Distància

La distància és la longitud del camí més curt entre dues entitats. En matemàtiques, per a un conjunt d'elements $X$ es defineix formalment la distància com a qualsevol funció binària $d(a,b)$ de $X^{2}$ en $\mathbb {R}$ que compleixi les següents propietats:

• No negativitat: $d(a,b)\geq 0\ \forall a,b\in X$
• Simetricitat: $d(a,b)=d(b,a)\ \forall a,b\in X$
• Identitat dels indiscernibles: $d(a,b)=0\ \Leftrightarrow a=b\ \forall a,b\in X$
• Desigualtat triangular: $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)\ \forall a,b,c\in X$

El conjunt $X$ amb una distància definida sobre ell s'anomena espai mètric.

Aquestes propietats les compleix la distància euclidiana o geomètrica, que és la que correspon al concepte quotidià de distància, però hi ha altres distàncies que s'aparten d'aquest concepte. Vegeu exemples d'altres distàncies a l'article espai mètric.

Generalitzacions

Article principal: Mètrica (matemàtiques)

En general, existeixen altres definicions de distància o mètrica en el pla euclidià o en altres conjunts. Una mètrica indueix una topologia sobre aquest conjunt. També és possible definir altres funcions, similars a la distància habitual, però amb condicions més febles, que tenen propietats especials.

Distància (física)

Es denomina distància entre dos punts A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) a la longitud del segment que uneix A i B. S'expressa matemàticament com:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

La distància entre un punt P i una recta R és la longitud del camí més curt que uneix el punt P(x₁,y₁) amb la recta R = Ax + By + C. Matemàticament s'expressa com:

$d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

La distància entre dues rectes paral·leles és la longitud del camí més curt entre una d'elles i un punt qualsevol de l'altra.

La distància entre un punt P i un pla L és la longitud del camí més curt entre el punt P(x₁,i₁,z₁) i el pla L = Ax + By + Cz + D. Matemàticament s'expressa:

$d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

Distància en espai mètric

Des d'un punt de vista formal, per a un conjunt d'elements $X$ es defineix distància o mètrica com qualsevol funció matemàtica o aplicació $d(a,b)$ de $X\times X$ en $\mathbb {R}$ que verifiqui les condicions següents:

• No negativitat:

$\forall a,b\in X\;:\quad d(a,b)\geq 0$

$a,b\in X,\quad d(a,b)=0\quad \Longleftrightarrow \quad a=b$

- És a dir, la distància és zero si i només si s'indueix sobre el mateix punt

• Simetria:

$\forall a,b\in X\;:\quad d(a,b)=d(b,a)$

• Desigualtat triangular:

$\forall a,b,c\in X\;:\quad d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$

Si deixem d'exigir que $\forall a,b\in X,\quad d(a,b)=0\quad \Longrightarrow \quad a=b$, s'obté el concepte de pseudodistància o pseudomètrica.

La distància és el concepte fonamental de la topologia d'espais mètrics. Un espai mètric no és altra cosa que un parell $(X,d)$, on $X$ és un conjunt en què definim una distància $d$.

En cas que tinguéssim un parell $(X,d)$ i $d$ fos una pseudodistància sobre $X$, llavors diríem que tenim un espai pseudomètric.

Si $(X,d)$ és un espai mètric i $E\subset X$, podem restringir $d$ a $E$ de la següent forma: $d':E\times E\longrightarrow \mathbb {R}$ de forma que si $x,y\in E$ llavors $d'(x,y)=d(x,y)$ (és a dir, $d'=d|_{E\times E}$). L'aplicació $d'$ és també una distància sobre $d$, i com comparteix sobre $E\times E$ els mateixos valors que $d$, es denota també de la mateixa manera, és a dir, direm que $(E,d)$ és subespai mètric de $(X,d)$.

Distància dun punt a un conjunt

Si $(X,d)$ és un espai mètric, $E\subset X$, $E\neq \varnothing$ i $x\in X$, podem definir la distància del punt $x$ al conjunt $E$ de la següent manera:

$d(x,E):=\inf\{d(x,y):y\in E\}$.

Cal destacar les següents tres propietats:

• En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà aquesta distància, doncs $d$ té per domini $X\times X$, així que per a qualsevol $y\in E$ existirà un únic valor real positiu $d(x,y)$. Per la completesa de $\mathbb {R}$ i com que la imatge de d està fitada inferiorment per 0, queda garantida l'existència de l'ínfim d'aquest conjunt, és a dir, la distància del punt al conjunt.

• Si $x\in E$ llavors $d(x,E)=0$.

