ベイズの定理（入門編）

前回のエントリーで予告した通り、今回は「ベイズの定理」です。

事前に断っておきますが、ベイズの定理は簡単です。
内容は小学生レベルの算数ですから、解らなくても自信を持って何回か読みなおせば絶対にわかります。
（わからなかったらコメントに質問してね）

ベイズの定理ってなんぞ？

ベイズの定理とはトーマス・ベイズ(1702-1761)というイギリスの牧師によって発見されました。

今やベイズの定理はあらゆる所に使われいます、スパムメールを振り分けたり、犯罪捜査に使われたり、マーケティングに使われたり、人工知能に使われたり、沈没しちゃった潜水艦を見つけたり、株の売買に使われたり、結婚相手を見つけちゃったり・・・
ベイズ万能すぎるだろ！！

「ベイズの定理」を理解はしなくても、言葉だけでも覚えていれば何かと便利です。
何かしらの問題に直面した際に、

「ふむ・・・このxにベイズの定理を使えば・・・」

とつぶやくだけで、それっぽく見えるのでオススメです。
（「バルキスの定理」くらい万能ですので、使用は自己責任でお願いします）

ベイズの前に「条件付き確率」

ベイズの定理を理解するには、みんなが大嫌いな「条件付き確率」を理解しなくてはなりません。

「条件付き確率」とは、

ある事象Bが起こる条件下で、別の事象Aが起こる確率のこと。
記号ではP(A|B)と表す。

という事です。
OK,OK、君の言いたい事はよく解ってる、よくわからないんだろ？
例えば「あなたは男だとして、イケメンである確率は？」という問題があった場合、先ほどの記号で表すと「P(イケメン|男)」となります。
P(A|B)で、Bが前提の上でAがで成り立つ確率となります。

ここで１つ有名な問題を出しましょう。

隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち１人が女の子である事が解りました。*1
隣家のお母さんに「女のお子さんはいますか？」と質問した所「はい」と答えました。
このとき、もう１人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか？
※なお、男女比は1:1とする。

答えを記号で表すと「P(2人とも女の子|1人が女の子)」となります。
考え方としては、子供２人の組み合わせは「姉妹」、「姉弟」、「兄妹」、「兄弟」の4通りです。
「1人が女の子」という前提条件があるため、「兄弟」が除外され「姉妹」、「姉弟」、「兄妹」の3通りとなります。
その３通りの中で「姉妹」が当たる確率を求めればいいのですから、答えは「1/3」です。
「1/2」だと思った方、猛省してください。

いよいよベイズの定理

「ベイズの定理」とは、まさしく今まで説明してきた「条件付き確率」を求めるための計算式なのです。
まずは「ベイズの定理」を見てましょう。

P(A|B) = P(A∧B) / P(B)

「P(B)」は事前確率と呼ばれ、単純にBが起こる確率です。
（ちなみに「P(A|B)」は事後確率と呼ばれます）

「P(A∧B)」は同時確率と呼ばれ、AとBの両方の事象が成り立つ確率です、∧は論理記号で論理積を表し、「(A∧B)」は「AかつB (A and B)」という意味となります。

「P(A∧B)」が難しい！と思った方、ほとんどの場合は「P(A∧B)」=「P(A)」と思ってOKです。
ごく稀に例外となる問題もありますが、そういう問題は事前情報が欠けていたりなど、どこか不自然な問題が殆どです。
だから解らない人は無理せずに、こう覚えておいてください、その内慣れてきますから :-)

ベイズの定理に関してはここで面白い問題を見つけました。20年前の早稲田大学の入試問題だそうです。

５回に１回の割合で帽子を忘れるくせのあるＫ君が、正月に Ａ、Ｂ、Ｃ ３軒を順に年始回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。２軒目の家 Ｂ に忘れて
きた確率を求めよ。

正直、どの家で忘れたかよりも、K君が心配ですが・・・
普通に考えれば、Bの家で忘れた確率は「4/5×1/5=4/25」（A家で忘れない確率×B家で忘れる確率）ですよね。
しかし、上記の確率では「３軒回って帽子を忘れない確率」も含まれています、「帽子を忘れている」という前提条件がついている事に注意です。
条件付き確率の記号で表すと「P(B家で忘れた確率|帽子を忘れた確率)」となり、ベイズの定理を使うと以下の式になります。

P(帽子を忘れた確率) =
　　(1/5)+(4/5×1/5)+(4/5×4/5×1/5) =
　　　　61/125

P(帽子を忘れた確率∧B家で忘れた確率) =
　　P(B家で忘れた確率) =
　　　　(4/5×1/5) = 4/25

P(B家で忘れた確率|帽子を忘れた確率) =
　　P(帽子を忘れた確率∧B家で忘れた確率) / P(帽子を忘れた確率) =
　　　　(4/25)/(61/125) = 20/61

答えは「20/61」となります、簡単でしょ？

前エントリーの問２をベイズの定理で解いてみよう

前エントリーの問２をベイズの定理で解いてみましょう。

多くの方が「扉を変える2/9、扉を変えない2/9、無効になる5/9」と答えていたのが印象的でした。
確かにこれでも間違いではありませんが、条件付き確率を理解しているとは言えません。

問２では「地震で無効にならなかった」という前提条件が付き、「P(扉を変えて当たる確率|地震で無効にならない確率)」を求めるので、以下の様になります。

P(扉を変えて当たる確率) = (4/9)×(1/2)
P(地震で無効にならない確率) = 4/9

P(扉を変えて当たる確率|地震で無効にならない確率) =
　　P(扉を変えて当たる確率) / P(地震で無効にならない確率) =
　　　　( (4/9)×(1/2) )/(4/9) = 1/2

となり、答えは「1/2」となります。

まぁ、「変えるか、変えないか」の2択問題なのに「2/9と2/9」という答えはおかしいですよね

私が髪型で「7:3分け」にしようか「真ん中分け」にしようか悩んでいるところへ、

「2:2分けがいいよ^^」

と言ってるようなもんです。
残りの6はどこに？っていうか、ハ、ハゲちゃうわ！！

「残りの6は、近い将来なくなる可能性が高いので除いておきました^^」

く・・・くやしぃ！！

長くなったので続きます

自分でもベイズの定理で曖昧な部分があり、備忘録も兼ねて説明を書きました。
本当はベイズの定理でもっと面白い事が出来るんですが、それはまた次回に。

P.S
確率問題「トランプと3つの箱」 - kojetteの研磨日記にベイズの定理の問題が出ています、ベイズの定理の有効性を示す問題として非常によく出来ています。
時間があったら解いてみると面白いと思います。
（まだ解答が未発表です、私も解答しているけど間違ってたら非常にカッコ悪い・・・）

*1:この言い方だと、問題が確立しないので変更しました、id:kojetteさん、ありがとうございます