数学归纳法
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数学归纳法(英語:Mathematical Induction,縮寫:MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”,但是数学归纳法并非逻辑上不严谨的归纳推理法,它属于完全严谨的演绎推理法。[1]事實上,所有數學證明都属于演繹推理方法。
定义
编辑最简单和常见的数学归纳法是证明当 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:
这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。[2][3]例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:
- 证明 「第一张骨牌会倒。」
- 证明 「只要任意一张骨牌倒了,其下一张骨牌也会因為前面的骨牌倒而跟著倒。」
则可下结论:所有的骨牌都会倒下。
例子
编辑例子1
编辑
其中 为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。
证明
编辑第一步-起始步骤
编辑第一步是验证这个公式在 时成立。左边 ,而右边 ,所以这个公式在 时成立。第一步完成。
第二步-推递步骤
编辑第二步证明假设 时公式成立,则可推理出 时公式也成立。 证明步骤如下。
假设 时公式成立。即
【等式 】
然后在等式等号两边分别加上 得到 【等式 】 这就是 时的等式。
现在需要根据等式等式 演绎出等式 的符号形式。(需要注意的是如果给定公式不为真,则做不到)通过因式分解合并(形式变换/字符操纵),等式 的右手边
也就是说
这样便证明了从等式 成立可推理出等式 也成立。证明至此完成,结论:对于任意自然数 , 均成立。
解释
编辑- 首先证明命题 成立,即公式在 时成立。
- 然后证明从命题 成立可以推演出命题 也成立。【此部实际属于演绎推理法。技术方法是基于命题 的符号形式变换出命题 的符号形式。】
- 根据上两条从命题 成立可以推理出命题 ,也就是命题 成立。
- 继续推理,可以知道命题 成立。
- 从命题 成立可以推导出命题 也成立。
- 不断的重复推導下一命題成立的步驟。(这就是所谓“归纳”推理的地方)
- 我们便可以下结论:对于任意自然数 ,命题 成立。
例子2
编辑证明对于Fibonacci数列,定義 ,且 ,則 。
证明
编辑首先,我们先使得 的情况成立, 然后,我们假定 的情况下的成立的, 然后我们使得 的情况也成立,(这是为了表明,如果有任意数k使得其成立,则有其+1也成立) 于是我们得证,即从 ,到 到所有正实数都成立,就像多米诺骨牌的第一块 成立而且每一块的下一块都成立( )
数学归纳法的变体
编辑在应用中,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的自然数开始
编辑第一种情况: 如果欲证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:
- 第一步,证明当 时命题成立。
- 第二步,证明如果 ( ) 成立,那么可以推导出 也成立。
用这个方法可以证明诸如“当 时, 这一类命题。
第二种情况: 如果欲证明的命题针对全部自然数,但仅当大于等于某个数字b时比较容易证明,则可参考如下步骤:
- 第一步,证明当 时命题成立。
- 第二步,证明如果 ( )成立,那么可以推导出 也成立。
用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。
只針對偶数或只針對奇数
编辑如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:
奇数方面:
- 第一步,证明当 时命题成立。
- 第二步,证明如果 成立,那么可以推导出 也成立。
偶数方面:
- 第一步,证明当 或2时命题成立。
- 第二步,证明如果 成立,那么可以推导出 也成立。
或調整命題表述,使之變為對所有正整數成立,例如
- 證明「 對所有正奇數 成立」等價於證明「 對所有正整數 成立」。
遞迴歸納法
编辑又名递降归纳法。数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的 ”这样的命题。对于形如“对任意的 ”这样的命题,如果对一般的 比较复杂,而 比较容易验证,并且我们可以实现从 到 的递推, 的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的 ,原命题均成立。
完整归纳法
编辑另一个一般化的方法叫完整归纳法(也称第二数学归纳法或强归纳法),在第二步中我们假定式子不仅当 时成立,当 小于或等于 时也成立。这样可以设计出这样两步:
- 证明当 时式子成立.
- 证明当 时成立,那么当 时式子也成立.
例如,这种方法被用来证明:
其中 是第 个斐波纳契数和 (即黄金分割)。如果我们可以假设式子已经在当 和 时成立,从 之后可以直截了当地证明当 时式子成立.
