gewisser Weise kann diese Aussage umgekehrt werden. Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel folgt unter der Voraussetzung

$|f(q)|\leq {\frac {M}{(1-|q|)^{m}}}$

für ein $m\in \mathbb {N} _{0}$ und alle $|q|<1$ bereits für alle $0<r<1$ mit der Standardabschätzung für Integrale

$|a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}{\frac {f(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q\right|\leq {\frac {M}{2\pi }}{\frac {2\pi r}{r^{n+1}(1-|r|)^{m}}}={\frac {M}{r^{n}(1-|r|)^{m}}}.$

Dabei wird die Integrationskurve, also der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius $r$, in mathematisch positiver Richtung einfach umlaufen. Durch die spezifische Wahl von $r=1-{\tfrac {1}{n+1}}$ erhält man wegen $(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{-n}\leq e$ insgesamt

$|a_{n}|\leq Me(n+1)^{m}\leq Me2^{m}n^{m}.$

Trigonometrie

Die geometrische Reihe, bzw. ihre Partialsummen, kann dabei helfen, trigonometrische Identitäten zu beweisen. In der Praxis betrifft dies zum Beispiel unmittelbar den sog. Dirichlet-Kern

$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right),$

der in der Fourier-Analysis Anwendung findet. Wegen der Rechenregel $e^{ikx}=(e^{ix})^{k}$ sowie der Eulerschen Formel ergibt sich mit der geometrischen Reihe dann

$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+{\frac {1}{2}})ix}-e^{(n+{\frac {1}{2}})ix}}{e^{-{\frac {ix}{2}}}-e^{\frac {ix}{2}}}}={\frac {-2i\sin((n+{\frac {1}{2}})x)}{-2i\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}},$

also die geschlossene Gestalt in Form eines Sinus-Quotienten.

Ein anderes Beispiel betrifft die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1-2r\cos(x)+r^{2}}},\qquad (x\in \mathbb {R} ,|r|>1),$

die schon von Leonhard Euler studiert wurde. Der Beweis dafür ergibt sich aus der Tatsache, dass

$\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},$

was eine Konsequenz der Eulerschen Formel ist. Wenn man dies in die ursprüngliche Reihe einsetzt, erhält man

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right].$

Dies ist die Differenz zweier geometrischer Reihen, und daher ist es eine einfache Anwendung der Formel für unendliche geometrische Reihen, die den Beweis vervollständigt.

Zahlentheorie

Euler-Produkte

→ Hauptartikel: Euler-Produkt

Im Umfeld der analytischen Zahlentheorie gehört das Euler-Produkt

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}$

der Riemannschen Zeta-Funktion zu den bedeutendsten Formeln, da sie die Folge der Primzahlen mit einer vergleichsweise „einfach strukturierten“ analytischen Funktion in Verbindung bringt. Dabei gelten die angegebenen Formeln jedoch nur im eingeschränkten Bereich $\mathrm {Re} (s)>1$, wobei sich dies auf den Realteil der komplexen Zahl $s$ bezieht. Durch Ausmultiplizieren und Anwendung der geometrischen Reihe

$1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\dotsb ={\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}$

mit $|p^{-s}|<1$ erkennt man für die ersten $n$ Primzahlen

${\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}^{s}}}}}=\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}} \atop a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}\geq 0}{\frac {1}{m^{s}}}.$

Nun kann man in dieser Formel $n$ gegen Unendlich laufen lassen, und erhält

$\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s),$

da jede Zahl $m$ nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik genau eine Zerlegung $m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots$ besitzt. Somit folgt das Euler-Produkt im Bereich der absoluten Konvergenz der Reihe zu $\zeta (s)$.

Dieses Argument verallgemeinert sich auf vollständig multiplikative zahlentheoretische Funktionen $a_{n}$ (d. h. $a_{mn}=a_{m}a_{n}$ für alle $m,n$ und $a_{1}\not =0$) in Form der Identität

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}}},$

die dann zutrifft, wenn die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ absolut konvergiert.

Satz von Weyl über Gleichverteilung

→ Hauptartikel: Satz von Weyl über Gleichverteilung

Die geometrische Reihe spielt eine wichtige Rolle bei einer kritischen Stelle im Beweis des Satzes von Weyl für Gleichverteilung. Bei diesem wird eine reelle Zahl $\alpha$ gewählt, und die Folge aller Vielfache

$\alpha ,\quad 2\alpha ,\quad 3\alpha ,\quad 4\alpha ,\quad \ldots$

betrachtet. Daraus kann eine Folge mit Werten in $[0,1]$ konstruiert werden mit der Gaußklammer

$a_{n}(\alpha ):=n\alpha -\lfloor n\alpha \rfloor .$

Der Satz von Weyl gibt eine Charakterisierung dafür, dass die Werte $a_{n}(\alpha )$ im asymptotischen Sinne im Intervall gleichverteilt ist. Dabei bedeutet „gleichverteilt“ präzise, dass für alle $0\leq a<b\leq 1$ bereits

$\lim _{N\to \infty }{\frac {|\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}(\alpha )\in (a,b),n\leq N\}|}{N}}=b-a.$

Dies trifft genau dann zu, falls $\alpha$ eine irrationale Zahl ist. Die Richtung

$\alpha$ rational $\implies$ $a_{n}(\alpha )$ nicht asymptotisch gleichverteilt

kann dabei schnell gesehen werden. Für die andere Richtung zeigt man dies über das Weyl-Kriterium, das besagt, dass eine Folge $\xi _{n}\in [0,1]$ genau dann gleichverteilt ist, wenn

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi ik\xi _{n}}=0$

für alle ganzen Zahlen $k\not =0$. Der Beweis des Weyl-Kriteriums kann mit elementarer Fourier-Analysis geführt werden. Mit der 1-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion $e^{2\pi ix}$ erhält man für irrationale $\alpha$ über die geometrische Summenformel

${\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi ika_{n}(\alpha )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi ik(n\alpha -\lfloor n\alpha \rfloor )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\left(e^{2\pi ik\alpha }\right)^{n}={\frac {e^{2\pi ik\alpha }}{N}}{\frac {1-e^{2\pi ik\alpha N}}{1-e^{2\pi ik\alpha }}},$

wobei der letzte Ausdruck für $N\to \infty$ gegen 0 strebt.

