15-Puzzle

Spiel aus Plastik (lösbare Variante)

Das 15-Puzzle, auch 14-15-Puzzle genannt, ist ein in seiner ursprünglichen Aufgabenstellung unlösbares Geduldsspiel, welches zwischen 1870 und 1880 in den Vereinigten Staaten entstanden und von dem Postangestellten Noyes Palmer Chapman erfunden wurde. Heutige Ausgaben sind abgewandelte Formen des ursprünglichen Spiels und beschränken sich auf die Aufgabe, die Steine richtig zu sortieren.

Es gibt sie auch in der Ausführung 8-Puzzle (in einem 3 x 3-Quadrat) und als 31-Puzzle (in einem 4 x 8-Rechteck).

Geschichte

Der Rätselspezialist Samuel Loyd behauptete von 1891 bis zu seinem Tod im Jahr 1911, dass er der Erfinder dieses Rätsels wäre, konnte dies aber niemals belegen. Neueren Untersuchungen zufolge wurde er sogar als Lügner entlarvt.

Das Spiel wurde vom Postangestellten Noyes Palmer Chapman erfunden, der seinen Freunden im Jahr 1874 ein ähnliches Puzzle zeigte. Bei diesem ging es darum, sechzehn nummerierte Blöcke in die Form eines magischen Quadrates zu bringen. Die ersten Kopien des 15-Puzzles machten den Weg nach Syracuse im Staat New York zu Frank Chapman, dem Sohn von Noyes. Von dort verbreitete sich das Spiel weiter nach Watch Hill und schließlich nach Hartford in Connecticut, wo Studenten der amerikanischen Schule für Hörbehinderte das Puzzle in großen Auflagen fertigten und im Dezember 1879 als Weihnachtsgeschenke in Boston, Massachusetts verkauften. Matthias Rice, der Besitzer eines Geschäftes für ausgefallene Holzgegenstände, entdeckte eines dieser Puzzles und fing an, diese umgehend selber herzustellen und als „Gem Puzzle“ auf den Markt zu bringen. Gegen Ende Januar 1880 setzte der Zahnarzt Dr. Charles Pevey ein Preisgeld für die Lösung des 15-Puzzles aus. Der erste Megatrend für das Spiel war in den USA im Februar, in Kanada im März und in Europa im April 1880 zu sehen. Der Trend war bereits im Juli des gleichen Jahres aber wieder im Rückgang. Erst neun Jahre später wurde das Spiel in Japan eingeführt.

Chapman wollte das 15-Puzzle am 21. Februar 1880 als „Block Solitaire Puzzle“ zum Patent anmelden, stieß beim Patentamt aber auf Ablehnung, da sich sein Spiel nicht ausreichend von dem am 20. August 1878 erteilten Patent für das von Ernest U. Kinsey entwickelte Spiel „Puzzle-Blocks“ zu unterscheiden schien.

Ursprüngliche Aufgabenstellung

In einem quadratischen Rahmen der Größe 4×4 liegen 15 Steine, die von 1 bis 15 durchnummeriert sind. In der Ausgangsposition sind die Steine mit Ausnahme der Steine 14 und 15 in aufsteigender Reihenfolge sortiert, das letzte Feld bleibt frei.

Dadurch ergibt sich folgendes Bild:

Die Aufgabe besteht nun darin, die Steine durch eine Folge von Zügen in die richtige Reihenfolge zu bringen:

Erlaubt sind nur solche Züge, bei denen ein Stein, der horizontal oder vertikal direkt neben dem freien Feld liegt, auf dieses verschoben wird.

Dieses Spiel ist unlösbar. Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass bei erlaubten Zügen die Parität von $N=N_{1}+N_{2}$ erhalten bleibt. Das heißt, wenn $N$ vor dem Zug (un)gerade war, ist es das auch nach dem Zug. Dabei ist $N_{1}$ die Anzahl der Zahlenpaare, die sich in falscher Reihenfolge befinden und $N_{2}$ die Nummer der Reihe, in der sich das leere Feld befindet.

