ホーム素数 - INTEGERS

$1$ より大きい整数 $n$ を素因数分解して、小さい素数順に繰り返し込みで十進法でくっつけるという操作を繰り返す遊びを考えます。例えば、 $4$ の場合は

$4=2\times 2 \to 22 = 2 \times 11 \to 211$

という感じで、素数に到達すれば終了します( $211$ は素数)。任意の $n$ に対してこの操作が有限回で終了するかどうかは証明されていないと思われますが*1、終了した場合の最後の素数のことを $n$ のホーム素数と呼んで $\mathrm{HP}(n)$ と表します。

素数 $p$ に対しては $\mathrm{HP}(p)=p$ なので、 $n$ が合成数のときが面白いです。 $211$ は最初に現れる「合成数のホーム素数」という特徴を持つことがわかりますが、 $23$ は最小の「合成数のホーム素数」です*2。

$6 = 2 \times 3 \to 23$

次の $\mathrm{HP}(8)$ は少し大きくなります:

$\begin{align} 8&=2\times 2 \times 2 \\ &\to 222 = 2 \times 3 \times 37 \\ &\to 2337 = 3\times 19 \times 41 \\ &\to 31941 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 13 \times 13 \\ &\to 33371313 = 3 \times 11123771 \\ &\to 311123771 = 7 \times 149 \times 317 \times 941 \\ &\to 7149317941 =229 \times 31219729 \\ &\to 22931219729 = 11 \times 2084656339 \\ &\to 112084656339 = 3 \times 347 \times 911 \times 118189 \\ &\to 3347911118189 = 11 \times 613 \times 496501723 \\ &\to 11613496501723 = 97 \times 130517 \times 917327 \\ &\to 97130517917327 = 53 \times 1832651 281459 \\ &\to 531832651281459 = 3\times 3 \times 3 \times 11 \times 139 \times 653 \times 3863 \times 5107 \\ &\to 3331113965338635107\end{align}$

$\mathrm{HP}(9)$ から $\mathrm{HP}(48)$ は数値だけ紹介しましょう:

$\begin{align}\mathrm{HP}(9)&= 311 \\ \mathrm{HP}(10)&= 773 \\ \mathrm{HP}(12)&= 223 \\ \mathrm{HP}(14)&= 13367 \\ \mathrm{HP}(15)&= 1129 \\ \mathrm{HP}(16)&= 31636373 \\ \mathrm{HP}(18)&= 233 \\ \mathrm{HP}(20)&= 3318308475676071413 \\ \mathrm{HP}(21)&= 37 \\ \mathrm{HP}(22)&= 211 \\ \mathrm{HP}(24)&= 331319 \\ \mathrm{HP}(25)&= 773 \\ \mathrm{HP}(26)&= 3251 \\ \mathrm{HP}(27)&= 13367 \\ \mathrm{HP}(28)&= 227 \\ \mathrm{HP}(30)&= 547 \\ \mathrm{HP}(32)&= 241271 \\ \mathrm{HP}(33)&= 311 \\ \mathrm{HP}(34)&= 31397 \\ \mathrm{HP}(35)&= 1129 \\ \mathrm{HP}(36)&= 71129 \\ \mathrm{HP}(38)&= 373 \\ \mathrm{HP}(39)&= 313 \\ \mathrm{HP}(40)&= 3314192745739 \\ \mathrm{HP}(42)&= 379 \\ \mathrm{HP}(44)&= 22815088913 \\ \mathrm{HP}(45)&= 3411949 \\ \mathrm{HP}(46)&= 223 \\ \mathrm{HP}(48)&= 6161791591356884791277 \end{align}$