Spring til indhold

Tapetgruppe

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Egyptisk mønster fra tapetgruppe p4m

En tapetgruppe (eller plansymmetrisk eller plankrystallografisk gruppe) er en matematisk symmetrigruppe, som kan beskrives som en klassifikation af to-dimensionelle gentagne mønstre. Sådanne mønstre forekommer hyppigt inden for arkitektur og dekorativ kunst, specielt i tekstiler, fliser og tapet.

Antallet af symmetrisæt afhænger af mønstrets dimension. Tapetgrupper bruges i det todimensionelle tilfælde, og de lægger sig dermed mellem de endimensionelle frisegrupper og de tredimensionelle rumgrupper.

Det var den russiske matematiker Evgraf Fedorov, der som den første i 1891 beviste, at der er netop 17 tapetgrupper,[1] idet hans ungarske kollega George Pólya i 1924 uafhængigt af Fedorov nåede samme resultat.[2] For Fedorov og hans kolleger kom beviset for de 17 tapetgrupper som del af arbejdet med at bevise, at der var netop 230 rumgrupper, hvilket Fedorov og den tyske matematiker Schönflies begge fandt frem til i 1892.[3]

De 17 tapetgrupper gennemgås nedenfor.

Symmetriske mønstre

[redigér | rediger kildetekst]

Herunder er vist tre eksempler på tapetgrupper:

Eksempel A og B hører til samme tapetgruppe, kaldet p4m i IUC notation og *442 i orbifold notation. Eksempel C hører til en anden tapetgruppe, kaldet hhv p4g og 4*2 . Når A og B tilhører samme tapetgruppe, betyder det, at begge har det samme sæt af symmetrier, uanset hvordan deres mønstre ellers er udformet, mens C har et afvigende symmetrisæt, på trods af eventuelle ligheder i mønstrene. Nogle gange hører næsten ens mønstre til hver sin gruppe, mens mønstre, der er meget forskellige mht stilart, farve, skala og orientering, godt kan høre til samme gruppe.

At et mønster er symmetrisk vil groft sagt sige, at mønstret kan ændres på en måde, så det ser ud på præcis samme måde efter ændringen. For tapetgrupper gælder disse symmetrier, kaldet euklidiske planisometrier:

  • Hvis vi forskyder eksempel B en enhed mod højre, så at hvert kvadrat nu dækker det der tidligere var nabo-kvadratet, får vi et mønster, som er identisk med udgangsmønstret. Sådanne forskydninger kan også anvendes på eksempel A og C, både op og ned, til siden og diagonalt. Tapetgrupper har således forskydning i flere retninger, hvor frisegrupper kun har i én.
  • Hvis vi drejer eksempel B 90° med uret, fx omkring centrum af et af kvadraterne, får vi igen præcis det samme mønster, ved en såkaldt rotation. Eksempel A og C har også 90°-rotationer, selv om det kræver lidt skarpsindighed at finde det rette rotationscentrum for C.
  • Hvis vi spejler eksempel B langs en vandret akse midt gennem billedet, får vi igen præcis det samme mønster, og dette kaldes spejling. Eksempel B kan desuden spejles både langs en lodret akse og to diagonale akser. Det samme gælder eksempel A.
Glidespejling kan sammenlignes med at gå eller løbe: hvert nyt trin er forskudt i forhold til det forrige, og desuden spejlvendt.

Men eksempel C er anderledes, for det kan kun spejles i vandret og lodret retning, ikke diagonalt. Hvis vi spejler diagonalt, får vi det samme mønster, men forskudt et stykke til siden, og derfor tilhører C en anden tapetgruppe end A og B.

Endelig kan mønstre ændres ved glidespejling, se figur, som er en kombination af spejling og forskydning.

I IUC notation (eller Hermann-Mauguin notation) begynder tapetgruppers navne enten med p eller c, for hhv primitiv eller centreret. I de primitive grupper gentages enhedscellen ved forskydning, hvilket ses hos 15 ud af de 17 grupper. De to øvrige grupper viser centrerede celler, der er større end den primitive celle, hvorved fås intern gentagelse. De centrerede cellesider vender ikke samme vej som den primitive celles forskydningsretning.

