MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 6

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
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THEORIE

Klassen

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${3^{-5}}\cdot {3^{6}}$
${b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}$

Antwort

$\ 3\qquad$
$\ b^{-7t}\qquad$

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Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

${\frac {b^{-3}}{b^{-5}}}$
${\frac {w^{-b}}{w^{-12}}}$

Antwort

$\ b^{2}\qquad$
$\ w^{12-b}$

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Potenzen Erklärung

Warum ist $\textstyle \ s^{-1}={\frac {1}{s}}$ ?

Antwort

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Potenzen mit negativer Hochzahl

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf!

$\ \ {\frac {3}{r^{2r-4}}}=\quad$
$\ \ {\frac {11\ b^{4-5w}}{b^{3w}}}=\quad$
$\ \ 5\cdot {\frac {1}{5^{z}}}=\quad$

Antwort

$\ 3\cdot r^{4-2r}\qquad$
$\ 11\cdot b^{4-8w}\qquad$
$\ 5^{1-z}\qquad$

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Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

Vereinfachen Sie!

${\left(m^{50 \over 3}\right)}^{9 \over 10}$
${\sqrt[{15}]{u^{-6}}}^{\ 5}$
$\left(\left(m^{5 \over 4}\right)^{6}\cdot {\sqrt[{11}]{m^{6}}}\cdot m^{-8}\right)^{33}$
${\dfrac {\sqrt[{4}]{{\Bigl (}k^{7 \over 3}{\Bigr )}^{12}}}{k^{4} \over k^{-3}}}$

Antwort

$m^{15}$
$u^{-2}\left(={\frac {1}{u^{2}}}\right)$
$b^{\frac {3}{2}}\left(={\sqrt {m^{3}}}\right)$
$1$

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Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!

$\ c+5347=2744\qquad$
$\ {\tfrac {k}{7}}=13\qquad$
$\ 6f=168\qquad$

$\ x-592=-5426\qquad$
$\ 58m=986\qquad$
$\ 51w=900\qquad$

Antwort

$c=-2603\qquad$
$k=91\qquad$
$f=28$

$x=-4834\qquad$
$\textstyle m={\tfrac {493}{29}}=17\qquad$
$w=17{\tfrac {11}{17}}\approx 17{,}65$

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Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um!

$7(3z+2)=9z-10$

Antwort

z=-2

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Komplexe Umformungen

${\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-{\frac {t-s}{w-z}}=2,2$
Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, k_B, c_L um!

Antwort

$\quad z=w-{\frac {(t-s)\cdot {2\cdot k_{B}\cdot T}}{{\sqrt {p}}\cdot {2\cdot k_{B}\cdot T}+c_{L}\cdot {m\cdot v^{2}}-4{,}4\cdot {k_{B}\cdot T}}}$
$\quad m=\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{c_{L}\cdot v^{2}}}$
$\quad v={\sqrt {\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{c_{L}\cdot m}}\ \ }}$
$\quad {T}={\frac {w-z}{\left(2,2\cdot (w-z)-{\sqrt {p}}\cdot (w-z)+{t-s}\right)}}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}}{v^{2}\cdot c_{L}\cdot m}}$
$\quad p=\left(2,2-c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}+{\frac {t-s}{w-z}}\ \right)^{2}$
$\quad {t}=\left({\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-2,2\right)\cdot {w-z}+s$
$\quad {s}=t-\left({\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-2,2\right)\cdot {w-z}$
$\quad {k_{B}}={\frac {w-z}{\left(2,2\cdot (w-z)-{\sqrt {p}}\cdot (w-z)+{t-s}\right)}}\cdot {\frac {2\cdot T}{v^{2}\cdot c_{L}\cdot m}}$
$\quad c_{L}=\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}$

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Exponentialfunktion und Logarithmus

Wie viel ist die gesuchte Variable in den folgenden Aufgaben?

