En aquesta secció es detallen les qualitats més rellevants de les rectes a quart d'ESO. Entenem com a rectes les funcions que tenen expressions com
f
(
x
)
=
m
x
+
d
{\displaystyle f(x)=mx+d}
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
Recordem que donada la equació de la recta amb la incògnita
y
{\displaystyle y}
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
⇒
b
y
=
c
−
a
x
{\displaystyle \Rightarrow by=c-ax}
⇒
y
=
c
−
a
x
b
{\displaystyle \Rightarrow y={\frac {c-ax}{b}}}
⇒
f
(
x
)
=
c
−
a
x
b
{\displaystyle \Rightarrow f(x)={\frac {c-ax}{b}}}
⇒
f
(
x
)
=
c
b
−
a
b
x
.
{\displaystyle \Rightarrow f(x)={\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}x.}
Aquesta secció desenvolupa petites eines per treballar-les amb les rectes en general en qualsevol de les dues formes:
f
(
x
)
=
m
x
+
d
{\displaystyle f(x)=mx+d}
o
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
Aquestes eines són bàsiques per fer seguiment de cursos posteriors on les funcions no són rectes.
Els punts de la recta [ edit ] Tota recta està formada per punts, el mètode per escollir-ne un punt es la prova més senzilla que hi ha, per exemple:
Donada la recta
f
(
x
)
=
3
x
+
4
,
{\displaystyle f(x)=3x+4,}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
⇒
f
(
2
)
=
3
(
2
)
+
4
{\displaystyle \Rightarrow f(2)=3(2)+4}
⇒
f
(
2
)
=
10
{\displaystyle \Rightarrow f(2)=10}
y
=
10
{\displaystyle y=10}
(
2
,
10
)
{\displaystyle (2,10)}
Donada la recta
2
x
−
y
=
3
,
{\displaystyle 2x-y=3,}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
⇒
2
(
1
)
−
y
=
3
{\displaystyle \Rightarrow 2(1)-y=3}
⇒
2
−
y
=
3
{\displaystyle \Rightarrow 2-y=3}
⇒
−
y
=
3
−
2
{\displaystyle \Rightarrow -y=3-2}
⇒
−
y
=
1
{\displaystyle \Rightarrow -y=1}
⇒
y
=
−
1
{\displaystyle \Rightarrow y=-1}
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle (1,-1)}
Recta per dos punts [ edit ] Partint de dos punts qualssevol sobre la recta, es poden calcular o deduir molts elements, conceptes i eines, realment contenen la mateixa informació, vegeu-ne uns quants.
El vector director d'una recta és un vector "paral·lel" a la recta.[ 1]
Donats dos punts qualssevol
A
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}
B
=
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}
A
B
→
=
(
x
2
−
x
1
,
y
2
−
y
1
)
→
=
(
Δ
x
,
Δ
y
)
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})}}={\overrightarrow {(\Delta x,\Delta y)}}}
1) Vector director de
f
(
x
)
=
5
21
x
+
3
′
1416
,
{\displaystyle f(x)={\frac {5}{21}}x+3'1416,}
v
→
=
(
21
,
5
)
→
.
{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {(21,5)}}.}
2) Vector director de
3
x
−
7
y
=
4
′
6
,
{\displaystyle 3x-7y=4'6,}
v
→
=
(
7
,
3
)
→
.
{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {(7,3)}}.}
[ edit ] El pendent d'una recta és la tangent de l'angle d'aquesta recta o del vector director respecte l'horitzontal.
L'angle es calcula còmodament amb la tangent:
m
=
tan
θ
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle m=\tan \theta ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
⇒
θ
=
tan
−
1
Δ
y
Δ
x
.
{\displaystyle \Rightarrow \theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}
[ edit ] Per construir una recta de la forma
f
(
x
)
=
m
x
+
d
,
{\displaystyle f(x)=mx+d,}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
f
(
x
)
=
m
(
x
−
x
1
)
+
y
1
,
{\displaystyle f(x)=m(x-x_{1})+y_{1},}
Per construir una recta de la forma
a
y
+
b
x
=
c
,
{\displaystyle ay+bx=c,}
f
(
x
)
=
y
=
m
x
+
d
,
{\displaystyle f(x)=y=mx+d,}
⇒
−
m
x
+
y
=
d
.
