| dbo:abstract
|
- El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis. (ca)
- في الرياضيات مثلث باسكال (بالإنجليزية: Pascal's triangle) أو مثلث الخيام (نسبة إلى عمر الخيام) هو منظومة هندسية لمكافئ ثنائي في المثلث. سميت على اسم بليز باسكال على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في الهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا. يتم ترقيم الصفوف في مثلث باسكال بدءًا من الصفر، وغالبًا ما تتوسط الأعداد في الصفوف ذات الأرقام الأعداد الموجودة في الصفوف الزوجية في المكان. يتم إنشاء المثلث ببساطة على النحو التالي: 1.
* في الصف ذو الرقم صفر، اكتب فقط الرقم 2.
* من أجل إنشاء عناصر الصف الثاني، اجمع العدد الموجود في أعلى ويمين العدد إلى العدد الموجود في أعلى ويسار العدد فينتج قيمة العنصر الجديد 3.
* إذا لم يوجد عنصر في أعلى ويمين (أو أعلى ويسار العدد) اجمع صفر إلى العدد الآخر.مع الانتباه للإشارة 4.
* (ar)
- Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku. Jednotlivé položky trojúhelníku se vyplní podle pravidla, kdy každá položka je součtem dvou položek nad ní. Tuto skutečnost představuje rovnice: kde n a k jsou nezáporná celá čísla, n ≥ k a počáteční hodnota je Počítat se začíná nulou (tj. prvním řádkem , první sloupec ). Pokud začnete na okraji s položkami s hodnotou . výsledkem jsou přesně binomické koeficienty. Výpočet vychází z vlastností kombinačního čísla: ; ; ; ; ; atd. Ve velké části západního světa je trojúhelník pojmenován po francouzském matematikovi Blaise Pascalovi, ačkoli ho jiní matematici studovali před staletími v Indii, Persii, Číně, Německu a Itálii. (cs)
- Das Pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten , die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung beschrieben. Dabei kann die Variable als Zeilenindex und als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit Null beginnt (also erste Zeile , erste Spalte ). Beginnt man an den Rändern mit Einträgen mit dem Wert , so ergeben sich dadurch genau die Binomialkoeffizienten. Der Name geht auf Blaise Pascal zurück. Das pascalsche Dreieck war jedoch schon früher bekannt und wird deshalb auch heute noch nach anderen Mathematikern benannt. In China spricht man vom Yang-Hui-Dreieck (nach Yang Hui), in Italien vom Tartaglia-Dreieck (nach Nicolo Tartaglia) und im Iran vom Chayyām-Dreieck (nach Omar Chayyām). (de)
- Στα μαθηματικά, το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μία τριγωνική γεωμετρική διάταξη των δυωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου, παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία. Οι σειρές στο τρίγωνο του Πασκάλ αριθμούνται ξεκινώντας από την γραμμή 0, και οι αριθμοί κάθε σειράς είναι συνήθως σχετικοί με τις διπλανές τους. Μια απλή κατασκευή του τριγώνου γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στην σειρά 0 γράφεται μόνο ο αριθμός 1. Μετά, για την κατασκευή των στοιχείων των ακόλουθων σειρών προστίθεται ο αριθμός που βρίσκεται αμέσως από πάνω και αριστερά με τον αριθμό αμέσως από πάνω και δεξιά. Αν οποιοσδήποτε από τους αριθμούς δεξιά ή αριστερά δεν υπάρχει, υποκαθίσταται με μηδέν. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός της πρώτης γραμμής είναι 0 + 1 = 1, ενώ οι αριθμοί 1 και 3 της τρίτης σειράς προστίθενται ώστε να δώσουν τον αριθμό 4 της τέταρτης σειράς. Αυτή η κατασκευή είναι συγγενική με του δυωνυμικούς συντελεστές μέσω του , σύμφωνα με τον οποίο αν: τότε για οποιοδήποτε μη αρνητικό ακέραιο n και οποιονδήποτε ακέραιο k μεταξύ 0 και n. Το τρίγωνο του Πασκάλ γενικεύεται και σε περισσότερες διαστάσεις. Η τρισδιάστατη εκδοχή αποκαλείται ή Τετράεδρο του Πασκάλ, ενώ η γενική εκδοχή αποκαλείται . (el)
- En matematiko, la triangulo de Pascal estas triangula tabelo de nombroj. En la supra vertico kaj laŭ la flankaj lateroj estas skribitaj unuoj. Ĉiu alia nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi. La triangulo estis nomita honore de Blaise Pascal. La nombroj, el kiuj konsistas la triangulo, sendepende aperas en algebro, kombinatoriko, [probablo-teorio]], infinitezima kalkulo, nombroteorio. (eo)