$e^{\lambda }={\frac {1}{2}}\quad$
$\ln m=-3\quad$
${\text{log}}_{3}v=0\quad$
$7^{\alpha }=3^{3}$
$3^{8}=e^{4\lambda }$

Antwort

$\lambda =\ln 0{,}5\approx -0{,}693\quad$
$m=e^{-3}=0{,}0498\quad$
$v=3^{0}=1\quad$
$\alpha =\log _{7}27=1{,}694$
$\lambda =\ln 9\approx 2{,}19$

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Arbeiten mit Logarithmen

Zerlegen Sie folgenden Ausdruck unter
Verwendung der Logarithmusregeln in den
möglichst einfachsten Logarithmanden.
$\ln \left(e^{e}{\frac {b^{c}}{b+m}}\right)^{\sqrt {2}}$
Fassen Sie folgenden Ausdruck unter
Verwendung der Logarithmusregeln in
einen Logarithmanden.
$4-d\log _{v}6+4\log _{v}e$

Antwort

$\ {\sqrt {2}}(e+c\ln b-\ln(b+m))\qquad$
$\ \log _{v}{\tfrac {v^{4}e^{4}}{6^{d}}}$

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Folgen

Die Größe vier Geschwister stellt eine geometrische Folge dar.
Vom kleinsten aus heißen sie Andi, Lisa, Tom und Aria.
Aria ist $182\ cm$ groß, Tom 5% kleiner.

Wie viel Prozent größer als Tom ist Aria?
Wie viel Prozent kleiner als Tom ist Lisa?
Wie groß ist Andi?

Antwort

$\approx 5{,}26\%$
$5\%$
$\approx 156\ cm$

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Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Drei verschiedene Schulen (Alpha, Sigma und Omega) machen eine Exkursion nach London. Wenn wir aus der Summe der Fünffachen der Personen aus Sigma und des Doppelten aus Omega die Personen aus Alpha subtrahieren, dann wäre das Ergebnis 700 (Personen). Sigma fliegt und stoßt damit 450 kg CO₂ für 200€ pro Person aus, Alpha fährt mit dem Zug und stoßt damit 40 kg CO₂ für 300€ pro Person aus und Omega fährt mit dem Bus und stoßt damit 36 kg CO₂ für 240€ pro Person aus. Für alle Schulen zusammengerechnet sind die Kosten 120 Tausend € und der CO₂ Ausstoß 67,4 t. Wie viele Personen aus jeder Schule fahren?

Antwort

$\alpha :\ 200\$ Personen, $\sigma :\ 120\$ Personen, $\omega :\ 150\$ Personen

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Polynomfunktionen Diagramm

In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den
Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl
ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den
verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der
Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und
wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts!

A
B
C

D
E
F

G
H
I

Antwort

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Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt),
drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x)
(zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach
unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x)
(Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach
oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab:

Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion.
Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion.
Die Lösungen der Gleischungssysteme,
die aus folgenden Funktionen bestehen:

i) h und f

\quad

ii) g und d

\quad

iii) c und f

iv)e und h

\quad

v) g und f

\quad

vi) c und d

Antwort

f:{1,6}, h:{6}, g:{−2,6; 2,2; 4,5}, e:{}, c:{1,1; 6}, d{−2,2; 6}.
f:{2,5}, g:{2,5}, h:{−4}, e:{0,6}, c:{2}, d{1,2}.
i) {(3|−2)}
ii) {(−2,6|−0,5), (1,2|1,6), (4,6|0,8)}
iii) {(3|−2), (−1|4)} $\qquad$ iv){}
v) {(0|2,5), (3|−2), (3,6|−3)}
vi) {(0,3|1,4), (6|0)}

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Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen
$g(x)={\frac {14-3x}{7}}$ $\quad f(x)={\sqrt {5}}-\pi x\quad$ $q(x)=-0{,}0625x^{2}+1$
$p(x)=5x^{2}-2{,}5x\quad \ h(x)=-3x^{2}+3x-2$

Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion!
Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab!
Finden Sie, ob der Punkt P:(1| ${\sqrt {5}}-\pi$ )

zu mancher der Funktionen gehört!

Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab!
Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme

i) g und f, ii) h und q, iii) p und g

Antwort

g:{ $\textstyle {\frac {108}{3}}$ }, f:{ ${\tfrac {\sqrt {5}}{\pi }}$ }, q{0; 1,6}, p:{±0,75}, h:{}.
g:{2}, f:{ ${\sqrt {5}}$ }, q:{1}, p:{0}, h{−2}.
ja nur für f
g: s= $\textstyle -{\frac {3}{7}}$ $\ \ \$ f: s= $-\pi$
i) { $\textstyle \left({\frac {7({\sqrt {5}}-2)}{7\pi -3}}|{\frac {14\pi -3{\sqrt {5}}}{7\pi -3}}\right)$ } $\qquad$ ii) { }
iii) { $\textstyle \left({\frac {{\sqrt {8681}}+29}{140}}{\big |}{\frac {1873-3{\sqrt {8681}}}{980}}\right)$ , $\textstyle \ \left({\frac {-{\sqrt {8681}}+29}{140}}{\big |}{\frac {1873+3{\sqrt {8681}}}{980}}\right)$ } $\qquad$

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Funktionserkennung in Diagramm

Welches der folgenden Diagrammen stellt was dar?

