Elliptic Curve DSA

Der Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) ist eine Variante des Digital Signature Algorithm (DSA), die Elliptische-Kurven-Kryptographie verwendet.

Unterschiede zum normalen DSA-Verfahren

Generell gilt bei der Elliptische-Kurven-Kryptographie die Faustregel, dass die Bitlänge des Erzeugers der verwendeten Untergruppe etwa dem Doppelten des Sicherheitsniveaus $t$ entsprechen sollte. Bei einem Sicherheitsniveau von $t=80$ Bit, bei dem ein Angreifer $2^{80}$ elementare Operationen durchführen muss, um den privaten Schlüssel zu finden, hätte ein DSA-Schlüssel eine Länge von circa 1024 Bit, ein ECDSA-Schlüssel aber nur eine Länge von 160 Bit. Eine Signatur ist jedoch bei beiden Verfahren gleich lang: $4t$ Bit, also 320 Bit für ein Sicherheitsniveau von 80 Bit.

Schlüsselerzeugung

Alice möchte eine signierte Nachricht an Bob schreiben. Zu Beginn muss man sich auf die Kurvenparameter $(q,FR,a,b,DomainParameterSeed,G,n,h)$ einigen. Die ersten Parameter beschreiben die verwendete Kurve: $q$ ist die Ordnung des Körpers, auf dem die Kurve definiert ist; $FR$ ist die Angabe der verwendeten Basis; $a$ und $b$ sind zwei Körperelemente, die die Gleichung der Kurve beschreiben; $DomainParameterSeed$ ist eine mögliche, zufällig erzeugte Zeichenkette, die vorliegt, wenn die Kurve nachweislich zufällig erzeugt wurde. Weiterhin werden benötigt:

• $G$, ein fester Erzeuger der $n$-Torsionsuntergruppe der Kurve (i. e., $G=(x_{G},y_{G})$);
• $n$, die Ordnung des Punktes $G$, und $h$, der Cofaktor (gleich der Ordnung der Kurve geteilt durch die Gruppenordnung $n$);
• $L_{n}$, die Bitlänge der Gruppenordnung $n$;
• eine kryptologische Hashfunktion HASH, wie z. B. SHA-2.

Um ihr Schlüsselpaar zu generieren, erzeugt Alice als geheimen Schlüssel $d_{A}$ eine zufällige Ganzzahl im Intervall $[1,n-1]$. Der zugehörige öffentliche Schlüssel ist $Q_{A}=d_{A}G$.

Algorithmus zur Erzeugung einer Signatur

Will Alice eine Nachricht $m$ signieren, geht sie folgendermaßen vor:

1. Berechne $e={\textrm {HASH}}(m)$ und definiere $z$ als die $L_{n}$ höchstwertigen Bits von $e$.
2. Wähle eine zufällige Ganzzahl $k$ von $[1,n-1]$.
3. Berechne $r=x_{1}{\pmod {n}}$, wobei $(x_{1},y_{1})=kG$. Wenn $r=0$, gehe zum Schritt 2 zurück.
4. Berechne $s=k^{-1}(z+rd_{A}){\pmod {n}}$. Wenn $s=0$, gehe zum Schritt 2 zurück.
5. Die Signatur ist das Paar $(r,s)$.

Wenn $s$ berechnet wird, sollte der Wert $z$, der aus ${\textrm {HASH}}(m)$ stammt, in eine Ganzzahl umgewandelt werden. Dabei ist zu beachten, dass $z$ größer als $n$ sein kann, aber nicht länger.

Es ist entscheidend, dass für verschiedene Signaturen auch verschiedene $k$-Werte verwendet werden, ansonsten kann die Gleichung im Schritt 4 nach dem geheimen Schlüssel $d_{A}$ aufgelöst werden: Aus zwei Signaturen $(r,s)$ und $(r,s')$, die mit demselben, unbekannten $k$ verschiedene bekannte Nachrichten $m$ und $m'$ signieren, kann ein Angreifer $z$ und $z'$ berechnen. Weil $s-s'=k^{-1}(z-z')$ entspricht (alle Operationen in diesem Absatz werden mit modulo $n$ durchgeführt), kann dann auch $k={\frac {z-z'}{s-s'}}$ berechnet werden. Aus $k$ kann der Angreifer wegen $s=k^{-1}(z+rd_{A})$ auch den privaten Schlüssel $d_{A}={\frac {sk-z}{r}}$ berechnen. Dieser Fehler in der Verschlüsselung wurde z. B. verwendet, um die Verschlüsselung in der Spielkonsole PlayStation 3 zu berechnen und damit die Beschränkung auf offiziell veröffentlichte Software auszuhebeln.

