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- El grup de simetria d'un objecte (imatge, senyal, etcètera) és el grup de totes les isometries sota les quals és invariant amb l'operació de composició de funcions. És un subgrup del de l'espai en qüestió. Si no es diu el contrari, en l'article es consideraran els grups de simetria en la geometria euclidiana, però el concepte també es pot estudiar en contexts més amplis; vegeu més avall. Els "objectes" poden ser figures geomètriques, imatges i patrons repetitius, com ara els . La definició es pot fer més precisa especificant què és el que s'entén per imatge o dibuix; per exemple, una funció de posició amb valors en un conjunt de colors. Per a la simetria d'objectes físics, també es pot voler tenir en compte la composició física. El grup d'isometries de l'espai dona lloc a una acció de grup sobre els objectes de l'espai. Un grup de simetria també s'anomena a vegades grup de simetria complet per emfatitzar que inclou les isometries que inverteixen l'orientació (com reflexions, i rotacions impròpies) sota les quals la figura queda invariable. El subgrup de les isometries que conserven l'orientació (és a dir, translacions, rotacions, i composicions d'aquests) s'anomena grup de simetria propi. El grup de simetria propi d'un objecte és igual al seu grup de simetria complet si i només si l'objecte és quiral (i per tant no hi ha cap isometria que inverteixi l'orientació sota la qual l'objecte sigui invariable). Tot grup de simetria tal que els seus elements tenen un punt fix comú (que es compleix per a tots els grups de simetria finits i també per als grups de simetria de figures afitades) es pot representar com a subgrup del grup ortogonal O(n) escollint l'origen de forma que sigui el punt fix. Llavors, el grup de simetria propi és un subgrup del grup ortogonal especial SO(n), i per això també s'anomena grup de rotació de la figura. Els són de tres tipus: (1) finits, que inclouen només les rotacions, les reflexions, les inversions i les roto-inversions - són de fet només els subgrups finits de O(n), (2) infinits, que inclouen només les translacions, i (3) grups espacials infinits, els elements dels quals combinen els dos tipus precedents, i també poden incloure transformacions extres. Hi ha també grups de simetria continus, que contenen rotacions d'angles arbitràriament petits o translacions de distàncies arbitràriament petites. El grup de totes les simetries d'una esfera O(3) és un exemple d'aquest tipus, i en general aquests grups de s'estudien com grups de Lie. A una li correspon una categorització dels grups de simetria. Es considera que dues figures geomètriques tenen el mateix tipus de simetria si els seus grups de simetria són subgrups conjugats del E(n) (el grup d'isometries de Rn), on dos subgrups H1, H₂ d'un grup G són conjugats si existeix g ∈ G tal que H1=g-1H₂g. Per exemple:
* Dues figures 3D que tinguin simetria especular però respecte de diferents plans especulars.
* Dues figures 3D que tinguin simetria rotacional d'ordre 3 però respecte d'eixos de rotació diferents.
* Patrons 2D amb simetria de translació, cadascun en una direcció; els dos vectors de translació tenen la mateixa longitud, però cadascun una direcció diferent. En estudiar els grups d'isometria, es pot restringir a aquells on per a tots els punts el conjunt d'imatges sota les isometries són tancades topològicament. Això exclou per exemple en 1D el grup de translacions d'una distància igual a un nombre racional. Amb aquest grup de simetria és impossible dissenyar una "figura" que sigui homogènia amb un nivell de detall arbitràriament fi, sense que sigui realment homogènia. (ca)
- Grupa symetrií (anglicky symmetry group) geometrického objektu v teorii grup je grupa všech transformací, při nichž se objekt nemění (je invariantem), přičemž grupovou operací je skládání zobrazení. Taková transformace je invertovatelným zobrazením , které zobrazuje objekt na sebe sama, a které zachovává veškeré relevantní struktury objektu. Grupu všech symetrií objektu X obvykle značíme Sym(X). Pro objekt v metrickém prostoru tvoří grupa jeho symetrií podgrupu grupy izometrií okolního prostoru. Tento článek se zabývá především grupami symetrií v Eukleidovské geometrii, ale tento koncept lze rozšířit na obecnější typy geometrických struktur. (cs)
- في الجبر التجريدي، زمرة التناظر أو زمرة التماثل (بالإنجليزية: Symmetry group) لكائن ما (صورة أو إشارة وما إلى ذلك) هي زمرة جميع مساويات القياس اللائي يحافظن على الكائن المعين، مع كون العملية التي تعرف هاته الزمرة هي عملية تركيب الدوال. (ar)
- Η ομάδα συμμετρίας ενός αντικειμένου (εικόνας, σήματος, κ.τ.λ.), στην αφηρημένη άλγεβρα, είναι η ομάδα των για τους οποίους το αντικείμενο είναι με πράξη τη σύνθεση. Είναι μια της του χώρου αναφοράς. Όπως διατυπώθηκε ως τώρα, η αναφερόμενη έννοια αφορά στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά στην πραγματικότητα η έννοια μπορεί επίσης να μελετηθεί σε ευρύτερα πλαίσια. (el)