A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades
C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades
E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion
G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion,
K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L) $\textstyle {\frac {a}{x}}$
M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar

1
2
3

4
5
6

7
8
9

10
11
12

13
14
15

Antwort

1 → G, 2 → E, 3→ D, 4 → B H
5 → F,6 → B H, 7 → K M N, 8 → A
9 → C, 10 → B H, 11 → L, 12 → A
13 → M, 14 → K, 15 → C D N

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Funktionsdiagramme Eigenschaften erkennen

Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und
beantworten Sie die entsprechende Frage!

Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm?
Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen?
$ax^{2}+bx+c\$ $ax^{2}+bx+c\$ ist die quadratische Funktion.
- Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
$ae^{b\ x}\$ ist die exponentielle Funktion.
${\frac {a}{x}}\$ ist die indirekte Proportionalität.
Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen
Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte
Proportionalität steigend bzw. fallend?
Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
ihre Umkehrfunktion?
Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt
in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion f^s(x)?

Antwort

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Funktionserkennung in Text

Im Folgenden finden wir verschiedene Diagramme, Formel und Namen von Funktionen als auch Textaufgaben darüber. Welche sind die richtigen Kombinationen für jede Textaufgabe? Mit Hilfe der Textaufgaben finden Sie die Werte der Parameter a und b in der dem Text entsprechenden Formel.
Texte TA (Text A) Fanny will feststellen, ob ihre Katze einen freien Fall überlebt und lässt sie aus einem 8 m hohen Turm mit einer 3 m/s² festen Beschleunigung Fallen. TB (Text B) Die Bevölkerung in Deutschland ist ca. 82 Millionen und wird jede Jahrzehnte um 2,3% weniger. TC (Text C) Bei der Schwingung einer Feder ist die maximale Ablenkung 3 cm, eine vollständige Wiederholung braucht 350 ms.	TD (Text D) Ein Baum ist 3,5 m groß und wächst pro Woche um 5 cm. TE (Text E) Eine 1,8 dm große Kerze schmilzt jede Stunde um 3 cm. TF (Text F) Wenn wir auf einen Nagel eine Kraft ausüben, ist der Druck desto größer, je kleiner die Fläche A an der Spitze des Nagels ist aber je größer die Kraft F ist. (Hier a und b durch entsprechende Symbole ersetzten) TG (Text G) Ein Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde. Am Anfang gibt es 5 Bakterien.
Diagramme DA (Diagramm A) DB (Diagramm B) DC (Diagramm C) DD (Diagramm D) DE (Diagramm E) DF (Diagramm F)	DG (Diagramm G) DH (Diagramm H) DI (Diagramm I) Funktionsnamen NA: (Name A) lineare, NB:(Name B) quadratische, NC: (Name C) exponentielle, ND: (Name D) logarithmische, NE: (Name E) Potenzfunktion 3. Grades, NF: (Name F) Sinusfunktion, NG: (Name G) Wurzelfunktion, NH:(Name H) indirekte Proportionalität. Formeln FA: (Formel A) $\ y=a\ x+b\quad$ FB: (Formel B) $\ y=a\ e^{b\ x}\quad$ FC: (Formel C) $\ y=a\tan b\ x\quad$ FD: (Formel D) $\textstyle \ y={\frac {a}{b}}\quad$ FE: (Formel E) $\ \textstyle \ y=a\sin {\frac {1}{2\pi b}}x\quad$ FF: (Formel F) $\ y=a\ x^{2}+b\quad$ FG: (Formel G) $\ y=a\ x^{3{,}2}+b\quad$

Antwort

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Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Finden Sie die Umkehrfunktion:

$\ n(y)=\tan({{\sqrt[{5}]{y}}-5\ })\ +\pi$

Antwort

y(n)=({\arctan(n-\pi )+5})^{5}

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Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten
Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!

Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
e=5 cm und m=1 dm sind?

Antwort

\sin \varepsilon ={\frac {e}{m}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \varepsilon ={\frac {f}{m}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \varepsilon ={\frac {e}{f}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}

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Trigonometrische Umkehrfunktionen

\textstyle {\frac {77}{85}}

Wie viel ist der Kosinus?
Wie groß ist der Winkel?
Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen
Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels
mit Sinus $\textstyle {\frac {77}{85}}\$ 11 cm ist?

