算术：修订间差异

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2019年3月27日 (三) 07:05的版本

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以下習題另有解答，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。

普通算术

數的概念

O → 1個O
OO → 2個O
OOO → 3個O
OOOO → 4個O
OOOOO → 5個O
OOOOOO → 6個O
OOOOOOO → 7個O
OOOOOOOO → 8個O
OOOOOOOOO → 9個O
OOOOOOOOOO → 10個O

習題：

以下的圖形共有幾個O？
1. OOOOO → ？個O
2. OOO → ？個O
3. OOOOOOOO → ？個O
4. O → ？個O
5. OOOOOO → ？個O
試畫出指定個數的O：
1. 4个O
2. 2个O
3. 7个O
4. 10个O
5. 9个O

數的大小關係

哪邊的O比較多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。

大於、小於符號分別以“ $>$ ”、“ $<$ ”表示，開口一邊的數字比較大，若 $A<B$ 則稱A小於B，若 $A>B$ 則稱A大於B。

例子：

$OOOO>O$ → $4>1$ → 4大於1

$OO<OOOOO$ → $2<5$ → 2小於5

$OOOOOO>OOOO$ → $6>4$ → 6大於4

$OOOOOOO<OOOOOOOO$ → $7<8$ → 7小於8

加法

加法的符號是「 $+$ 」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題：

$1+1=2$

1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。

習題：

$1+4=$ ?
$2+3=$ ?
$3+1=$ ?
$5+4=$ ?
$9+0=$ ?
$31+5=$ ?
$5+36=$ ?
$36+11=$ ?
$54+45=$ ?
$14+12=$ ?
$54+32=$ ?
$79+12=$ ?
$46+14=$ ?
$325+249=$ ?
$268+526=$ ?
$729+164=$ ?
$567+420=$ ?

減法

減法的符號是「 $-$ 」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題： $36-11=25$

36是被減數，被11從身上「減掉」（36被11減），侵犯他人者，也就是減數，得到差25。

減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明：

$36-11=25$ ，其中36是被減數，11是減數，25是差。將 $25+11$ 得到和36。

習題：

$8-2=$ ?
$9-5=$ ?
$4-2=$ ?
$6-2=$ ?
$36-5=$ ?
$59-13=$ ?
$73-45=$ ?
$92-72=$ ?
$48-38=$ ?
$509-372=$ ?
$666-111=$ ?
$869-107=$ ?
$678-181=$ ?
$489-226=$ ?

乘法

乘法的符號是「 $\times$ 」或「 $\cdot$ 」，在電腦上常以「 $*$ 」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題： $7\times 9=63$ 。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題： $7(9)=63$ 。

附錄的#乘法表，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法則：

交換律： $x\cdot y=y\cdot x$
結合律： $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
分配律： $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$x\cdot 1=x$
$x\cdot 0=0$

習題：

$9\times 9=$ ?
$4\times 3=$ ?
$2\times 7=$ ?
$7\times 8=$ ?
$3\times 9=$ ?
$36\times 11=$ ?
$65\times 45=$ ?
$12\times 12=$ ?
$85\times 74=$ ?
$31\times 70=$ ?
$69\times 45=$ ?
$67\times 54=$ ?

开方

开方是乘法的逆运算开方

除法

除法的符號是「 $\div$ 」，或以分線表示，在電腦上常以「 $/$ 」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題： $63\div 7=9$ 。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。
另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。除法可以解讀成「重複的減法」。

例如 : $6\div {\color {Orange}3}=2$ ，就好像 $6-{\color {Orange}3}-{\color {Orange}3}=0$ ， $6-{\color {Orange}3}=3,3-{\color {Orange}3}=0$ ， $6$ 被 ${\color {Orange}3}$ 減了兩次就變成 $0$

除法的法則：

$x/1=x$
$x/x=1$ ( $x$ ≠ $0$ )
$x/0$ = ∞，無窮大
$0/0$ = 不定值
$-x/0$ = 負無限

習題：

$9\div 3=$ ?
$4\div 1=$ ?
$7\div 7=$ ?
$8\div 4=$ ?
$5\div 5=$ ?
$64\div 8=$ ?
$72\div 9=$ ?
$24\div 6=$ ?
$56\div 8=$ ?
$168\div 4=$ ?
$750\div 5=$ ?
$627\div 3=$ ?
$50\div 3=$ ?

四則運算

括號 $()$ 之内的部份要先計算，然後四則運算要先乘除後加減。

習題：

$(10+3)\times 5=$ ?
$6\times 6+5=$ ?
$4\times 6+39=$ ?
$396\div 11+11=$ ?
$36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=$ ?