- La geometria simetria grupo de objekto (bildo ktp en 1, 2, 3 ktp dimensioj) estas la grupo de ĉiuj izometrioj sub kiu ĝi estas invarianto kun komponaĵo kiel la operacio. Ĝi estas subgrupo de la izometria grupo de la koncernita spaco. (Se ne estas skribita alia, oni konsideru simetriajn grupojn en eŭklida geometrio ĉi tie, sed la koncepto povas ankaŭ esti studita en pli larĝaj ĉirkaŭtekstoj.) (eo)
- El grupo de simetría es un grupo de operaciones o transformaciones geométricas que deja invariante cierta entidad geométrica o entidad física. El concepto es importante tanto en geometría, como en mecánica lagrangiana y teoría cuántica de campos. (es)
- In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation. Die Grafik zeigt sechs zweidimensionale symmetrische Objekte, und zwar vier homogene reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren, wobei jeweils alle ihre Symmetrieelemente gekennzeichnet worden sind. Die Symmetrieelemente sind Eigenschaften der Figuren. Die Gesamtheit der Symmetrieelemente einer Figur bildet ihre spezielle Symmetriegruppe. (de)
- Simetria-taldea eragiketen edo transformazio geometrikoen talde bat da, ezaugarri geometriko edo fisiko jakin bat aldatzen ez duten transformazioen taldea, hain zuzen ere. Kontzeptua garrantzitsua da bai Geometrian bai Mekanika lagrangearrean, bai eta Eremu-teoria kuantikoan ere. (eu)
- Le groupe de symétrie d'un objet (image, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir .) Les « objets » peuvent être des figures géométriques, des images et des motifs, tels que les motifs de papier peint. La définition peut être rendue plus précise en précisant ce que l'on entend par image ou motif, par exemple une fonction de position avec des valeurs dans un ensemble de couleurs. Pour la symétrie des corps en 3D, par exemple, on peut aussi vouloir prendre en compte la composition physique. Le groupe des isométries de l'espace induit une action de groupe sur les objets qu'il contient. Le groupe de symétrie est quelquefois appelé le groupe de symétrie complet afin de souligner qu'il inclut les isométries qui renversent l'orientation (comme les réflexions, les réflexions glissées et les rotations impropres) sous lesquelles la figure est invariante. Le sous-groupe des isométries qui conservent l'orientation (i.e. les translations, les rotations et les compositions de celles-ci) et qui laissent la figure invariante est appelé son groupe de symétrie propre. Le groupe de symétrie propre d'un objet est égal à son groupe de symétrie complet si et seulement si l'objet est chiral (et ainsi, il n'existe pas d'isométries renversant l'orientation sous lesquelles il est invariant). Tout groupe de symétrie dont les éléments ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les groupes de symétrie de figures bornées, peut être représenté comme un sous-groupe du groupe orthogonal O(n) en choisissant comme origine un point fixe. Le groupe de symétrie propre est alors un sous-groupe du groupe spécial orthogonal SO(n), c'est pourquoi il est aussi appelé le groupe de rotation de la figure. Les groupes de symétrie discrets sont de trois sortes :
* les groupes ponctuels de symétrie finis, qui incluent seulement des rotations, des réflexions, des inversions et des rotations impropres - ce sont en fait simplement des sous-groupes finis de O(n) ;
* les groupes réseaux infinis, qui incluent seulement des translations ;
* les groupes d'espace infinis qui combinent des éléments des deux types précédents, et qui peuvent aussi inclure des transformations supplémentaires comme des vissages ou des réflexions glissées. Il existe aussi les groupes de (en), qui contiennent des rotations d'angles arbitrairement petits ou des translations de distances arbitrairement petites. Le groupe de toutes les symétries d'une sphère O(3) est un exemple de ceci, et en général, de tels groupes de symétries continues sont étudiés comme des groupes de Lie. À la classification des sous-groupes du groupe euclidien correspond une classification des groupes de symétrie. On dit que deux figures géométriques ont le même type de symétrie si leurs groupes de symétries respectifs H1, H2 sont des sous-groupes conjugués du groupe euclidien E(n), c'est-à-dire s'il existe une isométrie g de Rn telle que H1=g-1H2g. Par exemple :
* deux figures 3D ont une symétrie miroir, mais par rapport à un plan miroir différent ;
* deux figures 3D ont une symétrie rotationnelle d'ordre 3, mais par rapport à un axe différent ;