- Matematikan, Pascalen triangelua edo Tartagliaren triangelua konbinatorian eta binomioen berreketen garapenean erabiltzen diren koefiziente binomialak hiruki moduan antolatu eta era ordenatu batean erakusteko modua da, hau da, kobinazio-zenbakiek osatzen duten triangelu infinitua. Blaise Pascal frantses matematikariaren izena darama, hark sartu baitzuen 1654an, bere Hiruki Aritmetikoaren Tratatuan. Hala ere, nahiz eta lehenago India eta Txinako antzinako zibilizazioetan eta beste munduko zibilizazio batzuetan ezaguna izan, bera izan zen bere erabilera asko garatu zituena eta informazioa era ordenatuan eta bateratuan plazaratu zuena. Txinan, triangelu hau XI. mendetik ezagutzen zuen Jia Xian matematikari txinatarrak (1010 – 1070). XIII. mendean, Yang Huik (1238 – 1298) triangelu aritmetikoa aurkeztu zuen, Pascalen triangeluaren baliokidea, horregatik Txinan Yang Huiren triangelua deitzen zaio. (eu)
- En las matemáticas, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Tratado del triángulo aritmético. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos antes del triángulo de Pascal, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.[cita requerida] (es)
- In mathematics, Pascal's triangle is a triangular array of the binomial coefficients that arises in probability theory, combinatorics, and algebra. In much of the Western world, it is named after the French mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians studied it centuries before him in India, Persia, China, Germany, and Italy. The rows of Pascal's triangle are conventionally enumerated starting with row at the top (the 0th row). The entries in each row are numbered from the left beginning with and are usually staggered relative to the numbers in the adjacent rows. The triangle may be constructed in the following manner: In row 0 (the topmost row), there is a unique nonzero entry 1. Each entry of each subsequent row is constructed by adding the number above and to the left with the number above and to the right, treating blank entries as 0. For example, the initial number in the first (or any other) row is 1 (the sum of 0 and 1), whereas the numbers 1 and 3 in the third row are added to produce the number 4 in the fourth row. (en)
- En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un tableau triangulaire. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse (où il est appelé « triangle de Khayyam »), au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie (où il est appelé « triangle de Tartaglia »). La construction du triangle est régie par la relation de Pascal : pour tous entiers n et k tels que 0 < k < n. Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée pyramide de Pascal ou tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées simplexes de Pascal. (fr)
- Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada dalam sebuah segitiga. Segitiga tersebut dinamai berdasarkan nama matematikawan Blaise Pascal, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Tiongkok, dan Italia. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat. Pembinaan ini terkait dengan koefisien binomial oleh , yang menyatakan bahwa jika adalah koefisien binomial ke-'k dalam pada (x + y)n, di mana n! adalah faktorial n, oleh itu, untuk setiap bilangan bulat bukan negatif n dan mana-mana bilangan bulat k di antara 0 dan n. Segitiga Pascal memiliki pengitlakan dimensi lebih tinggi. Versi tiga-dimensi disebut atau Pascal 's tetrahedron, sedangkan versi umum disebut - ini lihat piramida, tetrahedron dan . (in)
- In matematica, il triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal o Khayyām o ) è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio elevato a una qualsiasi potenza , a forma di triangolo. (it)
- 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도, 페르시아, 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다. 간단히 말하자면, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다. 1.
