Законы Дэ Моргана
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Demorganlaws.svg/220px-Demorganlaws.svg.png)
Правілы пераўтварэньня |
---|
Зьлічэньне выказваньняў |
Правілы вывядзеньня |
Правілы падстаноўкі |
Прэдыкатная лёгіка |
Правілы вывядзеньня |
Зако́ны[1][2][3], або пра́вілы Дэ Мо́ргана — два правілы пераўтварэньня ў лёгіцы выказваньняў і булевай альгебры, якія зьяўляюцца адначасна і дзейнымі правіламі вывядзеньня. Названыя ў гонар брытанскага матэматыка XIX стагодзьдзя Агастэса Дэ Моргана. Гэтыя правілы дазваляюць выразіць кан’юнкцыю і дыз’юнкцыю адна праз другую з дапамогай адмаўленьня.
Словамі гэтыя правілы можна выразіць так:
- Адмаўленьне дыз’юнкцыі ёсьць кан’юнкцыя адмаўленьняў
- Адмаўленьне кан’юнкцыі ёсьць дыз’юнкцыя адмаўленьняў
ці
- Дапаўненьне аб’яднаньня двух мностваў роўнае перасячэньню іхніх дапаўненьняў
- Дапаўненьне перасячэньня двух мностваў роўнае аб’яднаньню іхніх дапаўненьняў
ці
- не (A або B) = (ня A) і (ня B)
- не (A і B) = (ня A) або (ня B)
дзе «A ці B» ёсьць «інклюзіўным або», то бок прынамсі адзін з A або B, а ня «выключальнае або», якое патрабуе дакладна адно з A або B.
Па сваёй сутнасьці гэтыя законы — гэта сувязь максімума празь мінімум і наадварот. Дыз’юнкцыя грае ролю максімума, кан’юнкцыя — мінімума. Такая сувязь дзейнічае ня толькі ў дыскрэтных прасторах:
У тэорыі мностваў і булевай альгебры яны фармальна запісваюцца такім чынам:
дзе
- і — мноствы,
- — дапаўненьне ,
- — перасячэньне,
- — аб’яднаньне.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/In_Quest_of_Univeral_Logic_Morgan.png/400px-In_Quest_of_Univeral_Logic_Morgan.png)
Законы Дэ Моргана ў запісе фармальнай мовай выглядаюць так:
і
дзе
- P і Q — выказваньні,
- — апэратар лягічнага адмаўленьня (NOT),
- — апэратар лягічнай кан’юнкцыі (AND),
- — апэратар лягічнай дыз’юнкцыі (OR),
- — мэталягічны сымбаль са значэньнем «можа быць заменены ў лягічным доказе на», часта называны папросту «тады і толькі тады». У любым спалучэньні ісьцінных/ілжывых значэньняў P і Q левы і правы бакі стрэлкі пасьля вылічэньняў будуць мець аднолькавыя значэньні ісьціннасьці.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/De_Morgan%27s_law_with_set_subtraction_operation.png/220px-De_Morgan%27s_law_with_set_subtraction_operation.png)
Яшчэ адна форма выражэньня законаў Дэ Моргана прыведзеная на схеме справа.
Правілы Дэ Моргана прымяняюцца дзеля спрашчэньня лягічных выразаў у кампутарных праграмах і распрацоўцы мікрасхемаў. Гэтыя правільны ёсьць прыкладам шырэйшага панятку матэматычнай дуальнасьці.
Мінуўшчына
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Законы названыя ў гонар Агастэса Дэ Моргана (1806—1871)[5], які ўвёў у клясычнае зьлічэньне выказваньняў фармальную вэрсію законаў. Што праўда, яшчэ Арыстотэль правёў падобныя назіраньні, таму старажытным грэкам і сярэднявечным лёгікам яны былі вядомыя[6]. Прыкладам, у XIV стагодзьдзі Ўільям Окам выразіў правілы словамі на паперы[7]. Жан Бурыдан у сваёй Summulae de Dialectica таксама апісвае законы перамяненьня, якія адпавядаюць дэморганавым[8]. Тым ня меней, менавіта Дэ Морган сфармуляваў іх у тэрмінах сучаснай фармальнай лёгікі і паклаў іх на мову лёгікі. Гэтыя фармулёўкі лёгка даказаць, і яны нават выглядаюць трывіяльнымі[9].
Нефармальны доказ
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Дэмораганава тэарэма можа дастасоўвацца да адмаўленьня дыз’юнкцыі або адмаўленьня кан’юнкцыі ва ўсіх частках формулы.