{\displaystyle \Rightarrow -mx+y=d.}
1) Donats els punts
(
1
,
2
)
{\displaystyle (1,2)}
(
4
,
4
)
{\displaystyle (4,4)}
Vector director és
v
→
=
A
B
→
=
(
4
−
1
,
4
−
2
)
→
=
(
3
,
2
)
→
,
{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {(4-1,4-2)}}={\overrightarrow {(3,2)}},}
Pendent de la recta és
m
=
2
3
,
{\displaystyle m={\frac {2}{3}},}
Angle respecte l'horitzontal
θ
=
tan
−
1
2
3
=
33
,
69
∘
,
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {2}{3}}=33,69^{\circ },}
Recta pels punts és
y
=
2
3
x
{\displaystyle y={\frac {2}{3}}x}
y
=
2
3
(
x
−
x
1
)
+
y
1
{\displaystyle y={\frac {2}{3}}(x-x_{1})+y_{1}}
⇒
y
=
2
3
(
x
−
1
)
+
2
{\displaystyle \Rightarrow y={\frac {2}{3}}(x-1)+2}
⇒
3
y
=
2
(
x
−
1
)
+
6
{\displaystyle \Rightarrow 3y=2(x-1)+6}
⇒
3
y
=
2
x
−
2
+
6
{\displaystyle \Rightarrow 3y=2x-2+6}
⇒
3
y
−
2
x
=
4
,
{\displaystyle \Rightarrow 3y-2x=4,}
f
(
x
)
=
2
3
x
+
4
3
,
{\displaystyle f(x)={\frac {2}{3}}x+{\frac {4}{3}},}
−
2
x
+
3
y
=
4.
{\displaystyle -2x+3y=4.}
2)Donada la recta
f
(
x
)
=
3
5
x
+
23
′
1
{\displaystyle f(x)={\frac {3}{5}}x+23'1}
Vector director és
v
→
=
(
5
,
3
)
→
,
{\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {(5,3)}},}
Pendent de la recta és
m
=
3
5
,
{\displaystyle m={\frac {3}{5}},}
Angle respecte l'horitzontal
θ
=
tan
−
1
3
5
=
30
,
964
∘
.
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {3}{5}}=30,964^{\circ }.}
Recta perpendicular a un altra [ edit ] Per obtenir una recta inclinada amb un pendent concret havíem vist que era necessari, entre d'altres eines, un vector director.
Vectors perpendiculars [ edit ] Donat un vector
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle (a,b),}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
Dos vectors no nuls són perpendicular si els seu producte és zero, es a dir,
(
a
,
b
)
⋅
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=0}
[ 2] Desenvolupant el producte tenim
(
a
,
b
)
⋅
(
x
,
y
)
=
a
x
+
b
y
=
0
{\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=ax+by=0}
recta on els punts d'aquesta recta tenen les coordenades dels vectors perpendiculars.
Per tant el vector
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
a
x
+
b
y
=
c
,
{\displaystyle ax+by=c,}
Un truc per calcular-los tots és intercanviar les coordenades i un únic signe com
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle (b,-a)}
(
a
,
b
)
⋅
(
b
,
−
a
)
=
a
b
+
b
(
−
a
)
=
a
b
−
a
b
=
0
{\displaystyle (a,b)\cdot (b,-a)=ab+b(-a)=ab-ab=0}
Podem multiplicar o dividir el vector
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle (b,-a)}
n no nuls que vulguem ja que
(
a
,
b
)
⋅
(
n
b
,
−
n
a
)
=
a
n
b
+
b
(
−
n
a
)
=
n
(
a
b
−
a
b
)
=
n
0
=
0
{\displaystyle (a,b)\cdot (nb,-na)=anb+b(-na)=n(ab-ab)=n0=0}
Per tant una recta perpendicular a la recta
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
b
x
−
a
y
=
d
{\displaystyle bx-ay=d}
Exemple:
1) Donat el vector
(
2
,
5
)
,
{\displaystyle (2,5),}
2
x
+
5
y
=
0
{\displaystyle 2x+5y=0}
(
5
,
−
2
)
.
{\displaystyle (5,-2).}
2) Donada la recta
2
x
−
3
y
=
10
,
{\displaystyle 2x-3y=10,}
(
2
,
−
3
)
{\displaystyle (2,-3)}
(
3
,
2
)
,
{\displaystyle (3,2),}
3
x
+
2
y
=
0.
{\displaystyle 3x+2y=0.}
Si fem un dibuix s'entén millor ja que veuríem clarament el procediment directe per passar de
2
x
−
3
y
=
10
{\displaystyle 2x-3y=10}
3
x
+
2
y
=
0.
{\displaystyle 3x+2y=0.}
Escola secundària
[ edit ]
↑ Encara que sigui intuïtiu, no s'ha introduït el concepte de generador encara.
↑ Vectors no nuls vol dir vectors que no siguin iguals a
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (0,0).}