* 첫 번째 줄에는 1을 쓴다. 2.
* 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다. 파스칼의 법칙을 이용해 이 규칙을 아래와 같이 수학적으로 표현할 수 있다. n 번째 줄의 k 번째 값을 라고 할 때, 으로 정의된다. 이때, (ko)
- Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia Na przykład:
* w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.
* Inaczej: licząc miejsca w wierszu i kolumnie od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa współczynnikowi dwumianowemu, oznaczanemu symbolem Newtona Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala. (pl)
- De driehoek van Pascal is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten in rijen voor toenemende beginnend met en op elke rij de binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van , lopend van tot en met . In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662), die de eerste was die ermee rekende. Het element in rij op de positie is dus: , voor en . De elementen kunnen recursief gedefinieerd worden door: en De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2. De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het hieronder genoemde probleem in de kansrekening bij het dobbelen. Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema: en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: , zodat en de genoemde eigenschap luidt: Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. problème des partis, het probleem van de afgebroken partij (spel). Pascal noemde zijn ontdekking de géometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking. (nl)
- パスカルの三角形（パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。 この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数 に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。 負でない整数 n ≥ k に対して が成り立つ。 (ja)
- Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел. (ru)
- Inom matematiken är Pascals triangel en geometrisk framställning av binomialkoefficienterna i form av en triangel. Den namnges ofta efter matematikern och fysikern Blaise Pascal, men var känd utanför Europa långt före Pascals levnad. Något förenklat är varje rad ett element längre än föregående rad och varje elements värde är summan av elementen ovanför till vänster och höger (om dessa existerar). På så sätt har varje rad en etta i början och slutet. Rad- och kolumnräkningen börjar båda på noll. Således, det fjärde elementet på rad fem beräknas genom att det tredje och fjärde elementet på föregående rad adderas. Triangeln kan ses som en tillämpning av Pascals identitet där och med initialvärdet Således motsvarar första elementet i triangeln binomialkoefficienten och kan alltså refereras till som rad . Talen i mittkolumnen kallas centrala binomialkoefficienter. (sv)
- O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha e representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero. Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como: Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n-1 + tm-1,n, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a prova, (pt)
- Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем. Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4. Правило Паскаля стверджує: якщо k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n. (uk)
- 杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《詳解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： 杨辉三角形第 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 层即第 行，此处 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 展开形式 的系数。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis. (ca)
- En matematiko, la triangulo de Pascal estas triangula tabelo de nombroj. En la supra vertico kaj laŭ la flankaj lateroj estas skribitaj unuoj. Ĉiu alia nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi. La triangulo estis nomita honore de Blaise Pascal. La nombroj, el kiuj konsistas la triangulo, sendepende aperas en algebro, kombinatoriko, [probablo-teorio]], infinitezima kalkulo, nombroteorio. (eo)
- In matematica, il triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal o Khayyām o ) è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio elevato a una qualsiasi potenza , a forma di triangolo. (it)
- 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도, 페르시아, 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다. 간단히 말하자면, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다. 1.
* 첫 번째 줄에는 1을 쓴다. 2.
