Beweisarchiv: Analysis
- Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
- Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
- Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Integralrechnung: Gaußsches Integral
- Konvexität und Stetigkeit
Wir zeigen, dass die Funktion
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42badf84d365415ad1ec6585ad7dab2989595296)
eine glatte Funktion auf den reellen Zahlen ist, deren Taylor-Reihe an der Stelle 0 Konvergenzradius Null hat das heißt, f ist nicht analytisch.
Wir beginnen mit der geometrischen Reihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb985aa01a7662667a53f31b2a0f81231ed290ae)
und setzen für
nun
ein:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}={\frac {1}{1+x^{2}}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7d705146c56383bf721510bdc00ba17578c904)
Dies ist eine Potenzreihendarstellung der Funktion
![{\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a77b41f9297d66453feb511d72529a2cd26beeb)
in der Umgebung der Null. Folglich ist die Funktion
an der Stelle Null analytisch und die Taylor-Reihe stimmt mit der gegebenen Reihe überein, d.h.
![{\displaystyle {\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}}=(-1)^{k}\quad {\hbox{ und }}\quad {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f5c9f1d28c9079d095024c58bf7cf15d384f26)
Diese Hilfsfunktion
verwenden wir nun, um die Definition der eigentlichen Funktion
umzuschreiben:
![{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }h(t^{1/2}\cdot x)e^{-t}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237064dec37138e5a3b636c26226a31b2db36986)
Da die Funktion h beschränkt ist, folgt sofort die Existenz des uneigentlichen Integrals, d.h. die Funktion f ist schoneinmal sinnvoll definiert. Die Stetigkeit des Integrals folgt nun wahlweise aus dem Satz über parameterabhängige Interale oder aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz von Lebesgue.
Mit ähnlichen Argumenten und einem Induktionsargument zeigt man nun, dass f beliebig oft differenzierbar ist und die n-te Ableitung gegeben ist durch die Formel:
![{\displaystyle f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }h^{(n)}(t^{1/2}\cdot x)\cdot t^{n/2}\cdot e^{-t}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e1a63f8520a7e7351e02f0387e0ce802fde9ce)
Nun können wir den n-ten Taylorkoeffizienten von f bestimmen. Sei zuerst n gerade, d.h. n=2k:
![{\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}={\frac {1}{(2k)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{2k/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}} _{=(-1)^{k}}\cdot t^{k}\cdot e^{-t}dt=(-1)^{k}\underbrace {\int _{0}^{\infty }t^{k}\cdot e^{-t}dt} _{=k!}=(-1)^{k}\cdot k!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b5ed79240f7057545651d9bccc25648f95e93c)
Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass
. Diese Formel erhält man durch k-faches Anwenden der Formel der Partiellen Integration.
Sei nun n ungerade, d.h. n=2k+1:
![{\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}={\frac {1}{(2k+1)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k+1)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{(2k+1)/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}} _{=0}\cdot t^{k+1/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }0dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171392cef572b1f7913ca5ef66eaaa3f6d10e302)
Somit wird die Taylor-Reihe von f zu
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}x^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee38c5fc5456e3b55cdd860d286f967254afb7a1)
Diese Reihe ist für alle
divergent, wie man sofort mit dem Quotientenkriterium sieht:
![{\displaystyle \left|{\frac {(-1)^{(k+1)}\cdot (k+1)!\cdot x^{2(k+1)}}{(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}}}\right|=\left|(-1)\cdot (k+1)\cdot x^{2}\right|=(k+1)\underbrace {|x|^{2}} _{>0}\to +\infty >1{\hbox{ für }}k\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f99358fa508288bfb1aa1fa0f8df508c0276b8b)
Also ist die Taylor-Reihe für alle x außer 0 divergent, was bedeutet, dass die Reihe Konvergenzradius 0 hat.
Insbesondere konvergiert die Reihe also in keiner Umgebung gegen die Funktion und diese ist insbesondere nicht analytisch. Das war zu zeigen.