دوال زوجية وفردية

في الرياضيات، الدوال الزوجية (بالإنجليزية: Even functions)‏ والدوال الفردية (بالإنجليزية: Odd functions)‏ هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل.^[1]

هذه الدوال مهمة في العديد من مجالات التحليل الرياضي، وخصوصا في متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه.

تعريف

ƒ(x) = x² مثال على الدوال الزوجية.

تكون دالة ما زوجية إذا تحقق $f(-x)=f(x)$ لكل قيم $x$ . أي أن قيمة $y=f(x)$ لا تتغير عند وضع $-x$ بدلاً من $x$ .

إذا لم تكن الدالة زوجية، فهي إما أنها دالة فردية أو أنها لا زوجية ولا فردية.

ƒ(x) = x³ مثال على الدوال الفردية.

'الدالة الفردية أو الاقتران الفردي، وتكون الدالة f فردية إذا كان $f(-x)=-f(x)$ لكل قيم $x$ .

فمثلا $f(x)=\sin(x)$ هي دالة فردية.

لأن $\sin(-x)=-\sin(x)$ مهما كانت $x$ .

${\mathcal {}}p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{0}$

حيث $n$ عدد زوجي، $\ P(x)=P(-x)$ و الإشارة السالبة ستختفي من كل حد بسبب القوى الزوجية.

مثال :

الدالة التربيعية $\ y=f(x)=x^{2}+5$

هي دالة زوجية لأن قيمة y لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،

$\ (-3)^{2}=3^{2}=9$

$y=\cos x$

$\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert$

الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا $f(x)=f(-x)=-f(x)$ . هي الدالة الوحيدة التي تحقق هذه الخاصية.

جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر.

متناظرة حول محور التراتيب، حيث يظهر ذلك في تمثيل الدوال الزوجية. و الدالة الفردية متناظرة بالنسبة للمبدا

^ Berners، Dave (أكتوبر 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics". UA WebZine. Universal Audio. مؤرشف من الأصل في 2018-01-01. اطلع عليه بتاريخ 2016-09-22. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.