Тэнзар напружанняў

Тэнзар напружанняў — тэнзар другога рангу, які складаецца з дзевяці велічынь, якія прадстаўляюць механічныя напружанні ў адвольнай кропцы нагружанага цела. У дэкартавай сістэме каардынат гэтыя дзевяць велічынь запісваюцца ў выглядзе табліцы, у якой па галоўнай дыяганалі стаяць нармальныя складнікі вектараў напружанняў на трох узаемна перпендыкулярных пляцоўках, што праходзяць праз разгляданую кропку асяроддзя, а ў астатніх пазіцыях — датычныя кампаненты вектараў напружанняў на гэтых пляцоўках.

Поўны тэнзар механічнага напружання элементарнага аб’ёму цела. Літарай σ абазначаны нармальныя механічныя напружанні, а датычныя — літарай τ.

Кампаненты тэнзара напружанняў $\sigma _{ij}$ у дэкартавай сістэме каардынат $Ox_{i}$ уводзяць наступным чынам. Разглядаюць бесканечна малы аб’ём цела ў выглядзе прамавугольнага паралелепіпеда, грані якога артаганальныя каардынатным восям і маюць плошчы $dS_{i}$. На кожнай грані $dS_{i}$ паралелепіпеда дзейнічаюць паверхневыя сілы $dF_{i}$. Калі пазначыць праекцыі гэтых сіл на восі $Ox_{j}$ як $dF_{ij}$, то кампанентамі тэнзара напружанняў называюць адносіну праекцый сілы да велічыні плошчы грані, на якой дзейнічае гэта сіла:

$\sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}.$

Па індэксе $i$ тут падсумоўвання няма. Кампаненты $\sigma _{11}$, $\sigma _{22}$, $\sigma _{33}$, якія абазначаюцца таксама як $\sigma _{xx}$, $\sigma _{yy}$, $\sigma _{zz}$, — гэта нармальныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы $dF_{i}$ на нармаль да плошчы разгляданай грані $dS_{i}$:

$\sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}.$

Кампаненты $\sigma _{12}$, $\sigma _{23}$, $\sigma _{31}$, якія абазначаюцца таксама як $\tau _{xy}$, $\tau _{yz}$, $\tau _{zx}$, — гэта датычныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы на напрамкі, датычныя да плошчы разгляданай грані $dS_{i}$:

$\sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}.$

Пры адсутнасці ўласнага моманту імпульсу суцэльнага асяроддзя, а таксама аб’ёмных і паверхневых пар тэнзар напружанняў сіметрычны. Гэта вынікае з ураўнення балансу моманту імпульсу. У прыватнасці, тэнзар напружанняў сіметрычны ў класічнай тэорыі пругкасці і гідрадынаміцы ідэальнай і лінейна-глейкай вадкасцей.

Гл. таксама

• Тэорыя пластычнасці
• Тэорыя пругкасці
• Тэнзар дэфармацыі
• Тэнзар пругкасці
• Закон Гука