* deux motifs 2D ont une symétrie de translation, chacun dans une direction ; les deux vecteurs de translation ont la même longueur mais une direction différente. Quelquefois, un concept plus large, le « même type de symétrie » est utilisé, par exemple dans les 17 groupes de papier peint. Lorsque l'on considère les groupes d'isométrie, on peut se limiter à ceux où pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement fermé. Ceci exclut, par exemple, en dimension 1, le groupe des translations par un nombre rationnel. Une « figure » ayant ce groupe de symétrie est impossible à dessiner et homogène à un niveau de détail arbitraire, sans être réellement homogène. (fr)
- In group theory, the symmetry group of a geometric object is the group of all transformations under which the object is invariant, endowed with the group operation of composition. Such a transformation is an invertible mapping of the ambient space which takes the object to itself, and which preserves all the relevant structure of the object. A frequent notation for the symmetry group of an object X is G = Sym(X). For an object in a metric space, its symmetries form a subgroup of the isometry group of the ambient space. This article mainly considers symmetry groups in Euclidean geometry, but the concept may also be studied for more general types of geometric structure. (en)
- Grupa symetrii (figury geometrycznej w przestrzeni euklidesowej) – grupa wszystkich izometrii przekształcających daną figurę na samą siebie z działaniem składania przekształceń. Mimo że elementy tej grupy nie muszą być symetriami (dla figur ograniczonych może to być obrót), a dla – przesunięcie równoległe lub symetria z poślizgiem, nazywane są one mimo to symetriami figury Sens tej nazwy można wyjaśnić następująco: im więcej jest symetrii figury, tym bardziej jest ona symetryczna (inaczej regularna) w naiwnym sensie tego słowa. Figury na płaszczyźnie (lub w przestrzeni większego wymiaru) mogą wyznaczać grupy symetrii będące różnymi grupami izometriicałej płaszczyzny (lub przestrzeni większego wymiaru). Grupy symetrii odgrywają dużą rolę w krystalografii. (pl)
- In de groepentheorie is de symmetriegroep van een object in een, twee of drie dimensies de groep van zijn symmetriën. Een symmetrie is een afbeelding die het object op zichzelf afbeeldt (invariant laat) en daarbij de afstanden behoudt (isometrie). De bewerking in de groep is de samenstelling van afbeeldingen. Als object komen zeer algemeen niet alleen concrete objecten, zoals voorwerpen, gebouwen e.d. in aanmerking, maar ook wiskundige concepten als meetkundige figuren en patronen. Zo bestaat bijvoorbeeld de symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek in het platte vlak uit de identiteit, de draaiingen om het zwaartepunt over 120° en 240°, en de spiegelingen om de hoogtelijnen. De symmetriegroep is een isometriegroep, dus een subgroep van de euclidische groep . Deze moet worden onderscheiden van de abstracte (algebraïsche) groep: verschillende symmetriegroepen kunnen als abstracte groep gelijk zijn. Dit wordt ook aangeduid met het hebben van dezelfde abstracte structuur of dezelfde algebraïsche structuur. Men kan zich een voorstelling maken van een symmetriegroep door de symmetrieën na te gaan van een concrete tweedimensionale figuur of een driedimensionaal object. Soms kan men hetzelfde object gebruiken voor het beschrijven van meerdere symmetrieën, door verschillende beschilderingen van het object te onderscheiden. (nl)
- Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех преобразований, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях. (ru)
- Na teoria dos grupos, o grupo de simetria de um objeto geométrico é o grupo de todas as transformações sob as quais o objeto é invariante, tendo como operação do grupo a composição. Tal transformação é um mapeamento invertível do que leva o objeto em si mesmo e que preserva toda a estrutura relevante do objeto. Uma notação frequente para o grupo de simetrias de um objeto X é G = Sym(X). Para um objeto em um espaço métrico, suas simetrias formam um subgrupo do do espaço ambiente. Este artigo considera principalmente grupos de simetria na geometria euclidiana, mas o conceito também pode ser estudado para tipos mais gerais de estrutura geométrica. (pt)
- 一個物件（如一維、二維或三維中的圖像或信號）的對稱群是指在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。其為所考慮之空間的等距同構群中的一個子群。 （若沒有另外注明，則本文只考慮在歐幾里得空間內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，詳見下文。） 「物件」可以是幾何形狀、圖像及模式，如。其定義能夠以詳述圖像或模式的方式，如將位置附上一組顏色的值的函數，來使其更為精確。對如三維物體的對稱，可能亦會想要考量其物理上可能的組合。空間中等距同構的群可以產生一個作用於此群本身物件上的群作用。 對稱群有時亦稱為全對稱群，以強調其會產生一個圖像不會改變的反轉定位之等距同構（如鏡射、和不純旋轉）。會保留其定位之同距同構（如平移、旋轉和此兩者的組合）的子群則稱為其純對稱群。一物件的純對稱群若等同於其全對稱群，則稱此物件為對掌的（也因此不存在使其不變的反轉之等距同構。) 任何其元素有著相同個不動點的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個正交群O(n)的子群，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。 離散對稱群可以分成三種類型： 1.
