2025-01-16

相談記事：こんな感じであってますかね？

自由研究・独自研究

学生の研究指導をしている中で、こんな問題に行き当たりました。
色々考えているうちに、自分の中で整理は出来てきたのですが、このような整理でよいのかどうか自信が持てずにいます。
（私が知らないだけで、定番っぽい問題な気もするのですが・・・）

なお、この問題は学生の研究の本題とは直接関係ありませんので、その点はお気になさらず。

頂点集合 $V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の完全グラフ $G$ を考えます。頂点数はさして問題ではないので一般に $n = |V|$ としておきます。

各辺には距離 $d(i, j)$ が設定されています。

頂点 $i$ から頂点 $j$ へと条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移することを考えます。初期状態 $t = 0$ は確率 $p(i)$ で決まります。

$t = 0$ から初めて、頂点間を $t = T$ ステップ遷移することを考えたとき、そのパスの距離の総和は期待値は？

という問題です。

複雑な計算になりそうなので、 $T = 1, 2$ あたりから計算してみます。

$T = 1$ のとき：
$t = 0$ で確率 $p(i)$ で頂点 $i$ が選ばれます。
そこから $t = 1$ のとき、頂点 $j$ に条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移します。

したがって、確率 $p(i) p(j | i)$ でパス $i\to j$ を通ります。そのパスの距離は $d(i, j)$ なので、パスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} p(i) p(j | i) d(i, j) \tag{1}$

となります。

$T = 2$ のとき：
$t = 0$ で確率 $p(i)$ で頂点 $i$ が選ばれます。
$t = 1$ のとき、頂点 $j$ に条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移します。
$t = 2$ のとき、頂点 $k$ に条件付き確率 $p(k | j)$ で遷移します。

したがって、確率 $p(i) p(j | i) p(k | j)$ でパス $i\to j \to k$ を通ります。そのパスの距離は $d(i, j) + d(j, k)$ なので、パスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} p(i) p(j | i) p(k | j) \left(d(i, j) + d(j, k) \right) \tag{2}$

となります。

このまま続けていくと、どんどん変数が増えて大変なので、次のように書き換えます：

$\displaystyle \begin{align*} &\sum_{i_2 = 1}^{n} \sum_{i_1 = 1}^{n} \sum_{i_0 = 1}^{n} p(i_0) p(i_1 | i_0) p(i_2 | i_1) \left(d(i_0, i_1) + d(i_1, i_2) \right) \\ &= \sum_{i_2 = 1}^{n} \sum_{i_1 = 1}^{n} \sum_{i_0 = 1}^{n} \left\{ p(i_0) \prod_{t=1}^{2} p(i_{t} | i_{t-1}) \left(\sum_{t=1}^{2} d(i_{t-1}, i_t) \right) \right\} \end{align*}$

一般に $T$ ステップ遷移した際のパスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{(i_0, i_1, \ldots, i_T) \in V^{T+1}} \left\{ p(i_0) \prod_{t=1}^{T} p(i_{t} | i_{t-1}) \left(\sum_{t=1}^{T} d(i_{t-1}, i_t) \right) \right\} \tag{3}$

となります。

・・・たぶんこれでいいと思うんですが、もうちょっとすっきりしないですかね？

もう少しすっきりできる？

と、ここまで考えて、もうちょっと整理できそうな気がしました。

今考えている問題は、長さ $T$ のパス $w = i_0 \to i_1 \to \cdots \to i_T$ の距離の総和の期待値を考える問題でした。

パス $w = i_0 \to i_1 \to \cdots \to i_T$ の生起確率を $p(w)$ とすると、これは

$\displaystyle p(w) := p(i_0, i_1, \cdots, i_T) = p(i_0) \prod_{t=1}^{T} p(i_{t} | i_{t-1}) \tag{4}$

です。そのパス $w$ の距離の総和を $d(w)$ で表すと、これは

$\displaystyle d(w) := \sum_{t=1}^{T} d(i_{t-1}, i_t) \tag{5}$

となります。

以上から、長さ $T$ のパスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_w p(w)d(w) \tag{6}$

ただし、総和記号は長さ $T$ のパス $w$ をわたる。と単に表してもよさそうです。

グラフィカルモデルとか、そういう文脈でこういう問題たくさん出てきそうな気がするんですが、どうやって表すんですかね？

知っている方がいましたら教えてください。

2024-12-01

バーコフのダイヤモンドリングを作ってみた

数学日曜数学アドベントカレンダーおすすめの記事

本記事は日曜数学 Advent Calendar 2024の1日目の記事です。

ご無沙汰しています。日曜数学者のtsujimotterです。

2024年も日曜数学アドベントカレンダーを立ち上げまして、今日の記事はその1日目の記事となります。
adventar.org

明日話したくなる数学豆知識 (2014)から数えると、なんと 11年目（素数）です。

おかげさまで既に全日25件が埋まっております。ありがたいことですね。記事が投稿されるのを楽しみにしています！

今日はバーコフのダイヤモンドの話がしたい

日曜数学アドベントカレンダーは、自分が好きなトピックについて熱く語るのが主旨です。
今日は、私の現在一番のお気に入り概念である

バーコフのダイヤモンド

について、熱く語りたいと思います。

知り合ったきっかけは、YouTubeの下記動画を作るために、四色問題について勉強していたときでした。
www.youtube.com

バーコフのダイヤモンドとは、四色問題で扱われる地図の一部分を表す図形のことで、こんな形をしています。

「四色問題の最小の反例に出てこない配置」という大変魅力的な性質を持っています。

現時点ではなんのこっちゃ分からなくても、後々説明していきますのでご安心ください。

先走ってしまいましたが、まずは四色問題（四色定理）について順を追って説明したいと思います。

今回の話が難しいなと思った人は、ぜひ記事の最後のセクションまで飛んで、そこだけでも読んでみてもらえると嬉しいです！

2024-08-22

【旧ブログ記事】40-32÷2=4!の一般解

数学自由研究・独自研究

本記事は2012年5月10日に、当時のtsujimotterが骨折で入院中に暇を持て余して執筆し、旧ブログで公開していた記事の再掲です。
久しぶりに読んで面白かったのと、旧ブログは将来無くなる可能性があることから、tsujimotterのノートブックにも載せておこう思います。よろしければご覧いただければと思います。
できるだけ当時の雰囲気を残しておきたいので、文章には原則手を入れていません。