这种方法也是第一种形式的特殊化:
- 定义 是我们将证的式子,
- 和 成立
- 在 和 成立时成立。
结论: 对一切自然数 成立。
超限归纳法
编辑最后两步可以用这样一步表示:
- 证明如果式子在所有的 成立,那么式子在当 时也成立。
实际上这是数学归纳法的大多数通式,可以知道他不仅对表达自然数的式子有效,而且对于任何在良基集(也就是一个偏序的集合,包括有限降链)中元素的式子也有效(这里" "被定义为 当且仅当 和 )。
这种形式的归纳法当运用到序数(以良序的和一些的良基类的形式)时被称为超限归纳法,它在集合论、拓扑学和其他领域是一種重要的方法。
要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况:
- 是一个极小元素,也就是没有一个元素小于
- 有一个直接的前辈,比 小的元素有一个大的元素
- 没有任何前辈,也就是 是一个界限序数.
参见数学归纳法的三种形式。
形式寫法
编辑使用二階邏輯
编辑二階邏輯可捕捉數學歸納法這概念,表達成如下邏輯式:
- ,
是容納一自然數的述詞變元,遍歷所有述詞而非個別數字,為二階量詞(是故此式與二階邏輯有關), 與 則是自然數變元,遍歷所有自然數。
白話解釋此式,此式說:起始步驟 與推遞步驟(即歸納假設, 蘊涵 ) 兩步成立會導出對任一自然數 , 成立之結論。通常,我們為了證明第二步,會假設 成立(歸納假設),再進一步證明 。此牽涉到條件證法,將條件句之前件作為假設,假定其正確以便於證明。
使用一階邏輯
编辑若用一階邏輯將數學歸納法公設化,則須採用公設模式,替每一個可能存在的述詞設下針對其的獨立公設。舉例而言,我們僅允許三個一階述詞存在,分別名為 、 、 ,則原先以二階邏輯描述的公設可改寫為:
- ,
- ,
- ,
。然而其強度與以二階邏輯描述之邏輯式不同,前者較後者弱。理由為一階邏輯述詞之數量為可數,而二階邏輯量限所迭代的集合為不可數。
此外,二階邏輯所表示的歸納公設綜合其它皮亞諾公設為同疇(categorical),且所得之自然數模型無限大。根據勒文海姆-斯科倫定理,用一階邏輯表達的理論若有可數無限大的模型,則其有不可數大的模型,是故無法前頭將所述的模型公設化[4]。亦即,用二階邏輯表達的公設僅允許一群模型彼此同構,而一階邏輯模型則因前述定理,並非每個模型都同構。
使用一階ZFC集合論
编辑一階ZFC集合論不允許述詞被遍歷, 但我們可以藉由遍歷集合,繞過一階邏輯之限制,描述歸納法:
本身是集合,但可視作命題——只要命題在這數下成立,數字就會收入集合。別於皮亞諾公設,將數學歸納法定為公設,ZFC集合論直接定義自然數,使得歸納法本身是定理而非公設。
数学归纳法的合理性
编辑皮亞諾公理視數學歸納法不證自明,設作公理,而於策梅洛-弗兰克尔集合论,數學歸納法可从良序定理推导出来。[5] 需要注意的是数学归纳法只能判定给定命题的真,而不能证伪,因为在形式变换这一过程需要一定技巧与灵感。抽象的概念如自然数,可通过抽象的工具去处理。通过有限的步骤处理无限的对象如证明质数的无穷。
參見
编辑參考文獻
编辑- ^ Suber, Peter. Mathematical Induction. Earlham College. [2011-03-26]. (原始内容存档于2011-05-24) (英语).
- ^ Matt DeVos. Mathematical Induction (PDF). 西門菲莎大學 (英语).
- ^ Gerardo con Diaz. Mathematical Induction (PDF). 哈佛大學. [2019-02-10]. (原始内容 (PDF)存档于2013-05-02) (英语).
- ^ Derek Goldrei. Propositional and predicate calculus: a model of argument. Springer-Verlag London. 2005: 286-287. ISBN 1-85233-921-7 (英语).
- ^ Well Ordering Principle and the Principle of Mathematical Induction (PDF). [2019-02-03]. (原始内容 (PDF)存档于2017-11-19) (英语).