* 有限點群，其包含有旋轉、鏡射、反演和不純旋轉，且實際上只是正交群O(n)的子群； 2.
* 無限群，其包括平移； 3.
* 無限空間群，其結合有上述兩種類型的元素，且亦包含有如和等額外的對稱。 另外亦有著包含任意小角度的旋轉或任意小距離的平移之「連續」對稱群。一個球面O(3)的所有對稱所組成的群即是一種連續對稱群，而通常如此類的連續對稱的群是在李群中所研究的對象。對歐幾里得群子群的分類會對應到對稱群的分類。 兩個幾何形狀被認為是有著相同的對稱型，若其對稱群為歐幾里得群E(n)（Rn的等距同構群）的共軛群，其中一個群G的兩個子群H1和H2為共軛的，若存在一G內的元素g能使得H1=g-1H2g。例如：
* 兩個三維圖形有著鏡面對稱，但對應著不同的鏡面。
* 兩個三維圖形有著旋轉對稱，但對應著不同的旋轉軸。
* 兩個二維圖形有著平移對稱，各在各的方面；此兩者有著長度相同但方向不同的平移向量。 有時，「相同對稱型」更廣義的概念會被使用，而可以產生如17個壁紙群之類的類型。 當考慮等距同構群時，可以將其縮限在於等距同構下之圖像的點皆為拓撲閉合的。如此便排除了如一維中以有理數之距離平移所構成的群。一個具有對稱群的「圖像」是不可伸縮的，且即使達到任意詳盡的均勻，亦不會有真正的均勻。 (zh)
- Група симетрії (також група симетрій) деякого об'єкта (багатогранника або множини точок метричного простору) ― група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом, з композицією в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок n-вимірного евклідового простору і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках. (uk)
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- في الجبر التجريدي، زمرة التناظر أو زمرة التماثل (بالإنجليزية: Symmetry group) لكائن ما (صورة أو إشارة وما إلى ذلك) هي زمرة جميع مساويات القياس اللائي يحافظن على الكائن المعين، مع كون العملية التي تعرف هاته الزمرة هي عملية تركيب الدوال. (ar)
- Η ομάδα συμμετρίας ενός αντικειμένου (εικόνας, σήματος, κ.τ.λ.), στην αφηρημένη άλγεβρα, είναι η ομάδα των για τους οποίους το αντικείμενο είναι με πράξη τη σύνθεση. Είναι μια της του χώρου αναφοράς. Όπως διατυπώθηκε ως τώρα, η αναφερόμενη έννοια αφορά στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά στην πραγματικότητα η έννοια μπορεί επίσης να μελετηθεί σε ευρύτερα πλαίσια. (el)
- La geometria simetria grupo de objekto (bildo ktp en 1, 2, 3 ktp dimensioj) estas la grupo de ĉiuj izometrioj sub kiu ĝi estas invarianto kun komponaĵo kiel la operacio. Ĝi estas subgrupo de la izometria grupo de la koncernita spaco. (Se ne estas skribita alia, oni konsideru simetriajn grupojn en eŭklida geometrio ĉi tie, sed la koncepto povas ankaŭ esti studita en pli larĝaj ĉirkaŭtekstoj.) (eo)
- El grupo de simetría es un grupo de operaciones o transformaciones geométricas que deja invariante cierta entidad geométrica o entidad física. El concepto es importante tanto en geometría, como en mecánica lagrangiana y teoría cuántica de campos. (es)
- Simetria-taldea eragiketen edo transformazio geometrikoen talde bat da, ezaugarri geometriko edo fisiko jakin bat aldatzen ez duten transformazioen taldea, hain zuzen ere. Kontzeptua garrantzitsua da bai Geometrian bai Mekanika lagrangearrean, bai eta Eremu-teoria kuantikoan ere. (eu)
- Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех преобразований, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях. (ru)
- Група симетрії (також група симетрій) деякого об'єкта (багатогранника або множини точок метричного простору) ― група всіх рухів, для яких даний об'єкт є інваріантом, з композицією в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок n-вимірного евклідового простору і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках. (uk)
- El grup de simetria d'un objecte (imatge, senyal, etcètera) és el grup de totes les isometries sota les quals és invariant amb l'operació de composició de funcions. És un subgrup del de l'espai en qüestió. Si no es diu el contrari, en l'article es consideraran els grups de simetria en la geometria euclidiana, però el concepte també es pot estudiar en contexts més amplis; vegeu més avall. (ca)