* 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다. 파스칼의 법칙을 이용해 이 규칙을 아래와 같이 수학적으로 표현할 수 있다. n 번째 줄의 k 번째 값을 라고 할 때, 으로 정의된다. 이때, (ko)
- パスカルの三角形（パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。 この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数 に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。 負でない整数 n ≥ k に対して が成り立つ。 (ja)
- Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел. (ru)
- 杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《詳解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： 杨辉三角形第 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 层即第 行，此处 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 展开形式 的系数。 (zh)
- في الرياضيات مثلث باسكال (بالإنجليزية: Pascal's triangle) أو مثلث الخيام (نسبة إلى عمر الخيام) هو منظومة هندسية لمكافئ ثنائي في المثلث. سميت على اسم بليز باسكال على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في الهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا. يتم ترقيم الصفوف في مثلث باسكال بدءًا من الصفر، وغالبًا ما تتوسط الأعداد في الصفوف ذات الأرقام الأعداد الموجودة في الصفوف الزوجية في المكان. يتم إنشاء المثلث ببساطة على النحو التالي: (ar)
- Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku. Jednotlivé položky trojúhelníku se vyplní podle pravidla, kdy každá položka je součtem dvou položek nad ní. Tuto skutečnost představuje rovnice: kde n a k jsou nezáporná celá čísla, n ≥ k a počáteční hodnota je Počítat se začíná nulou (tj. prvním řádkem , první sloupec ). Pokud začnete na okraji s položkami s hodnotou . výsledkem jsou přesně binomické koeficienty. Výpočet vychází z vlastností kombinačního čísla: ; ; ; ; ; atd. (cs)
- Στα μαθηματικά, το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μία τριγωνική γεωμετρική διάταξη των δυωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου, παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία. Αυτή η κατασκευή είναι συγγενική με του δυωνυμικούς συντελεστές μέσω του , σύμφωνα με τον οποίο αν: τότε για οποιοδήποτε μη αρνητικό ακέραιο n και οποιονδήποτε ακέραιο k μεταξύ 0 και n. (el)
- Das Pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten , die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung beschrieben. Dabei kann die Variable als Zeilenindex und als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit Null beginnt (also erste Zeile , erste Spalte ). Beginnt man an den Rändern mit Einträgen mit dem Wert , so ergeben sich dadurch genau die Binomialkoeffizienten. (de)
- En las matemáticas, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Tratado del triángulo aritmético. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos antes del triángulo de Pascal, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. (es)
- Matematikan, Pascalen triangelua edo Tartagliaren triangelua konbinatorian eta binomioen berreketen garapenean erabiltzen diren koefiziente binomialak hiruki moduan antolatu eta era ordenatu batean erakusteko modua da, hau da, kobinazio-zenbakiek osatzen duten triangelu infinitua. Txinan, triangelu hau XI. mendetik ezagutzen zuen Jia Xian matematikari txinatarrak (1010 – 1070). XIII. mendean, Yang Huik (1238 – 1298) triangelu aritmetikoa aurkeztu zuen, Pascalen triangeluaren baliokidea, horregatik Txinan Yang Huiren triangelua deitzen zaio. (eu)
- In mathematics, Pascal's triangle is a triangular array of the binomial coefficients that arises in probability theory, combinatorics, and algebra. In much of the Western world, it is named after the French mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians studied it centuries before him in India, Persia, China, Germany, and Italy. (en)
- Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada dalam sebuah segitiga. Segitiga tersebut dinamai berdasarkan nama matematikawan Blaise Pascal, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Tiongkok, dan Italia. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempat (in)
- En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un tableau triangulaire. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse (où il est appelé « triangle de Khayyam »), au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie (où il est appelé « triangle de Tartaglia »). pour tous entiers n et k tels que 0 < k < n. (fr)
- Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
* w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.
* Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe (pl)
- De driehoek van Pascal is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten in rijen voor toenemende beginnend met en op elke rij de binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van , lopend van tot en met . In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662), die de eerste was die ermee rekende. Het element in rij op de positie is dus: , voor en . De elementen kunnen recursief gedefinieerd worden door: en en de genoemde eigenschap luidt: (nl)
- O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha e representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero. Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como: (pt)
- Inom matematiken är Pascals triangel en geometrisk framställning av binomialkoefficienterna i form av en triangel. Den namnges ofta efter matematikern och fysikern Blaise Pascal, men var känd utanför Europa långt före Pascals levnad. Något förenklat är varje rad ett element längre än föregående rad och varje elements värde är summan av elementen ovanför till vänster och höger (om dessa existerar). På så sätt har varje rad en etta i början och slutet. Rad- och kolumnräkningen börjar båda på noll. Triangeln kan ses som en tillämpning av Pascals identitet där och med initialvärdet (sv)
- Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем. Правило Паскаля стверджує: якщо k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n. (uk)
|
