Idi na sadržaj

Injektivna funkcija

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Injektivna funkcija (injekcija)
Druga injektivna funkcija (ova je bijekcija)
Neinjektivna funkcija (ova je slučajem surjekcija)

Za funkciju kažemo da je injektivna funkcija, ili samo injekcija, ako ne postoje dva različita elementa domena, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomena.

To znači da se svi elementi iz domena preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomena (funkcija ne preslikava različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom, je injektivna ako vrijedi:

što je ekvivalentno tvrdnji:

Primjeri

[uredi | uredi izvor]
  • Za bilo koji skup X, funkcija identiteta na X je injektivna.
  • Funkcija f : R → R definisana sa f(x) = 2x + 1 je injektivna.
  • Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = x2 nije injektivna, zato što (naprimjer) g(1) = 1 = g(−1). Međutim, ako je g ponovo definisana tako da su njen domen nenegativni realni brojevi [0,+∞), tada je g injektivna.
  • Eksponencijalna funkcija exp : RR definisana sa exp(x) = ex je injektivna (ali ne i surjektivna pošto nema preslikavanja u negativne brojeve).
  • funkcija prirodnog logaritma ln : (0, ∞) → R definisana sa x ↦ ln x je injektivna.
  • Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = xnx nije injektivna, pošto je, naprimjer, g(0) = g(1).

Ostale osobine

[uredi | uredi izvor]
  • ako su f i g injektivne, tada je f ∘ g injektivna.
Kompozicija dvije injektivne funkcije je injektivna funkcja.
  • Ako je g ∘ f inejektivna, tada je f injektivna (ali g ne mora biti).
  • f : X → Y je injektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije g, h : W → X, kad god je f ∘ g = f ∘ h, tada je g = h. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji skupa skupova.
  • Ako je f : X → Y injektivna, a A je podskup od X, tada je f −1(f(A)) = A. Zbog toga, A može biti dobijen iz svoje slike f(A).
  • Ako je f : X → Y injektivna, a A i B su podskupovi od X, tada je f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
  • Svaka funkcija h : W → Y može se dekomponovati kao h = f ∘ g za pogodnu injekciju f i surjekciju g.
  • Ako je f : X → Y injektivna funkcija, tada Y ima najmanje onoliko elemenata koliko ima skupa X, u smislu kardinalnih brojeva. Pojedinačno, ako, dodatno, postoji injekcija iz u , tada i imaju isti kardinalni broj. (Ovaj iskaz poznat je i kao Cantor–Bernstein–Schroederov teorem.)
  • Ako su i X i Y konačni sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y injektivna ako i samo ako je f surjektivna.

Također pogledajte

[uredi | uredi izvor]

Zabilješke

[uredi | uredi izvor]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  • Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd izd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
  • Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.