• Pot ser que $d(x,E)=0$ però $x\notin E$, per exemple si $x$ és un punt d'adherència de $E$. De fet, la clausura de $E$ és precisament el conjunt dels punts de $X$ que tenen distància 0 a $E$.

Els casos de distància d‟un punt a una recta o de distància d‟un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d‟un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.

Es pot utilitzar el mètode següent: Donat un punt (n,m) que no pertany a la recta f(x), 1) Trobeu l'equació de la recta perpendicular a f(x) que passa per (n,m). Això porta dos passos: trobar el pendent (pendent perpendicular) i trobar l'ordenat a l'origen (reemplaçant el punt (n,m) i aclarint). 2) Trobar la intersecció entre aquestes dues rectes. Això comporta dos passos: trobar la x de la intersecció per igualació, trobar la i de la intersecció substituint la x en qualsevol de les dues equacions. Amb això s'obté el punt (o,p) 3) Trobar la distància entre (n,m) i (o,p).

Distància entre dos conjunts

Si $(X,d)$ és un espai mètric, $A\subset X$ i $B\subset X$, $A\neq \varnothing$, $B\neq \varnothing$, podem definir la distància entre els conjunts $A$ i $B$ de la següent manera:

$d(A,B):=\inf\{d(x,y):x\in A,i\in B\}$.

Per la mateixa raó que abans sempre està definida. A més $d(A,A)=0$, però pot passar que $d(A,B)=0$ i tanmateix $A\neq B$. És més, podem tenir dos conjunts tancats la distància dels quals sigui 0 i no obstant siguin disjunts, i fins i tot que tinguin clausures disjuntes.

Per exemple, el conjunt $A:=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}$ i el conjunt $B:=\{(x,e^{x}):x\in \mathbb {R} \}$. D'una banda, $A=\operatorname {cl} (A)$, $B=\operatorname {cl} (B)$ i $A\cap B=\varnothing$, i de l'altra $d(A,B)=0$.

La distància entre dues rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.

Distància del camí més curt en una superfície corba

Rutes aèries entre Los Angeles i Tòquio segueixen aproximadament una ruta directa de cercle màxim (a dalt), però utilitzen el corrent en Jet (a baix) quan es dirigeixen cap a l'est. La ruta més curta apareix com una corba en lloc d'una línia recta perquè la projecció del mapa no escala totes les distàncies per igual en comparació de la superfície esfèrica real de la Terra

.

Article principal: Geodèsica

La distància en línia recta entre dos punts de la superfície de la Terra no és gaire útil per a la majoria dels propòsits, ja que no podem fer un túnel recte a través del mantell terrestre. En el seu lloc, se sol mesurar el camí més curt al llarg de la superfície de la Terra, a vol d'ocell. Això s'aproxima matemàticament mitjançant la distància ortodròmica en una esfera.

En termes més generals, el camí més curt entre dos punts al llarg d'una superfície corba es coneix com a geodèsica. La longitud d'arc de les geodèsiques dona una forma de mesurar la distància des de la perspectiva d'una formiga o una altra criatura no voladora que visqui en aquesta superfície.

Efectes de la relativitat

En la teoria de la relativitat, a causa de fenòmens com la contracció de la longitud i la relativitat de la simultaneïtat, les distàncies entre objectes depenen de l'elecció del marc de referència inercial. A escales galàctiques i majors, el mesurament de la distància també es veu afectat per l'expansió de l'univers. A la pràctica, s'utilitzen diverses mesures de distància en cosmologia per quantificar aquestes distàncies.

Altres distàncies espacials

Distància Manhattan en una quadrícula

Les definicions inusuals de distància poden ser útils per modelitzar certes situacions físiques, però també es fan servir en matemàtiques teòriques:

• A la pràctica, sovint s'està interessat en la distància de viatge entre dos punts al llarg de les carreteres, en lloc de vol d'ocell. En un pla quadriculat, la distància de viatge entre els cantons dels carrers ve donada per la distància Manhattan: el nombre de pomes est-oest i nord-sud que cal travessar per arribar entre aquests dos punts.
• La distància del tauler d'escacs, formalitzada com a distància de Txebixov, és el nombre mínim de moviments que un rei ha de realitzar en un tauler d'escacs per desplaçar-se entre dues caselles.

Distàncies metafòriques

Moltes nocions abstractes de distància utilitzades en matemàtiques, ciència i enginyeria representen un grau de diferència o de separació entre objectes similars. En aquesta pàgina se'n donen alguns exemples.