小數與分數

小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3

習題：

請分辨出分數和小數.

3.5
2/5
6.7
5/3
10/13
4.7

百分率

百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。

附錄一─速算技巧

自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。兩數交叉型減法速解法：

例如： $63-36=(7-4)*9=27$ (由7和4所組成的算式，7用4去減，再乘以9)。
乘以11的數：
- 兩位數乘以11： $36\times 11$ ，速算法為將６、３兩數之和 $6+3=9$ ，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即 $36\times 11=396$ 。
- 三位數乘以11： $536\times 11$ ，速算法為將 $3+5$ 、 $6+3$ 插入5、6的中間，即 $536\times 11=5896$ 。
- 四位數乘以11： $3636\times 11$ $3636\times 11$ ，速算法為將 $3636$ $3636$ 拆成 $3600+36$ $3600+36$ ，再用 $11$ $11$ 去乘它們，又 $3600\times 11=39600$ $3600\times 11=39600$ ， $36\times 11=396$ $36\times 11=396$ ，故 $3636\times 11=39996$ $3636\times 11=39996$ 。
  - $1173\times 11$ ，速算法為將 $1173$ 拆成 $1100+73$ ，再用 $11$ 去乘它們，又 $1100\times 11=12100$ ， $73\times 11=803$ ，故 $1173\times 11=12903$ 。
兩位數乘以111： $36\times 111$ ，速算法為將６、３兩數之和 $6+3=9$ ，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即 $36\times 111=3996$ 。
三位數乘以111： $536\times 111$ $536\times 111$ ，速算法為將 $536$ $536$ 拆成 $500+36$ $500+36$ ，再用 $111$ $111$ 去乘它們，又 $500\times 111=55500$ $500\times 111=55500$ ， $36\times 111=3996$ $36\times 111=3996$ ，故 $536\times 111=59496$ $536\times 111=59496$ 。
- 兩位數乘以121： $36\times 121$ ，速算法為將 $36\times 121$ 拆為 $36\times 11\times 11=396\times 11=4356$ 。

乘法公式

「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。

分配率： $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
和平方： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
三數和平方： $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
差平方： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
平方差： $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
和立方： $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
差立方： $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
立方和： $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
立方差： $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
$a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

特殊公式

$1^{2}+1=2^{2}-2$
$2^{2}+2=3^{2}-3$
$3^{2}+3=4^{2}-4$
$4^{2}+4=5^{2}-5$
$99^{2}+99=100^{2}-100$

$1134^{2}+1134+2270+1136+121-(24200+792)=a^{2}$ , 求a值。

$1135^{2}-1135+2270+1136+121-(2200+72)\times 11$
$=1135^{2}+2270+1+121-2272\times 11$
$=(1135+1)^{2}+121-2272\times 11$
$=1136^{2}+11^{2}-2272\times 11$
$=(1136-11)^{2}$
$a=1136-11=1125$

除以7

7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看：

$1\div 7=0.142857142857...$

$2\div 7=0.285714285714...$

$3\div 7=0.428571428571...$

$4\div 7=0.571428571428...$

$5\div 7=0.714285714285...$

$6\div 7=0.857142857142...$

看出规律来了没有？ $1\div 7=0.14,28,57$ ，后面的数刚好是前面的两倍， $28\times 2=56$ ，而 $56\times 2$ 刚好进一位就成57了。而后面 $2\div 7$ ， $3\div 7$ ， $4\div 7$ ， $5\div 7$ ， $6\div 7$ 正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。
在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而 $22.4=3.2\times 7$ ， $3.2\times 10=32=2^{5}$ ，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。

附錄二─各種表格

加法表

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表

對數表

常用對數表

自然對數表

ln1.52=?

附錄三─自然數的嚴格定義

Peano公理

習題

-->

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

@@ 第271行： / 第271行： @@
 *<math>99^2+99=100^2-100</math>
-*<math>1134^2+1134+2270+1136+121-2272\times11=a^2</math>, 求a值。
+*<math>1134^2+1134+2270+1136+121-(24200+792)=a^2</math>, 求a值。
-#<math>1135^2-1135+2270+1136+121-2272\times11</math>
+#<math>1135^2-1135+2270+1136+121-(2200+72)\times11</math>
 #<math>=1135^2+2270+1+121-2272\times11</math>
 #<math>=(1135+1)^2+121-2272\times11</math>