Torus

Torus

Ein Torus (Plural Tori; von lateinisch torus hier im Sinne von „Wulst“) ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie und der Topologie. Er ist eine „wulstartig“ geformte Fläche mit einem „Loch“, hat also die Gestalt eines Tennisrings, auch Rettungsrings, Reifens oder Donuts.

Spezielle Beispiele für im dreidimensionalen Raum eingebettete Tori sind die Rotationstori, die Beispiele für Rotationsflächen sind. Man erhält sie, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Es handelt sich also um die Menge der Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius $R$ den festen Abstand $r$ mit $r<R$ haben. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte Kreisfläche rotieren lässt, erhält man einen Volltorus.

Man erhält den Torus durch Verkleben gegenüberliegender Seiten eines Parallelogramms

Ein radial …

… und diagonal aufgeschnittener Torus in 3D

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Parallelogramms mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als das topologische Produkt zweier Kreise definiert. Dieser Begriff spielt in zahlreichen Gebieten der Mathematik eine Rolle, neben Topologie und Differentialgeometrie ist er unter anderem in der Fourier-Analysis, der Theorie dynamischer Systeme („invariante Tori“ in der Himmelsmechanik), der Funktionentheorie und der Theorie elliptischer Kurven von Bedeutung.

Rotationstori liefern eine konkrete (rotationssymmetrische) Realisierung dieser Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum. Für viele Anwendungen in theoretischer Mathematik und Physik bedeutend ist eine andere Einbettung als flacher Torus in den vierdimensionalen Raum. Diese hat die Krümmung null und die maximal mögliche Symmetrie.

Der Torus ist eine zweidimensionale Fläche. Allgemeiner betrachtet man in der Mathematik auch den $n$-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

Torus als Rotationsfläche

Ein Rotationstorus ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende Rotationsachse erzeugt wird.

Ein Rotationstorus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius $R$ den festen Abstand $r$ haben, wobei $r<R$ ist. In kartesischen Koordinaten $x,y,z$, mit der z-Achse als Rotationsachse und den Mittelpunkten des rotierenden Kreises in der x-y-Ebene wird er durch die Gleichung

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}$

beschrieben. Durch Beseitigen der Wurzel ergibt sich die Gleichung 4. Grades

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).$

Man kann in der Torusoberfläche eine toroidale Koordinate $t$ und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate $p$ einführen. Man denkt sich den Torus als durch einen Kreis entstanden, der um eine in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir $r$, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von $p$. Den Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse nennen wir $R$, die Koordinatenlinien von $t$ sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von $0$ bis $2\pi$.

Parametrisierung des Torus

Die Umrechnung von Toruskoordinaten in kartesische Koordinaten ist

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R\cdot {\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(t)\cdot \cos(p)\\\sin(t)\cdot \cos(p)\\\sin(p)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+r\cdot \cos(p))\cos(t)\\(R+r\cdot \cos(p))\sin(t)\\r\cdot \sin(p)\end{pmatrix}}$

Toruskoordinaten sind in der Kernfusionstechnologie von Bedeutung, siehe Kernfusionsreaktor.

Oberfläche des Torus

Die Oberfläche des Torus mit der obigen Parameterdarstellung ist

$A_{O}=4\pi ^{2}rR\ .$

Diese Formel lässt sich entweder mit der Ersten Guldinschen Regel herleiten aus

$A_{O}=2\pi r\cdot 2\pi R$

oder mit Hilfe des Oberflächenintegrals

$A_{O}=\iint \mathrm {d} A=\int _{t=0}^{2\pi }\int _{p=0}^{2\pi }r\cdot (R+r\cdot \cos(p))\cdot \mathrm {d} p\cdot \mathrm {d} t$

berechnen. Dabei ist $\mathrm {d} A=r\cdot (R+r\cdot \cos(p))\cdot \mathrm {d} p\cdot \mathrm {d} t$ das Oberflächenelement des Torus in der obigen Parameterdarstellung.

Der Torus berandet einen 3-dimensionalen Volltorus. Das Volumen des Volltorus beträgt $V=2\pi ^{2}r^{2}R$ (aus $V=\pi r^{2}\cdot 2\pi R$ nach der Zweiten Guldinschen Regel).