Herefter følger et ciffer n, som viser den højeste rotationsorden, enten 1 (dvs rotation 0°), 2 (180°), 3 (120°), 4 (90°) eller 6 (60°), idet gradtallet kan skrives som 360°/n. De næste to tegn angiver symmetrier i forhold til gruppens hovedforskydningsakse; er der en spejlingsakse vinkelret på forskydningsaksen, bliver denne forskydningsakse hovedforskydningsaksen (eller hvis der er to, én af dem). Tegnene er enten m, g eller 1, for hhv spejling (mirror), glidespejling, eller ingen. Spejlings- eller glidespejlingsaksen står vinkelret på hovedaksen for første tegn, og er enten parallel med eller drejet 180°/n (hvor n > 2) for andet tegn. I mange grupper følger der yderligere symmetrier af de eksplicit angivne, og i kort notation udelader man derfor et ciffer eller et m, som på denne måde giver sig selv, så længe gruppen ikke kan forveksles med en anden.

Eksempler

  • p2: Primitiv celle, 2. ordens rotation, hverken spejlinger eller glidespejlinger
  • p4gm: Primitiv celle, 4. ordens rotation, glidespejling vinkelret på hovedakse, spejlingsakse 45° herfra
  • c2mm: Centreret celle, 2. ordens rotation, spejlingsakser både vinkelret og parallelt med hovedakse
  • p31m: Primitiv celle, 3. ordens rotation, spejlingsakse 60° herfra.
Korte og lange betegnelser
Kort pm pg cm pmm pmg pgg cmm p4m p4g p6m
Lang p1m1 p1g1 c1m1 p2mm p2mg p2gg c2mm p4mm p4gm p6mm

De øvrige (lange) navne er p1, p2, p3, p3m1, p31m, p4 og p6.

Tapetgruppers kendetegn[4]
Gruppe Gittertype Rotations-

orden

Spejlings-

akser

Glidespejlings-

akser

p1 parallelogram (1) ingen ingen
p2 parallelogram 2 ingen ingen
pm rektangel (1) parallelle ingen
pg rektangel (1) ingen parallelle
cm rhombe (1) parallelle parallelle
pmm rektangel 2 90° ingen
pmg rektangel 2 parallelle parallelle
pgg rektangel 2 ingen 90°
cmm rhombe 2 90° ingen
p4 kvadrat 4 ingen ingen
p4m kvadrat 4* 45° 90°
p4g kvadrat 4** 90° 45°
p3 sekskant 3 ingen ingen
p31m sekskant 3** 60° 60°
p3m1 sekskant 3* 60° 60°
p6 sekskant 6 ingen ingen
p6m sekskant 6 60° 30°

*: alle rotationscentre ligger på spejlingsakser

**: ikke alle rotationscentre ligger på spejlingsakser

De sytten grupper

[redigér | rediger kildetekst]

Til hver gruppe i nedenstående afsnit hører to diagrammer for cellestruktur, med disse signaturer for forskellige slags symmetrier (idet det er signaturens form og ikke farve, der er afgørende):

andenordens rotationscenter (180°)
tredjeordens rotationscenter (120°)
fjerdeordens rotationscenter (90°)
sjetteordens rotationscenter (60°)
spejlingsakse
glidespejlingsakse

På diagrammer til venstre viser gule områder enhedscellen, dvs. den grundlæggende del af mønstret der gentages.

På diagrammer til højre er forskellige slags symmetrier vist med forskellig farve, på et mønster bestående af flere enhedsceller.

Gruppe p1 (o)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p1
Cellestrukturer for p1 efter gittertype

skæv

heksagonal

rektangulær

rhombisk

kvadratisk
  • Orbifold notation: o
  • Coxeter notation (rektangulær): [∞+,2,∞+] or [∞]+×[∞]+
  • Gitter: skæv
  • Punktgruppe: C1
  • p1 indeholder kun forskydninger; her er hverken rotationer, spejlinger eller glidespejlinger
Eksempler på gruppe p1


Enhedscellens sider kan have forskellig længde, og danne en vilkårlig vinkel med hinanden.

Gruppe p2 (2222)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p2
Cellestrukturer for p2 efter gittertype

skæv

heksagonal

rektangulær

rhombisk

kvadratisk
  • Orbifold notation: 2222
  • Coxeter notation (rektangulær): [∞,2,∞]+
  • Gitter: skæv
  • Punktgruppe: C2
  • p2 indeholder fire andenordens rotationscentre (180°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.


Eksempler på gruppe p2

Gruppe pm (**)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for pm
Cellestruktur for pm

Vandret spejling

Lodret spejling
  • Orbifold notation: **
  • Coxeter notation: [∞,2,∞+] or [∞+,2,∞]
  • Gitter: rektangulær
  • Punktgruppe: D1
  • Gruppe pm har ikke rotationer, kun spejlingsakser, alle parallelle.


