Matriu de Gram

En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors $v_{1},\dots ,v_{n}$ en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per $G_{ij}=(v_{i}|v_{j})$. El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram.

Propietats

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada real que compleix les següents propietats:

• És simètrica.

$g_{ij}=g_{ji}$

• És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
• El primer element és positiu o nul.

$g_{11}\geq 0$

• Els seus determinants principals són positius o nuls.

1. ${\begin{vmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\\\end{vmatrix}}\geq 0$
2. ${\begin{vmatrix}G\end{vmatrix}}\geq 0$

Aplicacions

Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectors serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.

Determinant de Gram

El determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:

$G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{vmatrix}}.$

Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).

Exemples

Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat $[a,b]$.

Donada una funció de variable real $\{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ definida en un interval $[t_{0},t_{f}]$, la matriu de Gram $G=[G_{ij}]$, es defineix com el producte escalar estàndard de funcions: $G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau$.

Donada una matriu A, la matriu $A^{\mathrm {T} }A$ és la matriu de Gram de les columnes de A, mentre que la matriu $AA^{\mathrm {T} }$ és la matriu de Gram de les files de A.

Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors $v_{1},\dots ,v_{n}$, com $G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,$. Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.

Enllaços externs

• Barth, Nils «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators, 2, 1999. Arxivat de l'original el 2008-11-22 [Consulta: 18 gener 2009].