Ebene Schnitte eines Torus

1. Schnitte mit Ebenen, die die Rotationsachse enthalten, sind Kreispaare.
2. Schnitte mit Ebenen, die zur Rotationsachse senkrecht sind, sind Kreispaare oder ein Kreis oder leer.
3. Eine zur Rotationsachse parallele Ebene schneidet aus einem Torus eine spirische Kurve aus. In Sonderfällen kann dies eine Cassinische Kurve sein.
4. Eine geneigte Ebene, die zwei Erzeugerkreise berührt, schneidet Villarceau-Kreise aus.

Tori in der Darstellenden Geometrie

In der Darstellenden Geometrie verwendet man Teile eines Torus zur Konstruktion von Übergangsflächen zwischen Zylindern. Die Darstellung eines Torus durch seinen Umriss findet man in Umrisskonstruktionen.

Allgemeine Definition eines Torus

Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise

Mit $\mathbb {S} ^{1}$ werde der Kreis (die 1-Sphäre) bezeichnet. Der $n$-Torus ist dann definiert durch

$\mathbb {T} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n\ {\text{mal}}}$,

wobei $\times$ das Produkt topologischer Räume ist. Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Rotationsfläche ist ein 2-Torus. Der 2-Torus wird meist einfach Torus genannt.

Eigenschaften

Struktur einer Mannigfaltigkeit

Der $n$-Torus ist eine topologische Mannigfaltigkeit. Dies folgt aus der Tatsache, dass der $n$-Torus das topologische Produkt aus $n$ 1-Sphären ist und die 1-Sphäre selbst eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Die 1-Sphäre ist zusätzlich auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und, da das Produkt differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ergibt, ist der $n$-Torus ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Die Dimension von $\mathbb {T} ^{n}$ ist gleich $n$.

Topologische Eigenschaften

Ebenfalls direkt aus der Definition folgt, dass der $n$-Torus kompakt ist. Außerdem ist er wegzusammenhängend. Im Gegensatz zur $n$-Sphäre ist der $n$-Torus für $n>1$ nicht einfach zusammenhängend.

Die Abbildung $q\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {T} ^{n}$, definiert durch $(x_{j})_{j}:=(\exp(2\pi \mathrm {i} x_{j}))_{j}$, ist die universelle Überlagerung des $n$-Torus.

Lie-Gruppe

Die 1-Sphäre, aufgefasst als Kreisgruppe, ist außerdem eine Lie-Gruppe. Da das Produkt mehrerer Lie-Gruppen mit der komponentenweisen Multiplikation wieder eine Lie-Gruppe ist, ist auch der $n$-Torus eine Lie-Gruppe.

Eingebettete Tori

Flache Tori

Modell eines flachen Torus: Das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.

Da die Kreislinie $\mathbb {S} ^{1}$ offensichtlich in den $\mathbb {R} ^{2}$ eingebettet werden kann, kann der $n$-Torus $\mathbb {T} ^{n}:=\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}\subset \mathbb {R} ^{2n}$ als Teilmenge des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{2n}$ aufgefasst werden. Man betrachtet auf $\mathbb {T} ^{n}$ die riemannsche Metrik $g$, die durch die euklidische Metrik des Raums $\mathbb {R} ^{2n}$ auf dem $n$-Torus induziert wird. Diese Metrik $g$ ist flach, das heißt, der $n$-Torus ist lokal isometrisch zu einer Umgebung des $\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere ist daher seine Schnittkrümmung überall konstant null. Da der $n$-Torus kompakt und somit auch vollständig ist, ist er eine flache Mannigfaltigkeit. Man spricht daher auch von einem flachen $n$-Torus.

Es gibt neben der oben beschriebenen noch weitere flache Metriken auf dem Torus. Flache 2-Tori können beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen $\mathbb {R} ^{2}/(\mathbb {Z} \cdot v+\mathbb {Z} \cdot w)$ für zwei linear unabhängige Vektoren $v,w\in \mathbb {R} ^{2}$ beschrieben werden. Im Spezialfall $v=(1,0)$ und $w=(0,1)$ erhält man den Quotienten $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}\cong (\mathbb {R} /\mathbb {Z} )^{2}$.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen lassen sich mittels der Weierstraßschen Parametrisierung als $\mathbb {C} /L$ für ein Gitter $L\subset \mathbb {C}$ darstellen und sind dadurch (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori. Der Modulraum der elliptischen Kurven oder äquivalent der flachen 2-Tori ist die sogenannte Modulkurve.

