وحيد الحد

وحيد الحد أو ذو الاسم (ج. ذوات الاسم) والمفرد («أحادي الحدود») في الرياضيات، في سياق كثيرات الحدود، أحد أمرين مختلفين:

• مضاريب قوى المتغيرات.
• أو المعنى السابق بالإضافة للسماح بالضرب في أية ثوابت.

هذا المقال يركز على المعنى الأول.

أحادية الحدود أساسا

أول حقيقة بديهية حول أحاديات الحدود هي أن كل متعددة للحدود هي تركيبة خطية لعدد معين منهن. وبذلك، فإنهن يمثلن قاعدة للفضاء المتجهي لمتعددات الحدود.

العدد

عدد أحاديات الحدود من الدرجة d في n من المتغيرات هو عدد التوافيق مع التكرار (لا يهم الترتيب، ويمكن تكرارالمتغيرات)، والتي تعطى بمعامل المجموعة المتعددة $\textstyle {\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}.$ بدلالة معاملات ثنائية حدودومن ثم مضروب تصاعدي, يعطى هذا بالعلاقة

$\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{(n-1)}.$

الصورة الأخيرة مفيدة بالذات كوننا نثبت عادة عدد المتغيرات ونغير في درجة بالمقابل لتثبيت بعد الفضاء. من هذا التعبير يجد المرء أنه لأجل n ثابتة يكون عدد أحاديات الحدودمن الدرجة d هو كثيرة حدود في d من الدرجة $n-1$ ومعامل أسبق $1/(n-1)!$

فمثلاً، عدد أحاديات الحدودفي ثلاثة متغيرات ($n=3$) هو $\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{(2)}=\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2),$ يكون الأعداد المثلثية، التي حدودها الأولى هي $1,3,6,10.$

علامات

يعد تمثيل أحاديات الحدود مطلوبا في مجالات مثل المعادلات التفاضلية الجزئية. إذا كانت المتغيرات المستعملة تشكل عائلة مفهرسة مثل $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$,...، فإن من المفيد استعمال علامة متعددة الفهرسة: إذا كتبنا

$\alpha =(a,b,c)$

يمكن تعريف

$x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}$

وتوفير الكثير من الوقت والكتابة.

انظر أيضا

• ذو اسمين
• ذو ثلاثة أسماء
• متعددة حدود متجانسة
• دالة متجانسة