Herons formel

Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet $A$ af en trekant med siderne $a$, $b$ og $c$:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

hvor $s$ er trekantens halve omkreds, dvs.

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

I specialtilfældet $a=b=c$ (ligesidet trekant), fås

$A={\sqrt {{\frac {3a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}$

i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.

Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.

Historie

Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.

Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:

$A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}\cdot c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

Bevis

På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant $ABC$, som ved hjælp af højden $h$ er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden $b$ i to dele med længderne $x$ og $b-x$.

Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:

For trekanten til venstre for højden:

$h^{2}+x^{2}=c^{2}\Leftrightarrow h^{2}=c^{2}-x^{2}$

For trekanten til højre for højden:

$h^{2}+(b-x)^{2}=a^{2}\Leftrightarrow h^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}$

Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig $h^{2}$. Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver

${\begin{aligned}c^{2}-x^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\end{aligned}}$

Nu er $c^{2}$ blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b^{2}+x^{2}-2\cdot b\cdot x)+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2\cdot b\cdot x+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\end{aligned}}$

Den sidste ligning skrives nu om, så $x$ er isoleret:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\Leftrightarrow \\-2\cdot b\cdot x&=a^{2}-b^{2}-c^{2}\Leftrightarrow \\x&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2\cdot b}}\Leftrightarrow \\x&={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

For at regne videre med dette $x$, "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:

$h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

Ved at erstatte $x$ med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:

${\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\right)^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\end{aligned}}$

For at få $c^{2}$ "bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med $\left(2\cdot b\right)^{2}$:

$c^{2}={\frac {c^{2}\cdot \left(2\cdot b\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}={\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}$

Ved at erstatte $c^{2}$ i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:

${\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at $a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)$ til at omskrive denne del af udtrykket:

${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}2\cdot b\cdot c+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}\cdot {\big (}2\cdot b\cdot c-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke $2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}$, som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til $(b+c)^{2}$. I udtrykket for højden $h$ kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:

${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at

$2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}=(b+c)^{2}\Leftrightarrow 2\cdot b\cdot c-c^{2}-b^{2}=-(c-b)^{2}$

og så kan udtrykket for $h$ forenkles på denne måde:

${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:

${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)+a{\big )}\cdot {\big (}\left(b+c\right)-a{\big )}\cdot {\big (}a+\left(c-b\right){\big )}\cdot {\big (}a-\left(c-b\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}$

I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.

Højden $h$ er tegnet ud fra grundlinjen $b$, og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal $A$ som:

$A={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b$

Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for $h$ ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\cdot b\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{4}}\end{aligned}}$

Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s\cdot \left(s-a\right)\cdot \left(s-b\right)\cdot \left(s-c\right)}}\ ,\ s={\frac {a+b+c}{2}}\Leftrightarrow \\A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\end{aligned}}$

For at få hhv. $-a$, $-b$ og $-c$ "bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot a}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot b}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot c}{2}}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot a}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot b}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot c}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {b+c-a}{2}}\cdot {\frac {a+c-b}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}{16}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}}{4}}\end{aligned}}$

Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.