Skizze eines Beweises

Beispiel

Um zu überprüfen, ob eine Konstellation von Steinen in eine andere mittels erlaubter Züge überführt werden kann, ist zwischen Rahmengrößen mit geradzahliger (wie der vorliegenden) und solchen mit ungeradzahliger Spaltenanzahl zu unterscheiden. Grundvoraussetzung ist, dass die Quadrate in der gezeigten Weise nummeriert sind oder bei Puzzles, deren Lösung in der Erstellung eines Bildes liegt, für den Nachweis nummeriert werden. Bei Puzzles, die mehrere Lösungen erlauben, etwa Symbole, die nach bestimmten Regeln angeordnet werden sollen, ist nachzuweisen, dass keine der Lösungsvarianten durch erlaubte Züge erreicht werden kann.

Zur Ermittlung des Unordnungsparameters N₁ zählt man alle Zahlenpaare, bei denen eine kleinere Zahl auf eine größere folgt egal wieviele Steine dazwischen liegen; die absolute Größe der jeweiligen Zahlen ist unerheblich, Zahlen können in mehreren Paaren vorkommen. Verglichen werden die Steine so, als wären alle in einer horizontalen Reihe aufgelistet. Bei einer Konstellation von beispielsweise 1, 4, 2, 6, 7, 8, 3, 5 gibt es also folgende Paare (2|4), (3|8), (3|7), (3|6), (3|4), (5|8), (5|7), (5|6). Man iteriert von links nach rechts und vergleicht eine Zahl mit allen links stehenden Zahlen. Sobald eine links stehende Zahl dann größer ist, wurde ein unordentliches Paar gefunden.

N1 = 3

In der Konstellation dieses Bildes beträgt N₁=3; die unordentlichen Paare sind (11|12), (11|13), (11|14).

Wird ein Stein in horizontaler Richtung verschoben, ändern sich weder der Unordnungsparameter N₁ noch der Reihenparameter N₂, da man diese Bewegung als Austausch des bewegten Steins durch das freie Feld, das in der Berechnung des Unordnungsparameters nicht berücksichtigt wird, auffassen kann.

Wird ein Stein in vertikaler Richtung verschoben, ändert sich der Reihenparameter N₂ um +/- 1. Die vertikale Verschiebung betrifft immer genau drei Zahlenpaare, denn es kann nur Änderungen in der Ordnung zwischen dem verschobenen Stein und den drei eingeschlossenen Feldern geben. Dabei hat sich für jeden eingeschlossenen Stein der Unordnungsparameter um 1 vergrößert oder verkleinert, da der zu verschiebende Stein seinen Platz getauscht hat, haben nun alle Paare, welche mit dem verschiebenden Stein gebildet wurden, ihre Ordnung geändert. Unordentliche Paare sind nun ordentliche und umgekehrt.

vertikaler Zug

Beim oben stehenden Beispiel ändern also alle drei ordentlichen Paare (7|8), (7|9), (7|10) durch das Verschieben in einen unordentlichen Zustand. N₁ wird also um drei erhöht.

N war von Anfang an gerade (N=4). Da der Reihenparameter N₂ bei jedem Schritt eine ungerade Veränderung erfährt (+1, -1) und der Ordnungsparameter N₁ ebenfalls nur eine ungerade Veränderung erfährt (+3, +1, -1, -3), kann N jeweils nur eine gerade Änderung erfahren (+4, +2, 0, -2, -4). Es ist also nicht möglich von der ursprünglichen Aufgabenstellung (15 mit 14 getauscht) in eine sortiere Reihenfolge zu gelangen, da die ursprüngliche Reihenfolge (N=5) eine ungerade Parität hat und nicht mit dem Verschieben von Steinen in eine gerade Parität überführt werden kann.

