Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·

Einleitung

In der Literatur zur heisenbergschen Unschärferelation findet man eine Reihe unterschiedlicher Interpretationen und Deutungsversuche. Wie man feststellen muss, ist zweifelhaft, ob jemals eine einheitliche Auffassung gefunden wird. Zu dieser Schlussfolgerung wird man nicht zuletzt deswegen gedrängt, weil selbst die "Großväter" der Quantenphysik sehr unterschiedliche Sichten auf die Unschärferelation hatten.

Es steht daher die Frage im Raum, ob man die mit der Unschärferelation zusammenhängenden Deutungsprobleme nicht zumindest abmildern kann. Einen Ansatz dazu lässt sich nach meinem Dafürhalten in der Herleitung der Unschärferelation gemäß John von Neumann finden.

Hier fällt nämlich auf, dass man die zugehörige heisenbergsche Vertauschungsrelation

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

abschwächen kann, ohne im Ergebnis die Unschärferelation zu gefährden.

Diese Abschwächung besteht darin vorauszusetzen, dass der Operator

$\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]$

anstelle der Vertauschungsrelation der schwächeren Bedingung

$\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\geq {\frac {h}{2\pi }}\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

genügen möge.

Eine solche Bedingung ist prinzipiell nichts Neues. Man kennt sie in ähnlicher Form aus der Theorie der linearen Operatoren auf Hilberträumen und auch aus der Analysis und Funktionalanalysis bei den (nach unten) halbbeschränkten Operatoren.

Was diese abgeschwächte Bedingung besagt, lässt sich auch so darstellen:

Es soll für jedes $\psi$ des Definitionsbereichs dieses Operators (bei sonst gleichen Voraussetzungen) durchweg

(1) $\langle \mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle \in \mathbb {R}$

(2) $\langle \mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle \geq {\frac {h}{2\pi }}\cdot {\|\psi \|}^{2}$

als gegeben angenommen werden.

Der Beweis auf Basis dieser Voraussetzung verläuft dabei analog dem bei von Neumann.

Exakte Herleitung auf Basis der abgeschwächten Bedingung

Als gegeben werden angenommen:

1) Ein Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ mit dem Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und der dazugehörigen Norm $\|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}$ und mit $\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$ als Identitätsoperator auf ${\mathcal {H}}$

sowie

2) Zwei in ${\mathcal {H}}$ definierte selbstadjungierte lineare Operatoren ${\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}$ und ${\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}$ mit der Eigenschaft

$\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\geq C\cdot \mathbf {1} _{\mathcal {H}}$ mit $C={\frac {h}{2\pi }}$

und

3) Ein $\psi \in {\;{\bigl (}D({\hat {A}})\cap D({\hat {B}})\cap {\hat {A}}^{-1}(D({\hat {B}}))\cap {\hat {B}}^{-1}(D({\hat {A}})){\bigr )}\;}\subseteq {\mathcal {H}}$ der Norm $\|\psi \|=1$

Davon ausgehend lassen sich die folgenden Rechenschritte durchführen:

Schritt 1

Es ist:

$\operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}$

Also gilt:

${\begin{aligned}2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }&=-{\mathrm {i} }\cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-{\mathrm {i} }\cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \\\\&=\langle (\mathrm {i} \cdot ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ),\psi \rangle =\langle (\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}])\psi ,\psi \rangle \geq C\cdot {\|\psi \|}^{2}\end{aligned}}$

Das bedeutet:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{C}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |$

Also folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|$

Schritt 2

Sind nun $r,s\in \mathbb {C}$ zwei beliebige Skalare, so gilt - wie man leicht nachrechnet - die oben angenommene Halbbeschränktheitsbedingung in gleicher Weise auch für ${\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$ und ${\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$.

Folglich hat man stets ganz allgemein:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|$

Schritt 3

Infolge des Schrittes 2 erhält man für $\|\psi \|=1$, $r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle$ und $s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle$ stets

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {C}{2}}\cdot$

Schritt 4

Wegen $C={\frac {h}{2\pi }}$ gewinnt man nun sofort die heisenbergsche Unschärferelation:

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot$

Benutzte Quellen

• Walter Greiner: Quantenmechanik. 6. überarb. und erw. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Zürich [u. a.] 2005, ISBN 978-3-8171-1765-9. 
• Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932. Kapitel III „Die quantenmechanische Statistik.“ Abschnitt 4 „Unbestimmheitsrelationen“. 38, Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8, S. 123-124.  MR0223138
• Hans Triebel: Höhere Analysis. 8., aktualisierte Auflage. 76, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972. 

Wikipedia-Verweis

• Heisenbergsche Unschärferelation