Topologia del límit inferior

En matemàtiques, la topologia del límit inferior, anomenada també topologia de Sorgenfrey, és una topologia definida sobre la recta real. S'anomena recta de Sorgenfrey a l'espai topològic resultant, denotat per $\mathbb {R} _{\ell }$. Aquesta topologia està generada per la base $\beta =\{[a,b)\ :\ a<b\}$ on $a,b$ són nombres reals. L'espai producte $\mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }$ s'anomena pla de Sorgenfrey. El nom d'aquests espais és en honor de Robert Sorgenfrey.

Propietats

• La topologia del límit inferior és una topologia estrictament més fina que la topologia usual (tot obert en $\mathbb {R}$ amb la topologia usual és obert en $\mathbb {R} _{\ell }$, però no al contrari), ja que tot interval obert $(a,b)$ es pot expressar com una unió d'oberts de la topologia de Sorgenfrey:

$(a,b)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }[a+{(b-a) \over 2n},b)$

• Els intervals de la forma $[a,b)$, $[a,+\infty )$ y $(-\infty ,a)$ són oberts i tancats en la recta de Sorgenfrey. A més a més, els punts són tancats, però no són oberts.
• És un espai totalment disconnex.
• És un espai Hausdorff perfectament normal. Com a conseqüència, també és T₀ i T₁.
• És ANI i separable, però no és ANII.
• És de Lindelöf i paracompacte, però no és σ-compacte ni localment compacte.
• No és metritzable ja que tot espai metritzable i separable és ANII.
• És un espai de Baire.

Bibliografia

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2ª ed. (29 de diciembre 1999). ISBN 0-13-181629-2
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 507446, ISBN 978-0-486-68735-3
• B. Mendelson, Introduction to topology, Dover Publications, New York, 1990.

Vegeu també

• Espai topològic
• Espai de Hausdorff
• Espai separable