Allgemeine Überlegungen

In einem a x b großen Puzzle mit ungeradzahliger Spaltenanzahl a beträgt die Anzahl der eingeschlossenen Steine a-1, also eine gerade Zahl; der Unordnungsparameter ändert sich also mit einem horizontalen Zug gar nicht und mit einem vertikalen Zug um eine gerade Zahl. Die Parität des Unordnungsparameter N₁ bleibt mit jedem Zug erhalten.

In einem a x b großen Puzzle mit geradzahliger Spaltenanzahl a (wie dem vorliegenden) beträgt die Anzahl der eingeschlossenen Steine a-1, a ist in diesem Fall eine ungerade Zahl, der Unordnungsparameter N₁ ändert sich mit einem vertikalen Zug um eine ungerade Zahl. Der Reihenparameter N₂ vergrößert oder verkleinert sich mit jedem vertikalen Zug um 1; N₁+N₂ ist also die Summe aus zwei ungeraden Zahlen und damit gerade. Die Parität von (N₁+N₂) bleibt mit jedem Zug erhalten.

Da die Parität von N₁ bei ungeradzahliger bzw. (N₁+N₂) bei geradzahliger Spaltenanzahl stets erhalten bleibt, kann man durch einfaches Abzählen prüfen, ob eine zufällige Konstellation K₁ in eine andere bestimmte Konstellation K₂ mittels erlaubter Züge überführt werden kann. Bei der klassischen Aufgabestellung des 15-Puzzles ist das nicht möglich, da bei geradzahliger Spaltenanzahl a=4 (N₁+N₂)=(1+4)=5 in (N₁+N₂)=(0+4)=4 überführt werden müsste.

Des Weiteren zeigen diese Überlegungen, dass genau die Hälfte aller denkbaren Konstellationen aus der Grundkonstellation heraus erreicht werden kann, weil nur Konstellationen von geraden in geraden oder ungeraden in ungeraden Paritäten überführt werden können. Faktisch ist von der Grundkonstellation genau diese Hälfte immer erreichbar, was aber durch den hier vorgestellten Beweis nicht nachgewiesen werden kann, da die Parität lediglich eine notwendige, nicht aber eine hinreichende Bedingung für die allgemeine Lösbarkeit ist. Dass alle Konstellationen von geraden Paritäten tatsächlich ineinander überführt werden können, beziehungsweise alle Konstellationen mit ungeraden Paritäten ineinander überführt werden können, ist eine Aufgabe vom Aufzeigen von allgemein gültigen Algorithmen für dieses Spiel.

Heutige Spiele

15-Puzzle als Schlüsselanhänger

Die heutigen Spiele haben das Spielprinzip abgewandelt. Da es nicht möglich ist, das 15-Puzzle zu lösen, sind nun viele Puzzles im Handel, die bereits richtig sortiert sind. Das Ziel des Spieles ist es nun, ein gemischtes Puzzle wieder in den Originalzustand zu versetzen und ist damit mit der Aufgabenstellung des Zauberwürfels vergleichbar.

Im Handel findet man viele Formen dieses Spiels. Es gibt sie beispielsweise als Schlüsselanhänger oder in Plastik oder Holz gefertigt. Es gibt auch Spiele, die nicht mehr das Ziel haben, Zahlen zu sortieren, sondern aus einem Bild bestehen, das nur komplett zu sehen ist, wenn alle Quadrate in einer richtigen Reihenfolge sortiert werden.

Weblinks

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  Commons: 15-Puzzle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
• 8-Puzzles-Applet Deutschsprachige Seite, welche ein selbstlösendes Schiebepuzzle als Java-Applet und als Mashup anbietet.
• The 14-15-Puzzle Englischsprachige Seite, die den Beweis der Unlösbarkeit des ursprünglichen 15-Puzzles anhand interaktiver Beispiele illustriert.