Überprüfung einer Signatur

Wenn Bob die Echtheit einer von Alice erzeugten Signatur prüfen möchte, muss er eine Kopie ihres öffentlichen Schlüssels $Q_{A}$ besitzen. Wenn er sich nicht sicher ist, dass $Q_{A}$ ordnungsgemäß erzeugt wurde, muss er überprüfen, ob es sich wirklich um einen Schlüssel handelt (das neutrale Element wird mit $O$ bezeichnet):

1. Überprüfe, ob $Q_{A}$ ungleich $O$ ist und dass die Koordinaten ansonsten valide sind
2. Überprüfe, ob $Q_{A}$ auf der Kurve liegt
3. Überprüfe, ob $nQ_{A}=O$. Hier wird überprüft, ob $Q_{A}$ ein Vielfaches des Erzeugers $G$ ist. Falls in den Kurvenparametern der Kofaktor $h=1$ ist, kann dieser Schritt weggelassen werden.

Danach führt Bob folgende Schritte durch:

1. Überprüfe, ob $r$ und $s$ ganze Zahlen sind und im Intervall $[1,n-1]$ liegen. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die Signatur ungültig.
2. Berechne $e={\textrm {HASH}}(m)$, wobei HASH die gleiche Funktion wie bei der Erzeugung der Signatur ist. Bezeichne mit $z$ die $L_{n}$ höchstwertigen Bits von $e$.
3. Berechne $w=s^{-1}{\pmod {n}}$.
4. Berechne $u_{1}=zw{\pmod {n}}$ und $u_{2}=rw{\pmod {n}}$.
5. Berechne $(x_{1},y_{1})=u_{1}G+u_{2}Q_{A}$.
6. Die Signatur ist gültig, wenn $r=x_{1}{\pmod {n}}$, ansonsten ist sie ungültig.

Mit Hilfe von Straus’ Algorithmus (auch bekannt als Shamir's Trick) kann die Summe zweier skalarer Multiplikationen ($u_{1}G+u_{2}Q_{A}$) schneller berechnet werden.

Normen und Standards

ANSI

Der Standard X9.62-2005 des American National Standards Institute ist die maßgebliche Spezifikation von ECDSA, die von den nachfolgend genannten Standards als Referenz verwendet wird.

NIST

Das US-amerikanische National Institute of Standards and Technology empfiehlt im Standard FIPS 186-4 fünfzehn elliptische Kurven.

SECG

Die Standards for Efficient Cryptography Group (SECG) ist ein 1998 gegründetes Konsortium zur Förderung des Einsatzes von ECC-Algorithmen, welches im Dokument SEC1 auch den ECDSA spezifiziert.

ISO/IEC

Die International Organization for Standardization und die International Electrotechnical Commission definiert ECDSA in dem internationalen Standard ISO/IEC 14888-3 (der ältere Standard 15946-2 wurde 2007 zurückzogen). Darin werden neben EC-DSA (die im Standard verwendete Abkürzung) noch die Varianten EC-GDSA (Elliptic Curve German Digital Signature Algorithm), EC-KCDSA (Korean Certificate-based Digital Signature Algorithm), EC-RDSA (Russian Digital Signature Algorithm), EC-SDSA und EC-FSDSA (Schnorr und Full Schnorr Digital Signature Algorithm) spezifiziert.

BSI

Das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik legt in der Technischen Richtlinie TR-03111 Vorgaben und Empfehlungen u. a. für die Implementierung des ECDSA fest.

Implementierungen

Open Source

• OpenSSH: Ab Version 5.7 (24. Januar 2011) ist ECDSA und der Schlüsselaustausch via Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) aus dem RFC 5656 implementiert.
• OpenSSL: Ab Version 0.9.8 (5. Juli 2005) implementiert.
• BouncyCastle: Ab 10. März 2014
• GnuTLS
• .Net-Framework ab Version 3.5
• Bitcoin

Literatur

• X9. American National Standard X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry, The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA), Accredited Standards Committee, 16. November 2005.
• Standards for efficient cryptography, SEC 1: Elliptic Curve Cryptography. (PDF; 970 kB) Version 2.0. Certicom Research, 21. Mai 2009.
• J. López, R. Dahab: An Overview of Elliptic Curve Cryptography. Technical Report IC-00-10. State University of Campinas, 2000.
• Daniel J. Bernstein: Pippenger’s exponentiation algorithm (PDF; 293 kB), 2002.
• Daniel R. L. Brown: Generic Groups, Collision Resistance, and ECDSA. In: Designs, Codes and Cryptography, 35, S. 119–152, 2005. ePrint version
• Ian F. Blake, Gadiel Seroussi, Nigel P. Smart (Hrsg.): Advances in Elliptic Curve Cryptography. In: London Mathematical Society Lecture Note, Series 317, Cambridge University Press, 2005.
• Darrel Hankerson, Alfred Menezes, Scott Vanstone: Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer, 2004.

Weblinks

• Digital Signature Standard; includes info on ECDSA. csrc.nist.gov