最速降線問題

用时最短的下降路径

最速降線問題,又稱最短時間問題最速落徑問題。問題如下:假想你正在側視的場景有高低不同的兩點,且高點不是在低點的正上方,若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑(直線、曲線、或折線皆可)滑到低點,其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力,則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短?在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brachistos)和「時間」(chronos)。本問題的解答是擺線(而非很多人會猜想的直線),可以用變分法证明。

从点A到点B的最速降线是一条摆线。

歷史

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1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,證明了此線是擺線,並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓雅各布·伯努利萊布尼茲洛必達都得出同一結論,即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明

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约翰·伯努利的证明

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费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

 ,

式中y表示物体在竖直方向上落下的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知,经不同的曲线落下,物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足: 傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

 ,

式中vm为常数(可认为为真空中光速c,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。

通过上述方程,我们可以得到两条结论:

  1. 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切
  1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。

为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则

 .

整理折射定律式中的各项并平方得到

 

可以解得dxdy

 .

代入v和vm的表达式得到

 

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程

雅各布·伯努利的证明

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约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足

 .

dy不变求微分,得到

 

最后整理得到

 

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为

 
 
 

对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到

 

因此最短时间的情况为

 

最速降線的數學形式與最短時間

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在垂直平面上,自原點 至目的地 的最速降線具有以下數學形式:

 [1]

這裡的 座標軸方向向下,且  為此擺線參數表達式的參數,原點處 

物體自原點沿最速降線滑至 處所需的時間可由以下積分式給出:

 

利用 以及 ,並以 作為參數,整理後得

 
 

自此擺線的參數式中易知 的最大值為 ,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑 ,因此

 
 

現假設終點與原點直線距離 ,且終點對原點的仰角 。利用此擺線的參數式,可知

 
 
最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。
 

利用 的關係式求出 ,並代回下滑時間中,得

 

綜合上述,討論在 已知的情況下,下滑時間 與俯角 的關係為

 

外部連結

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參考資料

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  1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. (原始内容存档于2020-11-12).