加法逆元（additive inverse）又稱相反數（opposite）、反数，其定義是對於任意數 a {\displaystyle a} ，存在相反数滿足其與 a {\displaystyle a} 的和為零（加法單位元）； a {\displaystyle a} 的加法逆元表示為 − a {\displaystyle -a} 。
在實數中，數 a {\displaystyle a} 的相反數 − a {\displaystyle -a} ，稱為其加法逆元；相對地，數 a {\displaystyle a} 的倒數 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ，則稱為其乘法逆元。
設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} 。若該集合中存在一個元素 0 {\displaystyle 0} ，使得對於所有 x {\displaystyle x} , x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x} ，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的 x {\displaystyle x} ，存在一個 x ′ {\displaystyle x'} 使得 x + x ′ = x ′ + x = 0 {\displaystyle x+x'=x'+x=0} ，則稱 x ′ {\displaystyle x'} 是 x {\displaystyle x} 的加法逆元。
若「+」滿足結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。
反證法： 設 x {\displaystyle x} 有兩個相異的加法逆元 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的關係。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 產生矛盾，證訖。