- Grupa symetrií (anglicky symmetry group) geometrického objektu v teorii grup je grupa všech transformací, při nichž se objekt nemění (je invariantem), přičemž grupovou operací je skládání zobrazení. Taková transformace je invertovatelným zobrazením , které zobrazuje objekt na sebe sama, a které zachovává veškeré relevantní struktury objektu. Grupu všech symetrií objektu X obvykle značíme Sym(X). (cs)
- In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation. (de)
- Le groupe de symétrie d'un objet (image, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir .) Les groupes de symétrie discrets sont de trois sortes : (fr)
- In group theory, the symmetry group of a geometric object is the group of all transformations under which the object is invariant, endowed with the group operation of composition. Such a transformation is an invertible mapping of the ambient space which takes the object to itself, and which preserves all the relevant structure of the object. A frequent notation for the symmetry group of an object X is G = Sym(X). (en)
- In de groepentheorie is de symmetriegroep van een object in een, twee of drie dimensies de groep van zijn symmetriën. Een symmetrie is een afbeelding die het object op zichzelf afbeeldt (invariant laat) en daarbij de afstanden behoudt (isometrie). De bewerking in de groep is de samenstelling van afbeeldingen. Als object komen zeer algemeen niet alleen concrete objecten, zoals voorwerpen, gebouwen e.d. in aanmerking, maar ook wiskundige concepten als meetkundige figuren en patronen. (nl)
- Grupa symetrii (figury geometrycznej w przestrzeni euklidesowej) – grupa wszystkich izometrii przekształcających daną figurę na samą siebie z działaniem składania przekształceń. Mimo że elementy tej grupy nie muszą być symetriami (dla figur ograniczonych może to być obrót), a dla – przesunięcie równoległe lub symetria z poślizgiem, nazywane są one mimo to symetriami figury Sens tej nazwy można wyjaśnić następująco: im więcej jest symetrii figury, tym bardziej jest ona symetryczna (inaczej regularna) w naiwnym sensie tego słowa. Grupy symetrii odgrywają dużą rolę w krystalografii. (pl)
- Na teoria dos grupos, o grupo de simetria de um objeto geométrico é o grupo de todas as transformações sob as quais o objeto é invariante, tendo como operação do grupo a composição. Tal transformação é um mapeamento invertível do que leva o objeto em si mesmo e que preserva toda a estrutura relevante do objeto. Uma notação frequente para o grupo de simetrias de um objeto X é G = Sym(X). (pt)
- 一個物件（如一維、二維或三維中的圖像或信號）的對稱群是指在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。其為所考慮之空間的等距同構群中的一個子群。 （若沒有另外注明，則本文只考慮在歐幾里得空間內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，詳見下文。） 「物件」可以是幾何形狀、圖像及模式，如。其定義能夠以詳述圖像或模式的方式，如將位置附上一組顏色的值的函數，來使其更為精確。對如三維物體的對稱，可能亦會想要考量其物理上可能的組合。空間中等距同構的群可以產生一個作用於此群本身物件上的群作用。 對稱群有時亦稱為全對稱群，以強調其會產生一個圖像不會改變的反轉定位之等距同構（如鏡射、和不純旋轉）。會保留其定位之同距同構（如平移、旋轉和此兩者的組合）的子群則稱為其純對稱群。一物件的純對稱群若等同於其全對稱群，則稱此物件為對掌的（也因此不存在使其不變的反轉之等距同構。) 任何其元素有著相同個不動點的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個正交群O(n)的子群，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。 離散對稱群可以分成三種類型： 1.
* 有限點群，其包含有旋轉、鏡射、反演和不純旋轉，且實際上只是正交群O(n)的子群； 2.
* 無限群，其包括平移； 3.
* 無限空間群，其結合有上述兩種類型的元素，且亦包含有如和等額外的對稱。 (zh)
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