Flache Tori im 3-dimensionalen Raum

Eine 2-mal differenzierbare Einbettung des Torus in den 3-dimensionalen Raum kann nicht flach sein, weil die lokalen Extrema Punkte positiver Krümmung sein müssen. Nach dem Einbettungssatz von Nash gibt es jedoch „fraktale“ (nur 1-mal differenzierbare) Einbettungen des flachen Torus in den 3-dimensionalen Raum. Diese können auch numerisch konstruiert werden.

Rotationstori im 3-dimensionalen Raum

Ein Rotationstorus ist ein im $\mathbb {R} ^{3}$ eingebetteter 2-Torus, der als Menge der Punkte beschrieben werden kann, die von einer Kreislinie mit Radius $R$ den festen Abstand $r$ haben, wobei $r<R$ ist.

Clifford-Tori

Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in $S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$ eingebetter Torus. Nach der Identifizierung $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {C} ^{2}$ und $S^{3}=\left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z|^{2}+|w|^{2}=1\right\}$ lässt sich der Standard-Cliffordtorus beschreiben als

$T:=\left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z|=|w|={\frac {1}{\sqrt {2}}}\right\}\subset S^{3}$.

Weiterhin werden die Bilder von $T$ unter Isometrien der Standard-Metrik $A\in O(3)=\operatorname {Isom} (S^{3})$ als Clifford-Tori bezeichnet.

Mittels stereographischer Projektion kann man Clifford-Tori auch als in den $\mathbb {R} ^{3}$ eingebettete Tori auffassen.

Ein Clifford-Torus ist eine Minimalfläche bzgl. der Standard-Metrik auf der $S^{3}$. Die von Brendle bewiesene Lawson-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in die $S^{3}$ eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

Konstruktion aus einem Quadrat oder Würfel

Konstruktion zweidimensionaler Tori aus einem Quadrat oder Parallelogramm

Den Torus erhält man aus einem Quadrat durch Verkleben gegenüberliegender Seiten.

Eigenschaften des 3-Torus

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrats mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. (Diese Konstruktion funktioniert auch mit einem beliebigen Parallelogramm.) Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Asteroids oder Pacman: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Konstruktion höherdimensionaler Tori aus einem Würfel oder Parallelepiped

Beim dreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim vierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen acht gegenüberliegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der $n$-dimensionale Torus ein $n$-dimensionaler Würfel $[0,1]^{n}$, dessen gegenüberliegende $(n-1)$-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ darstellen.

Auch hier kann man statt eines $n$-dimensionalen Würfels ein beliebiges $n$-dimensionales Parallelepiped verwenden, um durch Identifizieren der Seiten einen $n$-dimensionalen Torus zu konstruieren.

Algebraischer Torus

In der Theorie algebraischer Gruppen wird der Begriff Torus in einem anderen Sinn verwendet. Man bezeichnet dort eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist, als Torus. Zur Abgrenzung spricht man dann von einem algebraischen Torus im Gegensatz zu einem topologischen Torus.

So bezeichnet zum Beispiel in der torischen Geometrie, dem Studium torischer Varietäten, der Begriff Torus üblicherweise einen algebraischen Torus.

Siehe auch

• Punktierter Torus
• Torusknoten
• Stanford-Torus
• Torus-Antenne
• Spindeltorus
• Dupinsche Zyklide

Literatur

• Marcel Berger: Geometry I. Translated from the 1977 French original by M. Cole and S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2009. ISBN 978-3-540-11658-5.
• Anatole Katok, Vaughn Climenhaga: Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them. Student Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, PA, 2008. ISBN 978-0-8218-4679-7.

Weblinks

Wiktionary: Torus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Torus – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Torus. In: MathWorld (englisch).
• Mathcurve: Torus
• Mathematische Basteleien: Torus