Адмаўленьне дыз’юнкцыі
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Дзеля дастасаваньня да дыз’юнкцыі разгледзім такое сьцьверджаньне: «Хлусьня тое, што альбо A, альбо B ісьцінныя» — якое запісваецца так:
Такім чынам, паколькі ані A, ані B ня ісьцінныя, адсюль вынікае, што як A ня ісьціннае, так і B ня ісьціннае, што можна запісаць так:
Калі б A ці B былі ісьціннымі, тады дыз’юнкцыя а A і B была б ісьціннай, а ейнае адмаўленьне хлусьлівым. Словамі гэта адпавядае лёгіцы «паколькі абодва сьцьверджаньні хлусьлівыя, то хлусьліва і тое, што адно зь іх ісьціннае».
І наадварот, другі выраз сьцьвярджае, што A хлусьлівае і B хлусьлівае (або іначай, «ня A» і «ня B» ісьцінныя). Ведаючы гэта, ведаем, што і дыз’юнкцыя A і B таксама будзе хлусьлівай. А адмаўленьне такой дыз’юнкцыі будзе ісьцінным, што ідэнтычна першаму сьцьверджаньню.
Адмаўленьне кан’юнкцыі
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]Дастасаваньне тэарэмы Дэ Моргана да кан’юнкцыі падобна дастасаваньню да дыз’юнкцыі як у форме, так і ў доказе. Разгледзім такое сьцьверджаньне: «Хлусьня тое, што A і B абодва ісьцінныя» — якое запісваецца так:
Каб гэтае сьцверджаньне было ісьцінным, адно з ці абодва A і B мусяць быць хлусьлівымі, бо калі б яны абодва былі ісьціннымі, то кан’юнкцыя A і B была б ісьціннай, тады сьцьверджаньне стала б хлусьлівым. Адсюль (прынамсі) адно ці болей з A і B мусяць быць хлусьлівымі (або іначай, адно ці болей зь «ня A» і «ня B» мусяць быць ісьціннымі). Гэта можна запісаць так:
Кажучы простай мовай, гэта адпавядае лёгіцы «паколькі сьцьверджаньне пра тое, што абодва сьцьверджаньні ісьцінныя — хлусьлівае, прынамсі адно зь іх мусіць быць хлусьлівым».
І зноўку ў адваротным кірунку, другі выраз сьцьвярджае, што прынамсі адно зь «ня A» і «ня B» мусяць быць ісьціннымі (або іначай, прынамсі адно з A і B мусіць быць хлусьлівым). Паколькі прынамсі адно зь іх хлусьлівае, тады іхняя кан’юнкцыя таксама будзе хлусьлівай. Адмаўленьне такой кан’юнкцыі становіцца ісьцінным, што ідэнтычна першаму сьцьверджаньню.
Глядзіце таксама
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- Пазытыўная лёгіка
- Ізамарфізм — апэратар NOT ёсьць ізамарфізмам між пазытыўнай і нэгатыўнай лёгікай
Крыніцы
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- ^ Irving M. Copi, Carl Cohen, Kenneth McMahon. Introduction to Logic.
- ^ Hurley, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. — 12th. — Cengage Learning, 2015. — ISBN 978-1-285-19654-1
- ^ Moore, Brooke Noel Critical thinking. — 10th. — New York: McGraw-Hill, 2012. — ISBN 978-0-07-803828-0
- ^ Kashef, Arman. In Quest of Univeral Logic: A brief overview of formal logic's evolution. — 2023.
- ^ DeMorgan’s Theorems at mtsu.edu
- ^ Bocheński’s History of Formal Logic
- ^ William of Ockham, Summa Logicae, part II, sections 32 and 33.
- ^ Jean Buridan, Summula de Dialectica. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
- ^ Augustus De Morgan (1806—1871) by Robert H. Orr
Літаратура
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- Логіка выказванняў: вучэбны дапаможнік / Гарбузаў, Віктар Мікалаевіч; Немец, Уладзімер Сьцяпанавіч; ГрДУ імя Я. Купалы. — Гродна: ГрДУ, 1997. — 44 с.
- Матэматыка: вучэб.-мэтад. дапам. У 2 ч. Ч. 1 — 2-е выд., перапрац. / Баранцэвіч, Канстанцін Зянонавіч; Пакала, Аляксандар Анатольевіч. — Мн., БДПУ, 2005. — 176 с.
- Матэматыка: вучэб.-мэтад. дапам. У 2 ч. Ч. 1. / Баранцэвіч, Канстанцін Зянонавіч; Пакала, Аляксандар Анатольевіч. — Мн., 1996.
- Геаметрыя 7 — 11. / Пагарэлаў А. — Мн., 1991.
- Задачнік-практыкум па матэматыцы / Пакала А. А. — Мн., 1994.
- Асновы пачатковага курса матэматыкі / Стойлава Л. П., Пышкала А. М.— Мн., 1990.
Вонкавыя спасылкі
[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]- Законы Дэ Моргана Матэматычная энцыкляпэдыя. EMS Press (2001).
- Weisstein, Eric W. Законы Дэ Моргана MathWorld
- Законы Дэ Моргана на PlanetMath.
- Дуальнасьць у лёгіцы і мове, Інтэрнэт-энцыкляпэдыя філязофіі.