Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Elipsa:a = velika poluosab = mala poluosa Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose : velikom (oznaka: a ) i malom (oznaka: b ). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e ). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka . Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus . Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1 X i F2 X uvijek jednaka.
Površina elipse se računa formulom:
P
=
a
∗
b
∗
π
{\displaystyle P=a*b*\pi }
Tačke
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
Sredina duži
F
1
F
2
{\displaystyle F_{1}F_{2}}
Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
Velika osa je duž
A
B
{\displaystyle AB}
Mala osa je duž
C
D
{\displaystyle CD}
Velike poluose su duži
A
S
{\displaystyle AS}
S
B
{\displaystyle SB}
Male poluose su duži
C
S
{\displaystyle CS}
S
D
{\displaystyle SD}
Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
Radijus vektori tačke na elipsi su dužine
F
1
T
{\displaystyle F_{1}T}
F
2
T
{\displaystyle F_{2}T}
Tekst zaglavlja
Tekst zaglavlja
osna jednačina
b
2
x
2
+
a
2
y
2
=
a
2
b
2
{\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}
segmentni oblik
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
poluparametar
p
=
b
2
a
{\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}
numerički ekscentricitet
ε
=
e
a
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {e}{a}}}
linearni ekscentricitet
e
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle e^{2}=a^{2}-b^{2}}
radijus vektor
r
1
+
r
2
=
2
a
{\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}
[ 1]
jednačina tangente
b
2
x
1
x
+
a
2
y
1
y
=
a
2
b
2
{\displaystyle b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}}
uslov da prava
y
=
k
x
+
n
{\displaystyle y=kx+n}
a
2
k
2
+
b
2
=
n
2
{\displaystyle a^{2}k^{2}+b^{2}=n^{2}}
koordinate tjemena
(
±
a
,
0
)
{\displaystyle (\pm a,0)}
(
0
,
±
b
,
)
{\displaystyle (0,\pm b,)}
algebarska zatvorena kriva jedna je od konika
skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan.
Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije.
Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je
e
{\displaystyle e}
Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik.
Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce .Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa
e
{\displaystyle e}
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
[ 2]
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
e
=
c
a
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.
(
x
a
)
2
+
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}}=1}
Dokaz Neka nezavisni parametar
θ
{\displaystyle \theta }
π
{\displaystyle \pi }
x
2
=
a
2
cos
2
θ
.
{\displaystyle x^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta .}
y
2
=
b
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle y^{2}=b^{2}\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
=
cos
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=\cos ^{2}\theta .}
y
2
b
2
=
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
[ 3]
Površina zatvorena elipsom je :
P
=
a
b
π
{\displaystyle P=ab\pi }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
π
=
3
,
14159...
{\displaystyle \pi =3,14159...}
Dokaz. Površina elipse je
P
=
4
∫
0
a
y
d
x
=
4
∫
0
a
b
⋅
1
−
x
2
a
2
d
x
=
[
x
=
a
sin
t
,
d
x
=
a
cos
t
d
t
]
{\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}
=
4
∫
0
π
2
b
⋅
cos
2
t
⋅
cos
t
d
t
=
4
a
b
∫
0
π
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt}
=
4
a
b
∫
0
π
2
1
+
cos
2
t
2
d
t
=
4
a
b
∫
0
π
2
d
t
2
+
a
b
∫
0
π
2
cos
2
t
d
2
t
{\displaystyle =4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t}
=
4
a
b
⋅
π
2
|
π
2
+
a
b
sin
2
t
|
0
π
2
=
a
b
π
.
{\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .}
Obim
O
{\displaystyle O}
4
a
E
(
ε
)
{\displaystyle 4aE(\varepsilon )}
E
{\displaystyle E}
eliptični integral druge vrste .
Tačan beskonačan red glasi:
C
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
ε
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
ε
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
ε
6
5
−
…
]
;
{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}
ili
C
=
2
π
a
∑
n
=
0
∞
{
−
[
∏
m
=
1
n
(
2
m
−
1
2
m
)
]
2
ε
2
n
2
n
−
1
}
;
{\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}
Dobra aproksimacija Ramanujanova , a koja glasi:
C
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
ili bolja aproksimacija :
C
≈
π
(
a
+
b
)
(
1
+
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
10
+
4
−
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
)
;
{\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,}
Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:
C
≈
π
a
(
9
−
35
)
2
;
{\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}};\!\,}
ili
C
≈
a
2
93
+
1
2
3
;
{\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}};\!\,}
Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom . Inverzna funkcija , obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija .
Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
2
a
{\displaystyle 2a}
Dokaz Ako je
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
N
{\displaystyle N}
d
{\displaystyle d}
N
′
{\displaystyle N^{\prime }}
d
′
{\displaystyle d^{\prime }}
F
M
¯
=
e
⋅
M
N
¯
,
F
′
M
¯
=
e
⋅
M
N
′
¯
,
{\displaystyle {\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},}
e
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle e\in (0,1)}
F
M
¯
+
F
′
M
¯
=
e
⋅
(
M
N
¯
+
M
N
′
¯
)
{\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})}
Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi
e
∗
2
∗
(
a
/
e
)
{\displaystyle e*2*(a/e)}
F
M
¯
+
F
′
M
¯
=
e
⋅
a
e
=
2
a
,
{\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,}
Ellipses
Ellipse
Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1
Analitička geometrija ravnine – osnovne formule
^ Ellipse ^ Eccentricity ^ An ellipse is a central second-order curve with canonical equation 07. februar 2011. by 127.0.0.1 
![{\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e823743a50214588593f9e05a4eaa60e6e16d4)
![{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9856e7323531776bfbf85f9e6dea584d29ec7708)
![{\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1598070e9de15ce43de0b668d4fdcc4803843c)
![{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd246503ae5e29912d4149f118c5d7145d637085)
