モナド関係で、KMさんと酒井さんにコメントをいただいて、僕もコメント欄に書き込みました。話が少しややこしくなったので、このエントリーで続きを。
コメント欄のやりとりで分かったことは、“Haskellのモナド”がモナドもどきではなくて、どうも、正真正銘の圏論的モナドであるらしいことです。であれば、Haskell知らずの僕が語ってもまー大丈夫かな、と。（メモ編に書くべき内容かもしれないけど。）
Listは典型的モナドに思えないかも知れない
「Listモナドは典型的モナドだ」と僕は書いたのだけど、Haskellのヒトには違和感あるかもしれないですね -- Listはたいていのプログラミング言語でサポートされている平凡なデータ構造ですから。状態遷移とか入出力のような副作用を表現するモナドのほうが“モナドらしい”のでしょう、おそらく（憶測モード）。そうであってもなお、Listがやっぱり典型例なのは事実なので、主にListの例で話をします。
そのListの例で僕は、flattenとsingletonという関数を主役にしたのですが、Haskellでは「>>=」という演算子が基本のようです（singletonとreturnは同じ）。flattenと>>=は、相互に相手を定義可能なので、どちらを基本に採用するかは好みの問題です。もっとも、プログラミングでは>>=のほうが扱いやすいと感じる人が多いみたいですが。
記号法と定義法を整理する
用語や記号法の流儀がいろいろあるので、ちょっとまとめておきます。Mはモナド（Listだと思ってもよい）だとします。正確には、Mはモナドを構成する一部品に過ぎませんが、気にしない方向で。
| 概念の名称 | 圏論(の多数派)の記法 | (一部の)プログラミング言語の記法 |
|---|---|---|
| 関数適用 | f(a) | f(a), f a |
| 型パラメータ、対象 | X | X, x |
| XからYへの関数（射） | f:X→Y | Y f(X a), f:: x -> y |
| 型構成子(の結果)、関手の対象部分 | M(X) | M |
| 持ち上げ、関手の射部分 | M(f), f* | map(f), fmap(f), lift(f) |
| モナド乗法 | μ | flatten, join, union, concat |
| モナド単位 | η | singleton, unit, return |
| 拡張 | f#, f^, f* | f =<<, (>>= f) |
[追記 date="20060422"]拡張に対応する記号「>>=」「=<<」に関しては、「さらに『モナド入門』に補足：記号だの図だの」に書きました。[/追記]
モナドの定義法の代表的なものとして、代数的な（一種のモノイドとみなす）スタイルと、拡張（extension）を使うスタイルの2つがあります。上の表にあげた概念のなかで、(型構成子, 持ち上げ, モナド乗法, モナド単位)を使って定義するのが代数スタイル、(型構成子, モナド単位, 拡張)を使うのが拡張スタイルです。(型構成子, モナド単位, 拡張)の3つ組はKleisliトリプルと呼ばれます（昔は、モナドのことを単にトリプルと呼んでいたりした）。
2つのスタイルの定義と、それらが同値であることを以下で説明しますが、次の記法を使うことにします（Listの例にだいたいあわせる）。
- 関数適用 -- f(x)
- 型パラメータ -- X
- XからYへの関数 -- f:X→Y
- 型構成子(の結果) -- M(X)
- 持ち上げ -- f*
- モナド乗法 -- flatten
- モナド単位 -- singleton
- 拡張 -- f^
- 拡張＋適用 -- >>= （二項中置演算子とみなす）
それと、関数結合（合成）は、f;gとg・fの両方を使います。idは恒等関数です。
拡張(extension)スタイルによるモナドの定義
(型構成子, モナド単位, 拡張)の3つ組を(M, singleton, ^)とすると、singletonはXごとに singleton_X:X→M(X) の関数を与えます。曖昧性がなければ「_X」は省略します。f:X→M(Y)に対して、fの拡張f^:M(X)→M(Y)が決まりますが、事情は同様で； ext(f) = f^ とすれば、このextもXごとにext_X(f)と記すべきですが、「_X」を省略してもたいてい大丈夫です。
singletonと^（拡張）に関する法則は次のとおり（x∈X、m∈M(X)）：
- singleton:X→M(X)に対して、singleton^:M(X)→M(X)は恒等関数；i.e. singleton^(m) = m。
- singleton:X→M(X)、f:X→M(Y)に対して、(singleton;f^):X→M(Y)はfと同じ；i.e. f^(singleton(x)) = f(x)。
- f:X→M(Y)、g:Y→M(Z)に対して、(f;g^)^ = f^;g^；i.e. (g^・f)^(m) = (g^・f^)(m)。
Haskellの>>=は、(m>>= f) = f^(m) なので、次の形に書き換えられます。「=」は普通の等号です。