Eksempler på gruppe pm

(De første tre med lodrette spejlingsakser, de sidste to med hver sin diagonale spejlingsakse.)

Ser man i metalarbejdet bort fra de korte skrålinjer, som forbinder de ovale motiver, er dette mønster pm; skrålinjerne gør det til p1.

Gruppe pg (××)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for pg
Cellestrukturer for pg

Vandret glid

Lodret glid
Rektangulær
  • Orbifold notation: ××
  • Coxeter notation: [(∞,2)+,∞+] or [∞+,(2,∞)+]
  • Gitter: rektangulær
  • Punktgruppe: D1
  • Gruppe pg har kun glidespejlinger, som alle er parallelle; der er hverken rotationer eller spejlinger.


Eksempler på gruppe pg

Uden detaljer i zigzag-båndene er måtten pmg; med detaljer, men uden skelnen mellem brun og sort er den pgg.

Ser man bort fra stenenes bølgede omrids, er belægningen pgg.

Ser man bort fra farverne i snub square-mønstret, er der meget mere symmetri end blot pg, for så er det p4g (Hvis man betragter kvadraterne som baggrund, ses et simpelt mønster med rhomber på række).

Gruppe cm (*×)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for cm
Cellestruktur for cm

Vandret spejling

Lodret spejling
Rhombisk
  • Orbifold notation:
  • Coxeter notation: [∞+,2+,∞] or [∞,2+,∞+]
  • Gitter: rhombisk
  • Punktgruppe: D1
  • Gruppe cm har ikke rotationer, kun spejlingsakser, heraf mindst én glidespejlingsakse, som ikke er sammenfaldende med en spejlingsakse
  • Denne gruppe er karakteriseret ved forskudte symmetrimønstre


Eksempler på gruppe cm

Gruppe pmm (*2222)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for pmm
Cellestruktur for pmm

rektangulær

kvadratisk
  • Orbifold notation: *2222
  • Coxeter notation (rektangulær): [∞,2,∞] or [∞]×[∞]
  • Coxeter notation (kvadratisk): [4,1+,4] or [1+,4,4,1+]
  • Gitter: rektangulær
  • Punktgruppe: D2
  • Gruppe pmm har to spejlingsakser vinkelret på hinanden og fire andenordens rotationer (180°) med centrum i spejlingsaksernes skæringspunkter.


Eksempler på gruppe pmm

Gruppe pmg (22*)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for pmg
Cellestrukturer for pmg

Vandret spejling

Lodret spejling
  • Orbifold notation: 22*
  • Coxeter notation: [(∞,2)+,∞] or [∞,(2,∞)+]
  • Gitter: rektangulær
  • Punktgruppe: D2
  • Gruppe pmg har to andenordens rotationer (180°) og én spejlingsakse, men dertil glidespejling med akse vinkelret på spejlingsaksen; rotationscentre ligger på glidespejlingsakser.


Eksempler på gruppe pmg

Gruppe pgg (22×)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for pgg
Cellestrukturer for pgg efter gittertype

rektangulær

kvadratisk
  • Orbifold notation: 22×
  • Coxeter notation (rektangulær): [((∞,2)+,(∞,2)+)]
  • Coxeter notation (kvadratisk): [4+,4+]
  • Gitter: rektangulær
  • Punktgruppe: D2
  • Gruppe pgg har to andenordens rotationer (180°), ingen spejlinger, men to glidespejlinger vinkelret på hinanden; rotationscentre ligger ikke på glidespejlingsakser.


Eksempler på gruppe pgg

Gruppe cmm (2*22)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for cmm
Cellestrukturer for cmm efter gittertype

rhombisk

kvadratisk
  • Orbifold notation: 2*22
  • Coxeter notation (rhombisk): [∞,2+,∞]
  • Coxeter notation (kvadratisk): [(4,4,2+)]
  • Gitter: rhombisk
  • Punktgruppe: D2
  • Gruppe cmm har to vinkelrette spejlingsakser, samt én andenordens rotation (180°) med centrum uden for spejlingsakserne (de grønne rhomber på strukturdiagrammer) og to rotationer med centrum på spejlingsakserne (blå og røde rhomber på diagrammerne).
Eksempler på gruppe cmm

Gruppe p4 (442)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p4
Cellestruktur for p4
  • Orbifold notation: 442
  • Coxeter notation: [4,4]+
  • Gitter: kvadratisk
  • Punktgruppe: C4
  • Gruppe p4 har to fjerdeordens rotationer (90°) og en andenordens rotation (180°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.