Schreiben Sie eine Formel für den Winkel $\phi$ in Bezug auf die Seiten m und e auf! Wie groß ist der Winkel $\phi$ im Bild, wenn m=37 cm und e=300 mm sind?
Die Steigung eines Winkels ist 20%. Wie groß ist der Winkel?

Antwort

$\cos ={\frac {36}{85}}$
$\theta \approx 64{,}94^{\circ }$
${\tfrac {85}{7}}\approx 12{,}14\ cm$
$\phi =\arccos \left({\tfrac {e}{m}}\right)\approx 35{,}82^{\circ }$
$ca.\ 11{,}31^{\circ }$

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Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen
Funktionen in einem allgemeinen Dreieck! $\quad {\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}$

Antwort

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Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 119 vm,
die größere 1,2 m. Wie viel genau ist der Tangens, der Sinus und der
Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie
viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie
groß der andere Winkel?

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {11{,}9}{12}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {119}{169}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {120}{169}}

\alpha \approx 44{,}76^{\circ }\quad \beta \approx 45{,}24^{\circ }

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Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren

i) Sinus

-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}

ist.

\quad

ii) Kosinus

{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}

ist.

Antwort

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Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a) $\ 7\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {7\pi }{6}}\ rad$ , C) $\ 1{,}5\ rad$ , D) $\ {\frac {7}{9\pi }}\ rad$ , E) $\ 420\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 15^{\circ }$ , B) $\ 0{,}8^{\circ }$ , C) $\ 7\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 560^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 90^{\circ }$ , B) $\ 180^{\circ }$ , C) $\ 1\ rad$ , D) $\ 7{,}6\ rad$ , E) $\ 730^{\circ }$

Antwort

A) $\ 1260^{\circ },\quad$ B) $\ 210^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 85{,}9^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 14{,}2^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 24100^{\circ }\quad$
A) $\ {\tfrac {\pi }{12}}\ rad,\quad$ B) $\ \ {\tfrac {\pi }{225}}rad,\quad$ C) $\ {\tfrac {7\pi ^{2}}{360}}\ rad,\quad$ D) $\ {\tfrac {43}{252}}\ rad,\quad$ E) ${\tfrac {14\pi }{9}}\ rad\quad$
A) 1.Q $\quad$ B) zwischen 2. und 3. Q $\quad$ C) 1.Q $\quad$ D) 1.Q aber mehr als Halbkreis! $\quad$ E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

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Baumdiagramm

In einer Urne gibt es 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig
jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

alle 3 Kugel rot sind?
alle 3 Kugel schwarz sind?
die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?

Antwort

$\ {\frac {7}{33}}\quad$
$\ {\frac {4}{165}}\quad$
$\ {\frac {14}{165}}\quad$
$\ {\frac {14}{55}}\quad$
$\ {\frac {28}{55}}\quad$
$\ {\frac {588}{1331}}\quad$
$\ {\frac {64}{1331}}\quad$

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Satz von Bayes konkretes Beispiel

In einem Studentenheim wohnen 35 Studenten und 48 Studentinnen. 80% der Studenten und ein Drittel der Studentinnen fahren zum Lebensmittel-Einkauf mit dem Auto, der Rest mit dem Fahrrad oder zu Fuss. Eine Person aus dem Heim fährt gerade zum Einkauf mit dem Auto. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist?

Antwort

${\frac {4}{11}}=36{,}{\overline {36}}\%$

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Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Nach den optimistischsten Voraussagen über die Menschen-verursachte Erderwärmung, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur bis 2050 „nur“höchstens 1,5°C steigt, 18%. Wenn wir allerdings keine Massnahmen treffen, ist sie nur 5%. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solche Massnahmen treffen, wenn wir die politische Situation^[1] und das Benehmen der Erdbevölkerung^[2] in Anbetracht nehmen, liegt bei 24% ^[3]. Nehmen wir an, wir leben schon im Jahr 2050 und die Temperaturerhöhung ist tatsächlich weniger als 1,5°C geblieben. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, das dies geschehen ist, obwohl wir keine Massnahmen getroffen haben?

↑ mit der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen
↑ mit dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau
↑ das ist jetzt nur eine Vermutung

Antwort

$\ 21{,}{\dot {1}}\%$

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BILDERVERZEICHNIS

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\quad

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[1] t der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen

[2] t dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau

[3] s ist jetzt nur eine Vermutung

[1]

[2]

[3]