- singleton^(m)は (m>>= return) だから；(m>>= return ) = m。
- f^(singleton(x))は ((return x) >>= f) だから；((return x) >>= f) = f x。
- (g^・f)^(m)は、(m >>= g^・f)、そして g^・f = λx.(f(x) >>= g)。また、(g^・f^)(m) = g^(f^(m)) = (m >>= f) >>= g だから； m >>= (\x -> (f x >>= g) = (m >>= f) >>= g。
演算子>>=をextApplyとでも書くと：
extApply(m, f) = apply(ext(f), m) = ext(f)(m) ext(f) = λm.(extApply(m, f))
なので、ext（記号^）とextApply（記号>>=）がお互いに相手を定義できることが分かります。
代数スタイルの定義
(型構成子, 持ち上げ, モナド乗法, モナド単位)の4つ組を(M, *, flatten, singleton)とします。すると、まずMと*に関して次の法則が必要です。
- (f;g)* = f*;g* ；i.e. (g・f)*(x) = g*(f*(x))。
- id* = id ；i.e. id*(m) = m。
アスタリスク「*」が上付きに見えるかも知れませんが、僕の気持ちとしては下付きアスタです。
さらに、singletonとflattenに関して次が要請されます（m∈M(X)、mm∈M(M(X))）：
- flatten(flatten(mm)) = flatten(flatten*(mm))
- flatten(singleton(m)) = m
- flatten(singleton*(m)) = m
拡張を使うスタイルと代数スタイルの定義が等価であることは、計算で示せます。
計算してみる
拡張スタイルでの法則を次の形に書いておきます。
- singleton^ = id
- singleton;f^ = f
- (f;g^)^ = f^;g^
これらを仮定して、次を示します。
- (f;g)* = f*;g*
- id* = id
- flatten;flatten = flatten*;flatten
- singleton;flatten = id
- singleton*;flatten = id
[追記]行きがかり上、flatten, singletonなんて長い関数名を使ってますが、実際に手で計算するときは、短い名前（例えば、muとeとか）を使うことをお勧めします。長いとtypoばかりする。[/追記]
まず、id:M(X)→M(X)、f:X→Yに対して、次のように定義します。
flatten = id^ : M(M(X))→M(X) f* = (f;singleton)^ : M(X)→M(Y)
あとはワシャワシャ計算するのみ：
[追記]flatten*;flattenの計算が間違っていた（失礼しました）。訂正のついでに、右側のコメントに、次の行への変形の根拠を書きました。[/追記]
f*;g* // *の定義 = (f;singleton)^;(g;singleton)^ // 3. = ((f;singleton);(g;singleton)^)^ // ;の結合律 = (f;(singleton;(g;singleton)^))^ // 2. = (f;(g;singleton))^ // ;の結合律 = ((f;g);singleton)^ // *の定義 = (f;g)*
id* // *の定義 = (id;singleton)^ // idの性質 = sigleton^ // 1. = id
flatten;fletten // flattenの定義 = id^;id^ // 3. = (id;id^)^ // idの性質 = (id^)^ flatten*;flatten // flattenの定義 = (id^)*;id^ // *の定義 = (id^;singleton)^;id^ // 3. = ((id^;singleton);id^)^ // ;の結合律 = (id^;(singleton;id^))^ // 2. = (id^;id)^ // idの性質 = (id^)^
singleton;flatten // flattenの定義 = singleton;id^ // 2. = id
singleton*;flatten // flattenの定義 = signleton*;id^ // *の定義 = (singleton;singleton)^;id^ // 3. = ((singleton;singleton);id^)^ // ;の結合律 = (singleton;(singleton;id^))^ // 2. = (singleton;id)^ // idの性質 = singleton^ // 1. = id
リストの例を使えば、具体的に手で触って確認できます。逆向きは、次の定義のもとでまたワシャワシャ計算します。
f^ = f*;flatten