Eksempler på gruppe p4

I et p4 mønster gentages en kvadratisk celle i rækker og søjler med fjerdeordens rotationer.

Gruppe p4m (*442)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p4m
Cellestruktur for p4m
  • Orbifold notation: *442
  • Coxeter notation: [4,4]
  • Gitter: kvadratisk
  • Punktgruppe: D4
  • Gruppe p4m har to fjerdeordens rotationer (90°) og en andenordens rotation (180°), fire spejlingsakser (vandret, lodret og to diagonale) og endelig to glidespejlinger uden for spejlingsakser. Andenordens rotationscentre falder sammen med hvor glidespejlingsakser krydser hinanden. Alle rotationscentre ligger på spejlingsakser.

Dette giver et overskueligt mønster af meget symmetriske kvadrater i rækker og kolonner.

Eksempler på gruppe p4m

Eksempler med mindste forskydning vandret eller lodret (som i diagrammet):

Eksempler med mindste forskydning diagonalt:

Gruppe p4g (4*2)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p4g
Cellestruktur for p4g
  • Orbifold notation: 4*2
  • Coxeter notation: [4+,4]
  • Gitter: kvadratisk
  • Punktgruppe: D4
  • Gruppe p4g har to vinkelrette spejlingsakser og én fjerdeordens rotation (90°), hvis rotationscentrum ligger uden for spejlingsakserne; samt en andenordens rotation (180°) med centrum på spejlingsakser; og endelig fire glidespejlingsakser, to parallelle med spejlingsakser og to diagonale.

p4g kan opfattes som et ternet mønster bestående af fliser med fjerdeordens rotationssymmetri, og disses spejlbilleder; eller, hvis man rykker en halv flise, som et ternet mønster af vandret og lodret symmetriske fliser, som skiftevis er roteret 90°. Et almindeligt skakbrædtmønster hører dog ikke hjemme her, men i gruppe p4m.

Eksempler på gruppe p4g

Gruppe p3 (333)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p3
Cellestruktur for p3
  • Orbifold notation: 333
  • Coxeter notation: [(3,3,3)]+ or [3[3]]+
  • Gitter: heksagonal
  • Punktgruppe: C3
  • Gruppe p3 har tre tredjeordens rotationer (120°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.

Forestiller man sig et plant mønster (en tessellation) af ligesidede trekanter med samme størrelse, vil halvdelen af trekanterne vende den ene vej, og halvdelen vende modsat. For gruppe p3 er alle trekanter den ene vej ens, mens dem der vender modsat er anderledes. De to slags trekanter har hver især tredjeordens rotationer, men er ikke hinandens spejlbilleder, ejheller symmetriske. (Var trekanterne ens i begge retninger, ville vi have p6, var de hinandens spejlbilleder, ville det være p31m, og hvis de var symmetriske, ville det være p3m1; hvis to af de tre betingelser var opfyldt, ville den tredje også være det, og vi ville have p6m.)

Eksempler på gruppe p3

Gruppe p3m1 (*333)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p3m1
Cellestruktur for p3m1
  • Orbifold notation: *333
  • Coxeter notation: [(3,3,3)] eller [3[3]]
  • Gitter: heksagonal
  • Punktgruppe: D3
  • Gruppe p3m1 har tre tredjeordens rotationer (120°) og tre spejlingsakser, med rotationscentre liggende på spejlingsakser; desuden tre glidespejlingsakser, som ligger midt mellem spejlingsakser.

Forestiller man sig, som beskrevet under p3, et plant mønster med trekanter i modsatte retninger, vil denne gruppe svare til, de to slags trekanter ikke var ens, ikke var hinandens spejlbilleder, men blot symmetriske.


Eksempler på gruppe p3m1

Gruppe p31m (3*3)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p31m
Cellestruktur for p31m
  • Orbifold notation: 3*3
  • Coxeter notation: [6,3+]
  • Gitter: heksagonal
  • Punktgruppe: D3
  • Gruppe p31m har tre tredjeordens rotationer (120°) (af hvilke de to er hinandens spejlbilleder) og tre spejlingsakser. Mindst ét rotationscentrum ligger ikke på en spejlingsakse. Der er desuden tre glidespejlingsakser, beliggende midt mellem spejlingsakser.

