Annibyniaeth (tebygolrwydd)

Mae annibyniaeth yn syniad sylfaenol mewn tebygolrwydd. Mae dau ddigwyddiad yn annibynnol os nad yw digwyddiad un yn effeithio ar y tebygolrwydd y bydd y llall yn digwydd. Yn yr un modd, mae dau hapnewidyn yn annibynnol os nad yw canlyniad un yn effeithio ar ddosraniad tebygolrwydd y llall.

Wrth ddelio â chasgliadau o fwy na dau ddigwyddiad, mae angen gwahaniaethu rhwng syniad gwan a chryf o annibyniaeth. Gelwir y digwyddiadau yn annibynnol fesul pâr os yw unrhyw ddau ddigwyddiad yn y casgliad yn annibynnol o'i gilydd. Mae dweud bod y digwyddiadau yn gydannibynnol yn golygu bod pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw gyfuniad o'r digwyddiadau eraill yn y casgliad. Mae syniad tebyg yn bodoli ar gyfer casgliadau o hapnewidynnau.

Mae'r enw "cydannibyniaeth" ond yn ymddangos er mwyn gwahaniaethu'r syniad cryfach oddi wrth "annibyniaeth fesul pâr", sy'n syniad gwannach. Yn llenyddiaeth theori tebygolrwydd, ystadegau a phrosesau stocastig, enwir y syniad cryfach yn syml yn annibyniaeth. Mae'n gryfach gan fod annibyniaeth yn awgrymu annibyniaeth fesul pâr, ond nid y gwrthwyneb.

Diffiniad

Dau ddigwyddiad

Mae dau ddigwyddiad $A$ a $B$ yn annibynnol (weithiau ysgrifennir fel $A\perp B$ neu $A\perp \!\!\!\perp B$) os ac yn unig os yw eu cyd-debygolrwydd yn hafal i luoswm eu tebygolrwyddau:

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Mae'r rheswm pam mae hyn yn diffinio annibyniaeth yn fwy eglur wrth ailysgrifennu gyda thebygolrwydd amodol:

$\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A\mid B)$

ac

$\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (B\mid A)$.

Felly, nid yw $B$ yn digwydd yn effeithio ar debygolrwydd $A$, ac i'r gwrthwyneb. Er y gall y mynegiadau sy'n defnyddio tebygolrwyddau amodol ymddangos yn fwy greddfol, nid y rhain yw'r diffiniad gorau, oherwydd gellir diffinio'r tebygolrwyddau amodol os yw $\mathrm {P} (A)$ neu $\mathrm {P} (B)$ yn 0. Ar ben hynny, mae'r diffiniad gwreiddiol yn nodi'n glir trwy gymesuredd os yw $A$ yn annibynnol o $B$, yna mae $B$ hefyd yn annibynnol o $A$.

Mwy na dau ddigwyddiad

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau $\{A_{i}\}_{i=1}^{n}$ yn annibynnol fesul pâr os yw pob pâr o ddigwyddiadau yn annibynnol — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob pâr penodol o fynegeion$m,k$, mae:

$P(A_{m}\cap A_{k})=P(A_{m})P(A_{k})$

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau yn gydannibynnol os yw pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw groestoriad o'r digwyddiadau eraill — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob $k\leq n$ ac am bob is-set $\{B_{i}\}_{i=1}^{k}$ o $\{A_{i}\}_{i=1}^{n}$gyda $k$ elfen, mae

$P\left(\bigcap _{i=1}^{k}B_{i}\right)=\prod _{i=i}^{k}P(B_{i})$.

Priodweddau

Hunan-annibyniaeth

Sylwch fod digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw

$\mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\Leftrightarrow \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1$.

Felly mae digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw'n digwydd sicr neu os yw ei gyflenwad yn sicr.

Gwerth disgwyliedig a chydamrywiad

Os yw $X$ ac $Y$ yn hapnewidynnau annibynnol, yna mae gan ei gwerthoedd disgwyliedig y briodwedd bod

$\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],$

a'r cydamrywiad $\operatorname {cov} [X,Y]$ yw sero, oherwydd taw

$\operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$.

Nid yw'r gwrthwyneb yn wir: os oes gan ddau hapnewidyn cydamrywiad o 0 mae'n bosib na fyddant yn annibynnol.