Analytische Kombinatorik

Die geometrische Reihe findet häufige Anwendung in der analytischen Kombinatorik, zum Beispiel in der Theorie der Partitionen.

Ist $n$ eine natürliche Zahl, so ist eine absteigende Kette $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}\geq \cdots$ positiver ganzer Zahlen eine Partition von $n$, falls

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}+\cdots =n$

gilt. Die Anzahl der Partitionen von $n$ wird mit $p(n)$ bezeichnet, und formal gilt $p(0)=1$. Mit der geometrischen Reihe kann für die erzeugende Funktion der $p(n)$ die Produktidentität

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}$

gezeigt werden. Diese verbindet die Partitionsfunktion über die Dedekindsche Etafunktion mit der Theorie der Modulformen und erlaubt es unter anderem, konvergente Reihen zu konstruieren, die als Grenzwerte $p(n)$ haben. Sie tritt außerdem bei einer elementaren Abschätzung der Partitionsfunktion $p(n)$ und beim Beweis von Identitäten wie

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{3}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {n^{2}+n}{2}}$

auf.

Die Theorie der Partitionen lässt sich erneut über die geometrische Reihe auf ähnliche Funktionen $p_{f}(n)$ des Typs

$\sum _{n=0}^{\infty }p_{f}(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{n})^{f(n)}}},$

mit Exponenten $f(n)\geq 0$ verallgemeinern, die in verschiedensten zahlentheoretischen Kontexten auftreten.

Integraldarstellungen

Mit der geometrischen Reihe kann eine Integraldarstellung für die Riemannsche Zeta-Funktion gewonnen werden. Grundlage dieser Darstellung ist die eulersche Integral-Darstellung der Gamma-Funktion

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{s-1}\mathrm {d} x,$

aus dem nach der Substitution $x=tn$ mit $n=1,2,3,\dotsc$ und Division durch $n^{s}$ nach beidseitigem Summieren über die geometrische Reihe der Ausdruck

$\zeta (s)\Gamma (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$

hervorgeht. Diese Darstellung von $\zeta (s)\Gamma (s)$ gilt naturgemäß nur auf der Halbebene $\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (s)>1\}$. Die zweite Integraldarstellung von $\zeta (s)\Gamma (s)$ bezeichnet man auch als die Mellin-Transformation von ${\tfrac {1}{e^{t}-1}}$. Das mögliche Vertauschen von Summe und Integral kann mit absoluter Konvergenz und dem Satz von Lebesgue begründet werden.

Eine Anwendung dieses Integrals betrifft die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zeta-Funktion auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{1\}$. Entscheidendes Hilfsmittel ist die Existenz einer Laurent-Entwicklung der (zunächst nur für $t>0$ definierten) geometrischen Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}={\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}t^{\nu -1}={\frac {1}{t}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{12}}-{\frac {t^{3}}{720}}+\cdots \qquad (0<|t|<2\pi )$

in Termen der Bernoulli-Zahlen $B_{\nu }$.

Verallgemeinerungen und Varianten

Endliche Summenformeln

• Die Partialsumme

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}k$

hat für $q\neq 1$ das Ergebnis

$s_{n}={\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}}}$

und für $q=1$ (vgl. Gaußsche Summenformel)

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}1^{k}k=\sum _{k=0}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Die so entstehenden Werte $s_{n}$ werden Dreieckszahlen genannt. Diese Formel ergibt sich auch aus der Formel für $q\neq 1$ (mit zweifacher Anwendung der Regel von de L’Hospital) als deren Grenzwert für $q\to 1$.

• Die Partialsumme

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}k^{2}$

hat für $q\neq 1$ das Ergebnis

$s_{n}={\frac {n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}}}$

und für $q=1$ (vgl. Potenzsummen)

$s_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Die auf die nun genannte Weise entstehenden Werte $s_{n}$ werden Quadratische Pyramidalzahlen genannt.

Die Dreieckszahlen und die Quadratischen Pyramidalzahlen bilden die ersten Spezialfälle zu den Faulhabersche Formeln, welche von Johannes Faulhaber entdeckt wurden.

Verwandte Potenzreihen und spezielle Funktionen

Mittels der Euler-Polynome $A_{m}(q)$ kann die Reihe auch für beliebige $m\in \mathbb {N}$ direkt angegeben werden.

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{m}q^{n}={\frac {qA_{m}(q)}{(1-q)^{m+1}}}.$

Allgemein stellt diese Variante für $|q|<1$ die Definition des Polylogarithmus dar:

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}q^{n}={\text{Li}}_{-s}(q).$

Banach-Algebren

Die geometrische Summenformel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von $q$ kleiner als Eins ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Siehe auch

• Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
• Arithmetische Reihe

Literatur

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Weblinks

Commons: Geometric series – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: Geometric Series. In: MathWorld (englisch).
• Geometrische Folgen und Reihen auf mathematische-basteleien.de
• Unendliche geometrische Reihe, Archivlink, abgerufen am 8. März 2022