Forestiller man sig, som beskrevet under p3 og p3m1, et plant mønster med trekanter i modsatte retninger, vil denne gruppe svare til, de to slags trekanter ikke var ens, ikke var symmetriske, men blot var hinandens spejlbilleder.

Eksempler på gruppe p31m

Gruppe p6 (632)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p6
Cellestruktur for p6
  • Orbifold notation: 632
  • Coxeter notation: [6,3]+
  • Gitter: heksagonal
  • Punktgruppe: C6
  • Gruppe p6 har en sjetteordens rotation (60°), to tredjeordens rotationer (120°) og tre andenordens rotationer (180°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.

Dette mønster kan både betragtes som opbygget af ens trekanter og ens sekskanter.

Eksempler på gruppe p6

Gruppe p6m (*632)

[redigér | rediger kildetekst]
Eksempel og diagram for p6m
Cellestruktur for p6m
  • Orbifold notation: *632
  • Coxeter notation: [6,3]
  • Gitter: heksagonal
  • Punktgruppe: D6
  • Gruppe p6 har en sjetteordens rotation (60°), to tredjeordens rotationer (120°) og tre andenordens rotationer (180°), foruden seks spejlingsakser og seks glidespejlingsakser, de sidste midtvejs mellem spejlingsakser.

Dette mønster kan både betragtes som opbygget af ens trekanter og ens sekskanter.


Eksempler på gruppe p6m

Tapetgrupper i fortidskunst

[redigér | rediger kildetekst]

I det gamle Ægyptens kunst har man fundet tolv af de sytten tapetgrupper; de fem manglende grupper er dem med tredieordens og sjetteordens rotationer.[5] Alhambras udsmykninger regnes som højdepunktet af brugen af ornamentik inden for islamisk kunst. Man er ikke enige om, hvorvidt alle sytten tapetgrupper er at finde i Alhambra: nogle mener nej,[6][7] mens andre mener jo.[8][9]

Muligvis med undtagelse af grupperne pm, p3 og pg har man i kinesisk kunst fundet alle sytten grupper.[10]

  • Owen Jones (1856): The Grammar of Ornament (1856); mange af eksemplerne under de enkelte grupper er fra denne bog - den indeholder mange flere.
  • John H. Conway (1992): The Orbifold Notation for Surface Groups. I: M. W. Liebeck og J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
  • John H. Conway, Heidi Burgiel og Chaim Goodman-Strauss (2008): The Symmetries of Things. Worcester MA: A.K. Peters. ISBN 1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum og G. C. Shephard (1987): Tilings and Patterns. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
  • Pattern Design, Lewis F. Day
  • Michael Klemm: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-11644-3.
  • Klaus Lamotke: Die Symmetriegruppen der ebenen Ornamente. In: Mathematische Semesterberichte. Bd. 52, nr. 2, august 2005, s. 153–174, doi:10.1007/s00591-005-0092-y.
  1. ^ E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" (Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), series 2, 28 : 345–390 (in Russian).
  2. ^ Pólya, George (november 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (tysk). 60 (1-6): 278-282. doi:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.
  3. ^ Fedorow, E. von (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [Compilation of the crystallographic results of Mr. Schoenflies and of mine]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (tysk). 20: 25-75.
  4. ^ Wallpaper Groups: the 17 plane symmetry groups
  5. ^ Branko Grünbaum: The Emperor's New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing? In: The Mathematical Intelligencer. Bd. 6, Nr. 4, 1984, S. 47–53, doi:10.1007/BF03026738.
  6. ^ Edith Müller: Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada. Baublatt, Rüschlikon 1944 (Zugleich: Zürich, Universität, Dissertation, 1944).
  7. ^ Branko Grünbaum: What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? In: Notices of the American Mathematical Society. Bd. 53, Nr. 6, 2006, ISSN 0002-9920, S. 670–673, Digitalisat (PDF; 1,97 MB).
  8. ^ José M. Montesinos: Classical Tesselations and Three-Manifolds. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-15291-1.
  9. ^ Marcus du Sautoy: Finding Moonshine. A Mathematician's Journey through Symmetry. Fourth Estate, London 2008, ISBN 978-0-00-721461-7, Kapitel 3.
  10. ^ Doris Schattschneider: The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation. In: The American Mathematical Monthly. Bd. 85, Nr. 6, 1978, S. 439–450, doi:10.2307/2320063.

Eksterne henvisninger

[redigér | rediger kildetekst]

Ældre hjemmesider

[redigér | rediger kildetekst]