Distàncies estadístiques

En estadística i geometria de la informació, les distàncies estadístiques mesuren el grau de diferència entre dues distribucions de probabilitat. Hi ha molts tipus de distàncies estadístiques, típicament formalitzades com a divergències; permeten entendre un conjunt de distribucions de probabilitat com un objecte geomètric anomenat col·lector estadístic. La més elemental és la distància euclidiana al quadrat, que es minimitza pel mètode de mínims quadrats; és la divergència de Bregman més bàsica. La més important en teoria de la informació és l'entropia relativa o divergència de Kullback-Leibler, que permet estudiar de forma anàloga l'estimació de màxima versemblança geomètricament; és un exemple tant de f-divergència com de divergència de Bregman (i de fet l'únic exemple que és totes dues). Les varietats estadístiques corresponents a les divergències de Bregman són varietats planes en la geometria corresponent, cosa que permet utilitzar un anàleg del teorema de Pitàgores (que es compleix per a la distància euclidiana al quadrat) per a problemes inversos lineals en la inferència per teoria de l'optimització.

Altres distàncies estadístiques importants són la distància de Mahalanobis i la distància d'energia.

Distàncies d'edició

En el camp de l'informàtica, una distància d'edició o «mètrica de cadena» entre dues cadenes mesura com són de diferents. Per exemple, les paraules "gat" i "ànec", que difereixen només en una lletra, estan més a prop que "cim" i "tub", que no tenen cap lletra en comú. Aquesta idea s'utilitza en correctors ortogràfics i en teoria de la codificació, i es formalitza matemàticament de diverses formes diferents, com distància de Levenshtein, distància de Hamming, distància de Lee i distància de Jaro-Winkler.

Distància en teoria de grafs

Article principal: Distància (teoria de grafs)

En un graf, la distància entre dos vèrtexs es mesura per la longitud del camí d'aresta més curt entre ells. Per exemple, si el graf representa una xarxa social, llavors la idea de si graus de separació es pot interpretar matemàticament com que la distància entre dos vèrtexs sigui com a màxim sis. De la mateixa manera, el número d'Erdős i el número de Bacon—el nombre de relacions de col·laboració que separen una persona del prolífic matemàtic Paul Erdős i de l'actor Kevin Bacon (vegeu Sis graus de Kevin Bacon), respectivament—són distàncies en els grafs les arestes dels quals representen col·laboracions matemàtiques o artístiques.

A les ciències socials

En la psicologia, la geografia humana i les ciències socials, la distància es teoritza sovint no com una mesura numèrica objectiva, sinó com una descripció qualitativa d'una experiència subjectiva. Per exemple, la distància psicològica és "les diferents formes en què un objecte pot estar allunyat" del jo al llarg de dimensions com "el temps, l'espai, la distància social i la hipotètica". En sociologia, la distància social descriu la separació entre individus o grups socials en societat al llarg de dimensions com classe social, raça/ètnia, gènere o sexualitat.

Formalització matemàtica

Article principal: Espai mètric

La majoria de les nocions de distància entre dos punts o objectes descrites anteriorment són exemples de la idea matemàtica d'un mètric. Una funció mètrica o funció de distància és una funció d que pren parells de punts o objectes a números reals i satisfà les regles següents:

1. La distància entre un objecte i si mateix és sempre zero.
2. La distància entre objectes diferents és sempre positiva.
3. La distància és simètrica: la distància de x a y és sempre la mateixa que la distància de y a x.
4. La distància satisfà la desigualtat del triangle: si x, y i z són tres objectes, llavors $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$ Aquesta condició es pot descriure informalment com “les parades intermèdies no et poden accelerar."

Com a excepció, moltes de les divergències utilitzades en estadística no són mètriques.

Bibliografia addicional

• Weisstein, Eric W.. «Distance» (en inglés). Wolfram Mathworld. [Consulta: 5 octubre 2022].
• «Distance Between 2 Points» (en inglés). Math is fun. [Consulta: 5 octubre 2022].
• «Level Set Based Shape Prior Segmentation» (en inglés). 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), 2, de 2005, pàg. 1164–1170. 10.1109/CVPR.2005.212.
• «The Directed Distance» (en inglés). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Arxivat de l'original el 2016-11-10. [Consulta: 18 setembre 2018].
• «Shape modeling with front propagation: a level set approach» (en inglés). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 17, 2, de NaN, pàg. 158–175. 10.1109/34.368173.
• Elena Deza, Michel Deza. Dictionary of Distances (en inglés). Elsevier, 2006. ISBN 0-444-52087-2. 

Viccionari